2016年文數(shù)全國(guó)卷A題18（12 分）
如圖，已知正三棱錐 的側(cè)面是直角三角形，
. 頂點(diǎn)
在平面
內(nèi)的正投影為點(diǎn)
在平面
內(nèi)的正投影為點(diǎn)
，連接
并延長(zhǎng)交
于點(diǎn)
（Ⅰ）證明∶ 是
的中點(diǎn);
（Ⅱ）在圖中作出點(diǎn) 在平面
內(nèi)的正投影
（說(shuō)明作法及理由），并求四面體
的體積.
【解答第1問(wèn)】
由已知條件可知： 是正三角形茎截； 點(diǎn)
是
的中心.
面
,
面
.
∵ 面
,
面
, ∴
,
∵ 面
,
面
, ∴
, 而
,
∴ 面
.
又∵ 面
, ∴
又∵ , ∴
是
的中點(diǎn). （三線合一）
【解答第2問(wèn)：思路一】
作 中點(diǎn)
, 并連接
.
∵ 是
中點(diǎn)，
是
的中點(diǎn), ∴
是
的中位線赶盔，
∵ 正三棱錐 的側(cè)面是直角三角形企锌，∴
,
∴ .
∵ 點(diǎn) 是點(diǎn)
在平面
內(nèi)的正投影點(diǎn)，∴
, ∴
, ∴
∵ 點(diǎn) 是點(diǎn)
在平面
內(nèi)的正投影點(diǎn)于未，∴
, ∴
, ∴
∴ .
【解答第2問(wèn)：思路二】
∵ 正三棱錐 的側(cè)面是直角三角形撕攒，∴
.
以點(diǎn) 為原點(diǎn)，分別以
為
軸烘浦，建立空間直角坐標(biāo)系. 因?yàn)?
, 所以
三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：
.
點(diǎn) 是
的中心抖坪，其坐標(biāo)為
點(diǎn) 是點(diǎn)
在
平面（平面
）上的正投影，其坐標(biāo)為
;
點(diǎn) 是點(diǎn)
在
平面（平面
）上的正投影闷叉，其坐標(biāo)為
;
所以擦俐，點(diǎn) 就在棱
上，且
.
【提煉與提高】
這是一個(gè)非常有意思的考題握侧。2010至2015年間的全國(guó)卷給人留下這樣的印象：理科的立體幾何大題經(jīng)常需要?jiǎng)佑孟蛄抗ぞ呓鉀Q蚯瞧；文科題幾乎從來(lái)用不到向量工具嘿期。
2016年這個(gè)文科題，如果不用向量也是可以解決的状知。但是秽五，如果用向量來(lái)解決卻顯得格外地簡(jiǎn)潔。
另外饥悴，在多數(shù)題目中坦喘，總有一個(gè)坐標(biāo)軸是豎直的，總有一個(gè)坐標(biāo)平面是水平的西设。無(wú)形中會(huì)千萬(wàn)一種思維定勢(shì)瓣铣。這個(gè)題打破了這樣一種思維定勢(shì)。坐標(biāo)平面不一定是水平的贷揽， 軸也可以是斜著的棠笑。關(guān)鍵是：三個(gè)坐標(biāo)軸必須是兩兩垂直的；而且選擇坐標(biāo)軸時(shí)應(yīng)該盡可能地降低計(jì)算量禽绪。
由1個(gè)等邊三角形與3個(gè)等腰直角三角形圍成的四面體蓖救，是很常見(jiàn)的一種四面體，在高考中出場(chǎng)率極高印屁。一定要把它玩熟循捺。
這樣一個(gè)四面體的特點(diǎn)是：有三條棱長(zhǎng)度相等，而且兩兩垂直雄人。它可以認(rèn)為是從正六面體上切下來(lái)的四面體从橘。
【回歸教材】
請(qǐng)參考以下課本題：人教版《數(shù)學(xué)-必修2》第二章復(fù)習(xí)參考題B組第2題（p79）.
