矩陣代數(shù)（一）- 矩陣運算

小結(jié)

和與標(biāo)量乘法
矩陣乘法
矩陣的乘冪
矩陣的轉(zhuǎn)置

若 $\boldsymbol{A}$ 是 $m \times n$ 矩陣，即有 $m$ 行 $n$ 列的矩陣痊乾，則 $\boldsymbol{A}$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列的元素用 $a_i\!_j$ 表示皮壁，稱為 $\boldsymbol{A}$ 的 $(i,j)$ 元素。 $\boldsymbol{A}$ 的各列是 $\mathbb{R}^{m}$ 中的向量哪审，用 $\boldsymbol{a_1},\cdots,\boldsymbol{a_n}$ 表示蛾魄，寫作 $\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}\boldsymbol{a_1} & \cdots & \boldsymbol{a_n} \end{bmatrix}$ 。
$m \times n$ 矩陣 $\boldsymbol{A}$ 的對角線元素是 $a_1\!_1, a_2\!_2,\cdots$ ，它們組成 $\boldsymbol{A}$ 的主對角線滴须。對角矩陣是一個方陣舌狗，它的非對角線元素全是0。元素全是0的 $m \times n$ 矩陣為零矩陣扔水，用 $\boldsymbol{0}$ 表示痛侍。

和與標(biāo)量運算

我們稱兩個矩陣相等，若它們有相同的維數(shù)（即有相同的行數(shù)和列數(shù)）魔市，而且對應(yīng)元素相等主届。 $\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}$ 的每個元素就是 $\boldsymbol{A}$ 與 $\boldsymbol{B}$ 的對應(yīng)元素相加。僅當(dāng) $\boldsymbol{A}$ 與 $\boldsymbol{B}$ 有相同維數(shù)待德， $\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}$ 才有定義君丁。
若 $r$ 是標(biāo)量而 $\boldsymbol{A}$ 是矩陣，則標(biāo)量乘法 $r\boldsymbol{A}$ 是一個矩陣将宪，它的每一列是 $\boldsymbol{A}$ 的對應(yīng)列的 $r$ 倍绘闷。

設(shè) $\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}4 & 0 & 5 \\ -1 & 3 & 2\end{bmatrix}, \boldsymbol{B}=\begin{bmatrix}1 & 1 & 1 \\ 3 & 5 & 7\end{bmatrix}$ ，求 $\boldsymbol{A}-2\boldsymbol{B}$
解：
$\begin{equation}\begin{aligned}\boldsymbol{A}-2\boldsymbol{B} &= \begin{bmatrix}4 & 0 & 5 \\ -1 & 3 & 2\end{bmatrix} - 2\begin{bmatrix}1 & 1 & 1 \\ 3 & 5 & 7\end{bmatrix} \\ &=\begin{bmatrix}4 & 0 & 5 \\ -1 & 3 & 2\end{bmatrix} - \begin{bmatrix}2 & 2 & 2 \\ 6 & 10 & 14\end{bmatrix} \\ &=\begin{bmatrix}2 & -2 & 3 \\ -7 & -7 & -12\end{bmatrix} \end{aligned}\end{equation}$

定理1 $\;$ 設(shè) $\boldsymbol{A},\boldsymbol{B},\boldsymbol{C}$ 是相同維數(shù)的矩陣较坛， $r$ 與 $s$ 為標(biāo)量印蔗，則有
$\begin{aligned} & a.\;\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}=\boldsymbol{B}+\boldsymbol{A} & & b.\;(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})+\boldsymbol{C}=\boldsymbol{A}+(\boldsymbol{B}+\boldsymbol{C}) \\ & c.\;\boldsymbol{A} + \boldsymbol{0}=\boldsymbol{A} & & d.\;r(\boldsymbol{A} + \boldsymbol{B})=r\boldsymbol{A} + r\boldsymbol{B} \\ & e.\;(r+s)\boldsymbol{A}=r\boldsymbol{A}+s\boldsymbol{A} & & f.\;r(s\boldsymbol{A})=(rs)\boldsymbol{A} \end{aligned}$

矩陣乘法

若 $\boldsymbol{A}$ 是 $m \times n$ 矩陣， $\boldsymbol{B}$ 是 $n \times p$ 矩陣丑勤，用 $\boldsymbol{b_1},\cdots,\boldsymbol{b_p}$ 表示 $\boldsymbol{B}$ 的各列华嘹，則乘積 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}$ 是 $m \times p$ 矩陣，它的各列是 $\boldsymbol{Ab_1},\cdots,\boldsymbol{Ab_p}$ 确封。即
$\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}=\boldsymbol{A}\begin{bmatrix}\boldsymbol{b_1} & \cdots & \boldsymbol{b_p}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\boldsymbol{Ab_1} & \cdots & \boldsymbol{Ab_p}\end{bmatrix}$

計算 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}$ 除呵，其中 $\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}2 & 3 \\ 1 & -5\end{bmatrix},\boldsymbol{B}=\begin{bmatrix}4 & 3 & 6 \\ 1 & -2 & 3\end{bmatrix}$
解：利用（行-向量規(guī)則）規(guī)則計算 $\boldsymbol{Ab_1},\boldsymbol{Ab_2},\boldsymbol{Ab_3}$
$\begin{aligned} & \boldsymbol{Ab_1}=\begin{bmatrix}2 & 3 \\ 1 & -5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}4 \\ 1 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix}2 \times 4 + 3 \times 1 \\ 1 \times 4 + (-5) \times 1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}11 \\ -1\end{bmatrix} \\ & \boldsymbol{Ab_1}=\begin{bmatrix}2 & 3 \\ 1 & -5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3 \\ -2\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}2 \times 3 + 3 \times (-2) \\ 1 \times 3 + (-5) \times (-2)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 \\ 13\end{bmatrix} \\ & \boldsymbol{Ab_1}=\begin{bmatrix}2 & 3 \\ 1 & -5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}6 \\ 3\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}2 \times 6 + 3 \times 3 \\ 1 \times 6 + (-5) \times 3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}21 \\ -9\end{bmatrix} \\ & \boldsymbol{A}\boldsymbol{B} = \begin{bmatrix}\boldsymbol{Ab_1} & \boldsymbol{Ab_2} & \boldsymbol{Ab_3}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}11 & 0 & 21 \\ -1 & 13 & -9\end{bmatrix} \end{aligned}$

$\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}$ 的每一列都是 $\boldsymbol{A}$ 的各列的線性組合，以 $\boldsymbol{B}$ 的對應(yīng)列的元素為權(quán)爪喘。

計算 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}$ 的行列法則
若乘積 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}$ 有定義，則 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列的元素是 $\boldsymbol{A}$ 的第 $i$ 行與第 $j$ 列對應(yīng)元素乘積之和纠拔。若 $(\boldsymbol{A}\boldsymbol{B})_i\!_j$ 表示 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}$ 的 $(i,j)$ 元素秉剑， $\boldsymbol{A}$ 為 $m \times n$ 矩陣，則 $(\boldsymbol{A}\boldsymbol{B})_i\!_j=a_i\!_1b_1\!_j+\cdots+a_i\!_nb_n\!_j$

求 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}$ 稠诲，其中 $\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}2 & -5 & 0 \\ -1 & 3 & -4 \\ 6 & -8 & -7 \\ -3 & 0 & 9\end{bmatrix}, \boldsymbol{B}=\begin{bmatrix}4 & -6 \\ 7 & 1 \\ 3 & 2\end{bmatrix}$
解：
$\begin{aligned} \boldsymbol{A}\boldsymbol{B} &= \begin{bmatrix}2 & -5 & 0 \\ -1 & 3 & -4 \\ 6 & -8 & -7 \\ -3 & 0 & 9 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}4 & -6 \\ 7 & 1 \\ 3 & 2\end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix}2 \times 4 + (-5) \times 7 + 0 \times 3 & 2 \times (-6) + (-5) \times 1 + 0 \times 2 \\ (-1) \times 4 + 3 \times 7 + (-4) \times 3 & (-1) \times (-6) + 3 \times 1 + (-4) \times 2 \\ 6 \times 4 + (-8) \times 7 + (-7) \times 3 & 6 \times (-6) + (-8) \times 1 + (-7) \times 2 \\ (-3) \times 4 + 0 \times 7 + 9 \times 3 & (-3) \times (-6) + 0 \times 1 + 9 \times 2\end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix}-27 & -17 \\ 5 & 1 \\ -53 & -58 \\ 15 & 36\end{bmatrix} \end{aligned}$

矩陣乘法的性質(zhì)

定理2 $\;$ 設(shè) $\boldsymbol{A}$ 為 $m \times n$ 矩陣侦鹏， $\boldsymbol{I}_m$ 表示 $m \times m$ 單位矩陣, $\boldsymbol{I}_n$ 表示 $n \times n$ 單位矩陣， $r$ 為標(biāo)量臀叙， $\boldsymbol{B}$ 和 $\boldsymbol{C}$ 的維數(shù)是下列各式的乘積有定義略水。
$\begin{aligned} & a.\;\boldsymbol{A}(\boldsymbol{B}\boldsymbol{C})=(\boldsymbol{AB})\boldsymbol{C} & & b.\;\boldsymbol{A}(\boldsymbol{B}+\boldsymbol{C})=\boldsymbol{AC}+\boldsymbol{BC} \\ & c.\;(\boldsymbol{B}+\boldsymbol{C})\boldsymbol{A}=\boldsymbol{BA}+\boldsymbol{BC} & & d.\;r(\boldsymbol{A}\boldsymbol{B})=(r\boldsymbol{A})\boldsymbol{B}=\boldsymbol{A}(r\boldsymbol{B}) \\ & e.\;\boldsymbol{I}_m\boldsymbol{A}=\boldsymbol{A}=\boldsymbol{A}\boldsymbol{I}_n \end{aligned}$

注意：

一般情況下， $\boldsymbol{AB}\neq\boldsymbol{BA}$
若 $\boldsymbol{AB}=\boldsymbol{AC}$ 劝萤，一般情況下渊涝， $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{C}$ 并不成立
若乘積 $\boldsymbol{AB}$ 是零矩陣，一般情況下，不能斷定 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{0}$ 或 $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{0}$

矩陣的乘冪

若 $\boldsymbol{A}$ 是 $n \times n$ 矩陣跨释， $k$ 是正整數(shù)胸私，則 $\boldsymbol{A}^{k}$ 表示 $k$ 個 $\boldsymbol{A}$ 的乘積：
$\boldsymbol{A}^{k}=\underbrace{\boldsymbol{A}\cdots\boldsymbol{A}}_{k個}$

若 $\boldsymbol{A}$ 不是零矩陣，且 $\boldsymbol{x}$ 屬于 $\mathbb{R}^{n}$ 鳖谈，則 $\boldsymbol{A}^{k}\boldsymbol{x}$ 表示 $\boldsymbol{x}$ 被 $\boldsymbol{A}$ 連續(xù)左乘 $k$ 次岁疼。若 $k=0$ ，則 $\boldsymbol{A}^{0}\boldsymbol{x}$ 就是 $\boldsymbol{x}$ 本身缆娃。因此 $\boldsymbol{A}^{0}$ 被解釋為單位矩陣捷绒。

矩陣的轉(zhuǎn)置

給定 $m \times n$ 矩陣 $\boldsymbol{A}$ ，則 $\boldsymbol{A}$ 的轉(zhuǎn)置是一個 $n \times m$ 矩陣贯要，用 $\boldsymbol{A}^{T}$ 表示疙驾，它的列是由 $\boldsymbol{A}$ 的對應(yīng)行構(gòu)成的。

若 $\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & 1 \\ -3 & 5 & -2 & 7\end{bmatrix}$ 郭毕，則 $\boldsymbol{A}^{T}=\begin{bmatrix}1 & -3 \\ 1 & 5 \\ 1 & -2 \\ 1 & 7\end{bmatrix}$

定理3 $\;$ 設(shè) $\boldsymbol{A}$ 與 $\boldsymbol{B}$ 表示矩陣它碎， $r$ 表示標(biāo)量，其維數(shù)使下列和與積有定義显押，則
$\begin{aligned} & a.\;(\boldsymbol{A}^{T})^{T}=\boldsymbol{A} & & b.\;(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})^{T}=\boldsymbol{A}^{T}+\boldsymbol{B}^{T} \\ & c.\;(r\boldsymbol{A})^{T}=r\boldsymbol{A}^{T} & & d.\;(\boldsymbol{A}\boldsymbol{B})^{T}=\boldsymbol{B}^{T}\boldsymbol{A}^{T} \end{aligned}$

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