圖靈機(jī)，可以被定義為下面這樣一個(gè)七元結(jié)構(gòu)：
Q：內(nèi)部狀態(tài)集庇勃，具有有限元素檬嘀；
q：初始內(nèi)部狀態(tài)；
f：接受狀態(tài)责嚷；
L：可接受字符集鸳兽，具有有限元素；
b：空白字符罕拂；
T：初始有序字符集揍异，其元素記為T(i)，如果某個(gè)i的T(i)未定義爆班，則為b衷掷；
s：狀態(tài)轉(zhuǎn)移規(guī)則表，是一個(gè)部分函數(shù)柿菩，將狀態(tài)<q, t>（q不為f）映射為<q', t'>（q'可以是f）戚嗅，并將當(dāng)前字符集上的指標(biāo)i進(jìn)行轉(zhuǎn)移，成為i-1或者i+1枢舶。
當(dāng)然渡处，這里還有一個(gè)上面沒(méi)給出的圖靈機(jī)的狀態(tài)：
w：圖靈機(jī)是否已停機(jī)。

因此祟辟，一臺(tái)圖靈機(jī)一旦開(kāi)始工作，就是從初始狀態(tài)<q, t>開(kāi)始的一連串的狀態(tài)轉(zhuǎn)移侣肄，此時(shí)w為false旧困。
而如果遇到某個(gè)狀態(tài)<q', t'>是規(guī)則表中沒(méi)有定義的，即無(wú)法通過(guò)部分函數(shù)s進(jìn)行映射稼锅，則圖靈機(jī)停機(jī)吼具，w為true，但圖靈機(jī)當(dāng)前狀態(tài)不為f矩距。
如果更具狀態(tài)轉(zhuǎn)移規(guī)則s拗盒，圖靈機(jī)進(jìn)入到了某個(gè)狀態(tài)<f, t>，則此事圖靈機(jī)停機(jī)锥债。
因此陡蝇，圖靈機(jī)的狀態(tài)<w,q>有這么三種：<false, *>痊臭，<true, not f>，<true, f>登夫。

上面這些都很基本广匙，沒(méi)啥好說(shuō)的。

我們?nèi)菀鬃C明恼策，上述對(duì)圖靈機(jī)的定義和一些別的定義是等價(jià)的鸦致。

比如說(shuō)，對(duì)于狀態(tài)轉(zhuǎn)移規(guī)則表涣楷，原本的定義為(Q / {f}) × T ==> Q × T × {1, -1}的一個(gè)部分函數(shù)分唾，但我們實(shí)際上也可以略加拓展為(Q / {f}) × T ==> Q × T × {1, 0, -1}，這樣的一個(gè)函數(shù)狮斗。
只需要對(duì)Q的選擇加以調(diào)整绽乔，使得新的Q包含原Q的所有內(nèi)容，還包含一個(gè)狀態(tài)back情龄，當(dāng)當(dāng)前轉(zhuǎn)移規(guī)則將狀態(tài)轉(zhuǎn)移為back時(shí)迄汛，這一步必然是+1，而后的一部必然是-1骤视，那么就實(shí)現(xiàn)了從只能前后移的雙態(tài)拓展為可以前后移與停留的三態(tài)鞍爱。

非但如此，對(duì)于任意多個(gè)有限集专酗，它們總是可以和一個(gè)有限集做一一對(duì)應(yīng)的睹逃，因此即便Q是n維離散有限空間，或者T是n維離散有限空間祷肯，本質(zhì)上都和一維的Q及一維的T的配置沒(méi)有區(qū)別沉填。
更進(jìn)一步，即便不是有限集佑笋，只要是離散集翼闹，N維集總是存在到一個(gè)一維集的一一映射的，因此T所處的介質(zhì)即便不是一維的紙帶而是N維的超平面（從而N是n維離散空間）蒋纬，也和只能左右移動(dòng)的原始圖靈機(jī)沒(méi)有分別猎荠。

接著，除了一次前后移動(dòng)或者前后移動(dòng)或停留這么一個(gè)三態(tài)以外蜀备，我們也很容易證明关摇，即便移動(dòng)規(guī)則調(diào)整為“在n處數(shù)據(jù)為t狀態(tài)為q根據(jù)規(guī)則s將數(shù)據(jù)修改為t'再運(yùn)動(dòng)到n'處并將狀態(tài)修改為q'”這么一種更加寬泛的運(yùn)動(dòng)，本質(zhì)上也不會(huì)和原始的圖靈機(jī)的定義碾阁。
而输虱，在這個(gè)定義下，狀態(tài)轉(zhuǎn)移規(guī)則s不再是(Q / {f}) × T ==> Q × T × {1, -1}的部分函數(shù)脂凶，而是一個(gè)(Q / {f}) × T × N ==> Q × T × N的部分函數(shù)宪睹，或者可以簡(jiǎn)單寫(xiě)為Q × T × N ==> Q × T × N的部分函數(shù)（既然是部分函數(shù)了愁茁，那么只要在初態(tài)為f時(shí)無(wú)定義即可）。
而横堡，在此定義下埋市，原本作為背景而存在的定位用的“紙帶”，或者說(shuō)“定位背景”命贴，則可以被賦予更多的意義道宅，比如它也兼顧了數(shù)據(jù)和狀態(tài)的功能。
事實(shí)上胸蛛，既然N污茵、Q和T都是離散集，Q和T還是有限集葬项，那么總可以構(gòu)造一個(gè)N'泞当，它和N × Q × T同構(gòu)，從而整個(gè)圖靈機(jī)的運(yùn)算就變成了在這個(gè)N'上民珍，Q和T都是{0}的單元素集襟士，而狀態(tài)轉(zhuǎn)移函數(shù)s則完全是N'到N'的部分函數(shù)。
在這個(gè)意義上嚷量，我們其實(shí)可以認(rèn)為陋桂，將N、Q蝶溶、T看作一個(gè)整體的話嗜历，那么圖靈機(jī)就是在這個(gè)離散集上的群作用G（當(dāng)然，既然s本身是部分函數(shù)的話抖所，所以嚴(yán)格說(shuō)來(lái)其實(shí)這里也不能稱為是群作用梨州，只能視為某種morph吧）：
對(duì)于初始狀態(tài)S_0，圖靈機(jī)可以看作S_n = G^n S_0田轧。然后存在狀態(tài)判定函數(shù)check暴匠，判斷S_n是否符合某組特征，如果符合則停機(jī)傻粘。

當(dāng)然巷查，上面這種全部混搭在一起的觀點(diǎn)未必能把問(wèn)題都看清楚，所以我們還是保留N抹腿、Q、T的三元結(jié)構(gòu)旭寿，N不再記錄狀態(tài)和數(shù)據(jù)警绩，而僅僅給出不同狀態(tài)和數(shù)據(jù)之間的“相鄰”關(guān)系。
我們可以很顯然地看到盅称，T其實(shí)和N是很有強(qiáng)關(guān)系的肩祥。雖然可以接受的字符的全體構(gòu)成T后室，但N的不同位置上的T的元素?cái)?shù)據(jù)t，卻是和N的元素位置n“綁定”在一起的混狠。
而岸霹，另一方面，Q的元素将饺，圖靈機(jī)的狀態(tài)q贡避，卻和N或者T都沒(méi)有太明顯的關(guān)系，一臺(tái)圖靈機(jī)只有一個(gè)狀態(tài)q予弧。
這樣的情況可以和物理上的一些情況做個(gè)類比：
假定N是時(shí)空背景刮吧，T是某個(gè)規(guī)范場(chǎng)的勢(shì)能，而Q是一個(gè)粒子M和這種規(guī)范場(chǎng)耦合的荷掖蛤。M在N上運(yùn)動(dòng)杀捻，遇到勢(shì)T(n)，改變規(guī)范場(chǎng)的同時(shí)自己也被作用蚓庭，從而軌跡不斷地被修正致讥，因此整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程可以看作是一個(gè)粒子M與規(guī)范場(chǎng)T不斷相互作用的過(guò)程，M在N上的位置不斷被修改器赞，Q和T也不斷被修改垢袱。狀態(tài)轉(zhuǎn)移規(guī)則s在此就是規(guī)定了如何相互作用的規(guī)則。

當(dāng)然了拳魁，實(shí)際上圖靈機(jī)和規(guī)范場(chǎng)論的相似性也就僅僅停留于此了惶桐。嚴(yán)格的規(guī)范場(chǎng)論，Q潘懊、T和s之間的耦合是非常嚴(yán)密的姚糊，從而這三者都不會(huì)如圖靈機(jī)一般自由。但授舟，如果我們摒棄規(guī)范場(chǎng)的想法救恨，僅僅是從纖維叢的角度來(lái)考慮的話，則會(huì)發(fā)現(xiàn)释树，或許圖靈機(jī)和物理之間的差異肠槽，也沒(méi)那么大。
從纖維叢的角度來(lái)看奢啥，圖靈機(jī)就是一個(gè)不斷改變著纖維叢截面和自身所帶荷的在背景時(shí)空上運(yùn)動(dòng)的粒子秸仙，而規(guī)范場(chǎng)論和圖靈機(jī)的區(qū)別在于，規(guī)范場(chǎng)論的背景時(shí)空與纖維都是連續(xù)的桩盲，滿足特定的群結(jié)構(gòu)寂纪，勢(shì)與粒子的作用關(guān)系滿足一套物理預(yù)設(shè)；而圖靈機(jī)的背景時(shí)空與纖維則是離散的，且不滿足群結(jié)構(gòu)捞蛋，也不滿足那套物理預(yù)設(shè)孝冒。如果不考慮纖維叢是離散的還是連續(xù)的這點(diǎn)，那么我們可以說(shuō)圖靈機(jī)的范疇比規(guī)范場(chǎng)論的范疇更大拟杉。

下面庄涡，我們來(lái)考慮上述模型下，圖靈機(jī)工作的時(shí)候是怎么樣一個(gè)樣子搬设。

我們先將狀態(tài)轉(zhuǎn)移規(guī)則s分解為兩部分：S_Q和S_T穴店。
他們都是Q × T × N的函數(shù)，且有：

其中焕梅，對(duì)于Q部分迹鹅，如果根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移規(guī)則s，圖靈機(jī)的讀寫(xiě)頭應(yīng)該左移（-1）或者右移（+1）的贞言，那么就有：

現(xiàn)在弟蚀，我們可以做一個(gè)一般化：
將Q和T看作是同一個(gè)空間的兩個(gè)字空間，從而（跟隨讀寫(xiě)頭所在位置的）狀態(tài)q和（記錄在底流形N的每個(gè)點(diǎn)上所有的矢量空間內(nèi)的）狀態(tài)t可以看作是一個(gè)更大的矢量空間中矢量v的兩個(gè)不同方向上的分量酗失。
因此义钉，我們可以將動(dòng)力學(xué)方程寫(xiě)為：

且當(dāng)我們知道讀寫(xiě)頭的移動(dòng)dn后，上述方程可以寫(xiě)為：

這樣的空間和函數(shù)總是可以構(gòu)造出來(lái)的，因?yàn)樗贿^(guò)就是原本狀態(tài)轉(zhuǎn)移規(guī)則加上一些額外規(guī)則后的一個(gè)變種罷了拖刃。

下面删壮，我們將其“連續(xù)”化，并引入可以在N上任意移動(dòng)而不單單是左右移一格的模型（并略作調(diào)整）：

這樣一來(lái)兑牡，我們基本上就得到了一個(gè)最一般化的央碟、連續(xù)空間中的類圖靈機(jī)的概念模型。
而均函，如果我們將移動(dòng)局限在n的領(lǐng)域亿虽，而非全空間，那么在進(jìn)行恰當(dāng)?shù)恼{(diào)整悉數(shù)后苞也，上面的積分方程（在一類不那么變態(tài)的函數(shù)S的情況下）可以被寫(xiě)成如下的微分方程：

于是劳吠，現(xiàn)在整個(gè)模型就是這樣的：
一個(gè)連續(xù)空間N上有一個(gè)纖維叢V引润，然后類圖靈過(guò)程就是在這樣一個(gè)纖維空間上的熱擴(kuò)散過(guò)程。
當(dāng)然痒玩，和真正嚴(yán)格意義上的圖靈機(jī)相比淳附，除了現(xiàn)在底流形和纖維從離散變成了連續(xù)外，狀態(tài)轉(zhuǎn)移規(guī)則s也變成了傳播子S蠢古，且支持更豐富類型的狀態(tài)轉(zhuǎn)移奴曙。
而，一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)圖靈過(guò)程現(xiàn)在就是在纖維叢N × V上一個(gè)初始區(qū)域出發(fā)草讶，經(jīng)過(guò)一系列擴(kuò)散過(guò)程后洽糟，終止與某個(gè)特殊的末態(tài)位置，其中該末態(tài)位置的矢量v滿足v的Q部分為結(jié)束狀態(tài)q_stop堕战。
在這個(gè)模型下坤溃，NTM（非確定圖靈機(jī)）可以看作這個(gè)纖維空間上的路徑積分。
因此嘱丢，NTM=DTM的本質(zhì)就是說(shuō)：如果一個(gè)NTM可以來(lái)到某個(gè)停機(jī)區(qū)域中的位置薪介，那么必有一根經(jīng)典路徑，其對(duì)應(yīng)一臺(tái)DTM越驻，也可以在該位置停機(jī)汁政。
由于NTM僅僅是給出了多DTM同時(shí)擴(kuò)散，彼此之間沒(méi)有相互作用缀旁，所以NTM=DTM并沒(méi)有什么好驚訝的记劈。

在上面的模型中，一個(gè)NTM其實(shí)等于將DTM所處的纖維叢進(jìn)行了又一次的擴(kuò)大诵棵，從一個(gè)q擴(kuò)展為多個(gè)q：q1, q2, q3...qn抠蚣，從而彼此之間其實(shí)沒(méi)有耦合，NTM可以從源擴(kuò)散到目標(biāo)區(qū)域履澳，僅僅是因?yàn)樵幢容^多嘶窄，擴(kuò)散起來(lái)比較“全面”，但本質(zhì)上和DTM沒(méi)有不同距贷。

既然已經(jīng)推廣到這樣了柄冲，那么讓我們接著推廣：假定現(xiàn)在允許多臺(tái)連續(xù)纖維空間中的類圖靈機(jī)同時(shí)進(jìn)行運(yùn)行，或者說(shuō)在這個(gè)纖維空間中有多個(gè)源同時(shí)進(jìn)行擴(kuò)散忠蝗，并且傳播子S1和S2之間存在耦合现横，比如簡(jiǎn)單的耦合是所有的傳播子S公用同一個(gè)Q區(qū)域，于是一臺(tái)S對(duì)V的修改可以影響到另一臺(tái)S。
當(dāng)然戒祠，這個(gè)問(wèn)題在標(biāo)準(zhǔn)圖靈機(jī)模型下骇两，本質(zhì)上不會(huì)改變什么，因?yàn)槎嗯_(tái)圖靈機(jī)和一臺(tái)圖靈機(jī)在標(biāo)準(zhǔn)圖靈機(jī)模型下是沒(méi)有根本性差別的姜盈。
因?yàn)榈颓В陔x散的情況下，我可以讓一個(gè)圖靈機(jī)記下所有多臺(tái)圖靈機(jī)的狀態(tài)馏颂，然后模擬每一臺(tái)的每一步運(yùn)算示血，從而將多臺(tái)同時(shí)處理變成一臺(tái)分步處理，本質(zhì)上沒(méi)有什么區(qū)別救拉。
那么难审，在連續(xù)空間的情況下，會(huì)如何呢亿絮？理論上來(lái)說(shuō)告喊，依然沒(méi)有本質(zhì)上的突破。

在現(xiàn)在的模型下壹无，兩臺(tái)機(jī)器（未必是圖靈機(jī)葱绒，而是這里的類圖靈機(jī)，從概念上說(shuō)更類似RealMachine斗锭，當(dāng)然地淀，不是“真實(shí)的機(jī)器”的意思）如果從任意一個(gè)位置作為源，并且當(dāng)一臺(tái)在有限時(shí)間t1時(shí)候岖是，另一臺(tái)總能在有限時(shí)間t2帮毁，使得兩者在底流形指定區(qū)域內(nèi)的纖維界面相同，那么這兩者等價(jià)豺撑。
因此烈疚，上面的問(wèn)題就變成了：對(duì)于任意一組傳播子S的多源擴(kuò)散，是否總可以找到一個(gè)傳播子S聪轿，使得單源擴(kuò)散可以在上述等價(jià)的意義上給出等價(jià)的結(jié)論爷肝？
這個(gè)就未知了。

如果陆错，進(jìn)一步灯抛，我們?yōu)镾引入隨機(jī)性，并且整個(gè)纖維空間都存在熱噪音——每個(gè)點(diǎn)上的隨機(jī)擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)音瓷，那么上述等價(jià)意義上的NTM和DTM之間对嚼，對(duì)于現(xiàn)在的連續(xù)纖維叢上的類圖靈機(jī)，是否還能給出等價(jià)的結(jié)論呢绳慎？

而且纵竖，假定這樣現(xiàn)在傳播子可以判斷何時(shí)“放大”熱噪音漠烧，何時(shí)“抑制”熱噪音的話，這樣的系統(tǒng)不是很奇妙么靡砌？

當(dāng)然已脓，我們知道，對(duì)于RealMachine通殃，由于熱噪音和計(jì)算精度的要求摆舟，我們事實(shí)上總是會(huì)對(duì)輸入和輸出進(jìn)行“離散化”處理的。
因此邓了，前面定義的類圖靈機(jī)在輸入和輸出都離散化的情況下，是否可以和某臺(tái)標(biāo)準(zhǔn)圖靈機(jī)對(duì)應(yīng)呢媳瞪？
顯然骗炉，如果這臺(tái)類圖靈機(jī)不停機(jī)，而是一直輸出內(nèi)容的話蛇受，就不會(huì)和標(biāo)準(zhǔn)圖靈機(jī)等價(jià)句葵。而，現(xiàn)實(shí)世界的libev和uv庫(kù)告訴我們兢仰，永不停機(jī)乍丈，其實(shí)未必是壞事。

另一方面把将，計(jì)算精度有的時(shí)候并不是必須要考慮的東西轻专。
如果我們的計(jì)算本身只要求一個(gè)大概的分布，而不要求精確值的話察蹲，也就是我們處理的是fuzzy function與fuzzy logic请垛，那么精確并不是必須的，從而整個(gè)計(jì)算過(guò)程并不要求離散化洽议，至少對(duì)輸入不作要求宗收，只要在輸出的時(shí)候離散化到某幾個(gè)特定范疇。這樣的話亚兄，由于計(jì)算精度要求帶來(lái)的約束就可以放寬混稽。

對(duì)于熱噪音也是如此，如果S可以根據(jù)要求审胚，在某些時(shí)候“放大”噪音的空閑匈勋，某些時(shí)候“抑制”噪音的貢獻(xiàn)，將噪音作為隨機(jī)源菲盾，甚至是不能作出決策時(shí)的決策颓影，那么噪音也未必就一定要通過(guò)離散化給消去。

因此懒鉴，對(duì)RealMachine的約束要求诡挂，現(xiàn)在看來(lái)碎浇，未必就是必然將這里的類圖靈機(jī)退化還原到圖靈機(jī)的要求——只要我們不要求絕對(duì)精確的計(jì)算，即可璃俗。

這樣的思維產(chǎn)物到底是否真正突破了圖靈機(jī)的局限奴璃，從而可以和更加精妙的機(jī)器，即城豁，我們的人腦苟穆，相媲美呢？
這個(gè)就很難說(shuō)啦唱星。

好雳旅，睡前嘮叨結(jié)束。