數(shù)學思想方法揭秘-29后記14(原創(chuàng))

? 這篇以模式觀和模式思維為主線芍耘，結(jié)合講解抽象、合情合理猜想熄阻、逼近對齊思想斋竞、對應、直覺思維和破局思維秃殉，因為它們存在相互聯(lián)系坝初，在解題中可能會一起使用。

? 什么是數(shù)學或數(shù)學的本質(zhì)：數(shù)學是研究模式的科學

? 我們對模式并不陌生钾军，例如教學模式鳄袍、商業(yè)模式。模式就是模板吏恭，標準化的可重用的方式或程序拗小。

? 恩格斯曾說過：數(shù)學是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學。隨著時代發(fā)展砸泛，人們對數(shù)學的本質(zhì)認識也越來越深刻十籍，數(shù)學是研究模式的科學或面向模式的科學蛆封，早已成為共識。這里的模式指的是某種聯(lián)系勾栗、結(jié)構(gòu)或規(guī)律惨篱、規(guī)則。數(shù)學家的所作所為围俘，就是去尋找和識別各種事物和問題中蘊含的(抽象)數(shù)學模式砸讳、構(gòu)建數(shù)學模式、擴充和發(fā)展數(shù)學模式界牡，例如數(shù)量關(guān)系模式簿寂、空間結(jié)構(gòu)模式、運動模式宿亡、行為模式常遂、模式的模式,乃至思維和想象之中的模式等。數(shù)學也是一種語言挽荠，用來描述這些模式克胳。數(shù)學應用即是利用這些模式對各種現(xiàn)象和問題作出解釋和預測。

? ? 一種特定的研究之所以被歸類為數(shù)學圈匆，并不是基于什么被研究漠另，反倒是基于它如何被研究。也就是說跃赚，基于被使用的方法論,因此在藝術(shù)中笆搓，例如音樂、舞蹈纬傲、書法满败、繪畫中也存在數(shù)學的模式。

? ? 根據(jù)數(shù)學的模式觀嘹锁，各種數(shù)學概念葫录、數(shù)學公式、數(shù)學定理领猾、算法, 都應看作為數(shù)學模式，各種數(shù)學問題的解決方法骇扇、各種數(shù)學理論結(jié)構(gòu)體系以及各種思維方式和數(shù)學思想方法, 也都屬于數(shù)學模式摔竿。

? ? 數(shù)學模式的例子：

? ? ? 通過一個蘋果加兩個蘋果等于三個蘋果，可抽象出“1+2=3”模式和加法模式少孝。

? ? ? 看到3個人继低，3塊餅干，我們抽象出自然數(shù)”3”這個模式稍走。

? ? ? ? 勾股定理袁翁、幾何點線面柴底、三角形、長方形粱胜、平面柄驻、三維立體、面積焙压、體積鸿脓、方程、函數(shù)涯曲、微積分也是模式野哭。

模式與模型的區(qū)別與聯(lián)系

? ? 模型要具體一些，更貼近現(xiàn)實原型一些幻件，模式比模型更抽象拨黔，層次更高，適用面更廣泛绰沥，或者說模式是模型的二次或多次抽象(抽象再抽象)蓉驹。一定意義上(不嚴格)，可以認為模型是模式的子集揪利。

尋找目標模式&建構(gòu)模式&設想模式

? ? 模式觀指導下的模式思維的關(guān)鍵是模式識別和模式建構(gòu)态兴。目標模式，這些模式可能是已存在的模式疟位，也可能是新模式瞻润。解決問題時，需要借助聯(lián)想甜刻、類比绍撞、轉(zhuǎn)化、抽象得院、比較傻铣、對應等識別出問題對應匹配的(已存在的)模式，對新模式祥绞，除了聯(lián)想非洲、類比、抽象等這些之外蜕径，要更多地借助經(jīng)驗两踏、實驗、合情合理的猜想兜喻、歸納梦染、直覺來建構(gòu)模式或設想某種模式。

? ? 我們在初中數(shù)學中用待定系數(shù)法進行因式分解就是合情合理地設想分解后的結(jié)構(gòu)模式，例如

$12x^4+13x^3+25x^2+9x+6=(a_{1}x^2+b_{1}x+c_{1} )(a_{2}x^2+b_{2}x+c_{2} )$ 帕识。

等號右邊就是我們合情合理設想出的分解后的結(jié)構(gòu)模式泛粹，在設想出模式后，求待定系數(shù)時肮疗，我們還可以合情合理地利用特殊值法加快待定系數(shù)的求解晶姊。

例1.高中題

已知a、b族吻、c為正數(shù)帽借，且 $a+b+c=1。$ 證明：

$\sqrt{4a+1} +\sqrt{4b+1} +\sqrt{4c+1} > 2+\sqrt{5}$

? 首先運用矛盾分析法超歌。觀察這題的已知條件和結(jié)論特征砍艾，最顯著的特征是根號，根號隔開了4a+1巍举、4b+1脆荷、4c+1。顯然如果沒有根號懊悯，4a+1蜓谋、4b+1、4c+1三個相加炭分，就可利用上已知條件a+b+c=1桃焕。都是因為存在根號，它不但隔開了結(jié)論中的4a+1捧毛、4b+1观堂、4c+1,也切斷了結(jié)論和已知條件的聯(lián)系，不利于解題呀忧。它是解題障礙师痕，是制造理想與現(xiàn)實對立差異(矛盾)的根源，我們要想法消除它或克服超越它造成的解題困難而账。這就是辯證法中的矛盾分析法胰坟，通過分析找出矛盾，再化解和調(diào)和矛盾泞辐，對此題就是要消除根號或化解它的不利影響笔横。

下面給出4種證明方法，重點領悟這些方法的思維過程铛碑，方法不重要狠裹。

方法1.換元法

初步評估判斷：不等式左右兩邊直接平方消根號不可行。

要消除根號汽烦，結(jié)合我們的經(jīng)驗與知識，最先應該想到慣用的換元法(它也是模式)莉御，對3個根號進行換元撇吞。

令 $\sqrt{4a+1}=x+1,\sqrt{4b+1}=y+1俗冻，\sqrt{4c+1}? =z+1$ ，

$x牍颈、y迄薄、z均大于0$ 。結(jié)論變?yōu)樽C明 $x+y+z+3 > 2+\sqrt{5}$ ,這是我們的目標煮岁，要有目標意識讥蔽。

注：由于網(wǎng)頁中的數(shù)學公式經(jīng)常出現(xiàn)解析錯誤，顯示不了画机，還有一種情況在chrome瀏覽器上顯示正常冶伞，但在其它瀏覽器上顯示不了，所以把本系列中容易出現(xiàn)公式解析錯誤的地方換成了圖片步氏。

要有目標意識响禽，向目標中的x+y+z的形式逼近對齊，所以上式繼續(xù)變形如下：

$(x+y+z)^2-2xy-2xz-2yz+2(x+y+z)=4$ $\Rightarrow$

$(x+y+z)^2+2(x+y+z)? >4$ $\Rightarrow$ 解不等式可得 $x+y+z>\sqrt{5}-1$

$\Rightarrow x+y+z+3>2+\sqrt{5}$ 荚醒。得證芋类。

此方法運用換元法，并且換元有個技巧界阁，用的是 $\sqrt{4a+1}=x+1而不是通常的\sqrt{4a+1}=x 形式$ 侯繁，自己思考下為何要這樣？

上面是求x+y+z的下限(大于多少)泡躯，如果要求x+y+z的上限(小于多少)贮竟，自己思考下如何求。

要求上限精续，進行合情合理的設想坝锰，就是要變出類似如下形式的目標不等式

x+y+z的多項式 $\leq$ ? 某個常數(shù)

這個就是我們設想的目標，這個目標也是模式重付，得到這個目標后再解不等式得到上限顷级。

$顯然要根據(jù)x^2+y^2 +z^2+2(x+y+z) =4變出這個目標$ 。

向這個目標逼近确垫，顯然要建構(gòu)出 $x^2+y^2 +z^2和x+y+z的某種聯(lián)系$ 弓颈，也就是建構(gòu)關(guān)系，沒有關(guān)系就要建立關(guān)系删掀，沒有條件就創(chuàng)造條件翔冀。

$x^2+y^2 +z^2是二次形式，$ 它不太可能和一次形式的x+y+z存在聯(lián)系披泪，優(yōu)先想x+y+z的二次形式(平方)纤子。

如果熟悉柯西不等式，很快聯(lián)想到柯西，可得到 $3(x^2 +y^2 +z^2 )\geq (x+y+z)^2$ 控硼。

即便不熟悉泽论，也可在經(jīng)驗和直覺基礎上或合情合理設想得出：

$3(x^2 +y^2 +z^2 )\geq (x+y+z)^2$

設想出來后，還要通過嚴格的證明來驗證它卡乾，不用柯西也很好證明這個設想翼悴，此處省略證明。

下面就很好解決了幔妨。

$x^2+y^2 +z^2+2(x+y+z) =4\Rightarrow$

$\frac{(x+y+z)^2}{3} +2(x+y+z)\leq 4$ $\Rightarrow$

$x+y+z\leq \sqrt{21} -3$ 鹦赎，這就是上限，對應的 $x+y+z+3\leq \sqrt{21}$

如果熟悉函數(shù)的凹凸性質(zhì)和琴生不等式误堡，也可求上限古话。

令函數(shù) $f(x)=\sqrt{4x+1}$ ,函數(shù)圖像如下圖，凹凸性：二階導數(shù) $f$ "( $x$ )<0,故上凸埂伦。由琴生不等式可得：

$f(a)+f(b)+f(c)\leq 3f(\frac{a+b+c}{3} )=3f(\frac{1}{3} )=\sqrt{21}$

方法2? 合情合理的設想

根據(jù)前面的矛盾分析煞额，要化解根號的不利影響。除了換元法之外沾谜，還有哪些方法能消除根號的影響膊毁。

觀察結(jié)論，可以發(fā)現(xiàn)3個根號在形式上具有共性基跑，可以抽象為函數(shù) $f(x)=\sqrt{4x+1}$ (0<x<1),則結(jié)論變?yōu)?/p>

$f(a)+f(b)+f(c) > 2+\sqrt{5}$

我們想要消除根號的影響婚温，可以合情合理的設想，條件a+b+c=1是一次媳否，所以設想

如果有 $f(x)>kx+1該多好栅螟，這個不等式也是模式，雖然k待定篱竭。$ $kx+1就是一次$ 力图，并且 $f(x)大于它$ 。 $f(x)>kx+1$ 就是合情合理設想出的模式掺逼。

良好的愿望要有吃媒，要大膽設想美好的理想愿望，萬一實現(xiàn)了呢吕喘。

假設 $f(x)>kx+1$ 赘那， $k$ 為待定系數(shù)÷戎剩基于這個假設進行探索設想成立的必要條件和充要條件募舟，也就是驗證這個設想是否成立。

$\sqrt{4x+1} >kx+1$ 兩邊平方后整理可得：

$0 > k^2x^2+(2k-4)x=x(k^2x+2k-4 )$

$0>k^2x+2k-4$

不等式右邊為遞增函數(shù)闻察，顯然當x=1邊界值帶入上式也應成立拱礁，所以 $0>k^2+2k-4$ 琢锋，得出 $k<\sqrt{5} -1$ 。根據(jù)要證明的結(jié)論k應取上限為好觅彰，也就是取 $\sqrt{5} -1$ 吩蔑，由于x實際上不能為1或0钮热，故 $f(x)\ > (\sqrt{5}-1 )x+1$ 填抬，而不是 $f(x)\ \geq? (\sqrt{5}-1 )x+1$ 。

上面的思維過程和邏輯推理是在幕后的隧期，是在草稿紙上和大腦中探索解題方法的過程飒责。正式的證明如下：

令 $f(x)=\sqrt{4x+1}?$ ， $0<x<1$

易證 $f(x)\ > (\sqrt{5}-1 )x+1$ 仆潮，省略此證明宏蛉。

所以 $f(a)+f(b)+f(c)\ > (\sqrt{5}-1)a+1+(\sqrt{5}-1)b+1+(\sqrt{5}-1)c+1$

? ? ? = $(\sqrt{5}-1 )(a+b+c)+3=2+\sqrt{5}$ ? 證畢

? ? 合情合理的猜(設)想首先要結(jié)合問題的實際情況(已知條件和結(jié)論)，也就是問題上下文性置，設想要合乎情理拾并，合乎一定的邏輯，順理成章鹏浅，不能天馬行空隨意發(fā)散隨意想象嗅义，要有目標意識，就像放風箏要有繩子系著隐砸。但也不要完全拘泥于邏輯之碗，要有些大膽的自由的想象，要用破局思維解放思想跳出困局季希，打破思維定勢褪那，跳出三界外，不在五行中式塌。當前層次的問題博敬，很難靠這個層次的思考來解決，要提升思維的層次來解決峰尝。欲窮千里目偏窝，更上一層樓，高屋建瓴境析，要有高維高觀點的視角囚枪。構(gòu)造法也類似，要有直覺和合情合理的猜想和破局思維劳淆。

方法3 區(qū)間端點放縮

其實通過數(shù)形結(jié)合链沼，也可以得出上面的放縮不等式，殊途同歸沛鸵。

如上圖括勺， $\sqrt{4x+1}上凸缆八，在0<x<1 范圍內(nèi)，其函數(shù)曲線在(0,1)和(1,\sqrt{5} )兩端點構(gòu)成的線段之上疾捍。$

易知這條線段的函數(shù)方程為 $y=(\sqrt{5} -1)x+1$ ,故有用于放縮的函數(shù)不等式： $\sqrt{4x+1} > (\sqrt{5}-1 )x+1? , 0看見通過數(shù)形結(jié)合奈辰，很容易得到這個放縮不等式，也明白了構(gòu)造出這個放縮不等式的來龍去脈乱豆〗鼻。可以認為這是根據(jù)函數(shù)的凹凸性質(zhì)進行的(區(qū)間)兩端點(線段)放縮，這種放縮方法顯然具有通用性宛裕，可以重用瑟啃，所以它也是一種模式，兩端點放縮就是這種模式的名稱揩尸。談到這里蛹屿，順便簡略介紹下相關(guān)聯(lián)的切線放縮，雖然這道題沒用到切線放縮岩榆。切線放縮和函數(shù)的凹凸性以及函數(shù)圖像切線都有關(guān)系错负，它是構(gòu)造函數(shù)不等式的一種常用方法，剛才的兩端點放縮也是一種構(gòu)造函數(shù)不等式的方法勇边。切線放縮就是在函數(shù)圖像上選取合適的點構(gòu)造切線方程犹撒，結(jié)合原函數(shù)的凹凸性，就可得出原函數(shù)和其切線方程的大小關(guān)系粥诫，構(gòu)造出函數(shù)不等式油航。如下圖，原函數(shù)為<img class=$ 怀浆。

可見通過數(shù)形結(jié)合谊囚，我們很容易發(fā)現(xiàn)這個放縮不等式，明白了在正式的解題方法中它的來龍去脈执赡。

這種放縮方法也是一種模式镰踏，可把這種放縮模式命名為區(qū)間端點線性放縮，也就是通過區(qū)間的兩個端點構(gòu)成的線段對應的函數(shù)進行放縮沙合。

這里簡略介紹下相關(guān)聯(lián)的切線放縮奠伪。切線放縮就是在原函數(shù)圖像上選取適當?shù)狞c作切線，得到切線方程，結(jié)合原函數(shù)的凹凸性質(zhì)，可得到原函數(shù)和切線函數(shù)的大小關(guān)系速侈，利用這種大小關(guān)系構(gòu)造函數(shù)不等式進行放縮酷宵。

還是用 $y=\sqrt{4x+1}$ 為例信不。它是上凸函數(shù)，如下圖，如果我們選取其上的點 $(1,\sqrt{5} )$ 作切線，求導可知在點 $(1,\sqrt{5} )$ 處的切線斜率為 $\frac{2}{\sqrt{5} }$ 藐俺，過該點的切線函數(shù)方程為 $\frac{2}{\sqrt{5} } x+\frac{3\sqrt{5} }{5}$ 炊甲。原函數(shù) $y=\sqrt{4x+1}$ 上凸，它的曲線圖像在切線下方欲芹。

方法4? 運用局部調(diào)整思想的倆倆歸并

a卿啡、b、c三個數(shù)之和為1菱父，結(jié)論中的3個根號形式相同颈娜，如果熟悉局部調(diào)整思想，可以這樣思考：先固定a滞伟，也就是b+c=1-a為定值揭鳞、在b、c變化梆奈，但它們倆之和為定值的情況下分析 $\sqrt{4b+1} +\sqrt{4c+1}$ 的最小值或縮放下限，可理解為對這倆個根式之和進行歸并称开，合二為一亩钟。

要得到 $\sqrt{4b+1} +\sqrt{4c+1}$ 的下限，結(jié)合b+c=1-a的已知條件鳖轰，顯然要對這兩個根式之和進行平方去根號才能利用上這個已知條件清酥，也就是要順應已知條件，看菜下飯蕴侣，因形就勢焰轻，要借力必須要這樣變換，庖丁解牛也是順著已知條件順著牛身體中的縫隙變換刀的方向才能高效解牛昆雀，所以解題操作變換如下辱志，分析法證明：

$(\sqrt{4b+1} +\sqrt{4c+1} )^2=4b+1+4c+1+2\sqrt{(4b+1)(4c+1)}$

= $4(b+c)+2+2\sqrt{1+4(b+c)+16bc} > 4(b+c)+2+2\sqrt{1+4(b+c)}$

= $(\sqrt{1+4(b+c)} )^2+2\sqrt{1+4(b+c)} +1$ = $(\sqrt{1+4(b+c)} +1)^2$ $\Rightarrow$

$\sqrt{4b+1} +\sqrt{4c+1}? > \sqrt{1+4(b+c)}+1 =\sqrt{1+4(1-a)}+1=\sqrt{5-4a}? +1$ $\Rightarrow \sqrt{4a+1} +\sqrt{4b+1} +\sqrt{4c+1} >\sqrt{4a+1} +\sqrt{5-4a}+1?$

$\Rightarrow 只需證明\sqrt{4a+1}+ \sqrt{5-4a}+1 > 2+\sqrt{5}$ $\Rightarrow$ 只需證明

$\sqrt{4a+1}+ \sqrt{5-4a} > 1+\sqrt{5}$ $\Rightarrow 只需證明(\sqrt{4a+1}+ \sqrt{5-4a} )^2 > (1+\sqrt{5} )^2$ $\Rightarrow 只需證明$

$(4a+1)(5-4a) > 5$ $\Rightarrow 只需證明16a-16a^2>0$ ，由于0<a<1狞膘，顯然成立揩懒。

例2. 初中題

原點為O。

顯然角為銳角挽封，這題如果學過正弦定理已球，可知角ACB最大等價于ABC三角形外接圓半徑為最小。即便初中沒學過正弦定理也沒關(guān)系辅愿，這題不需要用到正弦定理智亮。

這題需要聯(lián)想到外接圓和圓周角的性質(zhì)。

如下圖点待，三角形 $ABC_{1}$ 的外接圓交X軸于 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 兩點阔蛉，根據(jù)定理：圓外一點和弦所張的角小于圓周角，圓內(nèi)一點和弦所張的角大于圓周角(點在弦的同一側(cè))亦鳞。這里的弦就是AB馍忽，圓外的點就是 $C_{3}$ 和 $C_{4}$ 棒坏，所以 $角AC_{3}B和角AC_{4}? B$ 均小于 $圓周角AC_{1} B$ ,當點在圓內(nèi)，也就是在 $C_{1} C_{2}$ 之間時遭笋，這些點和AB所張的角大于 $圓周角AC_{1} B$ 坝冕。

所以只要外接圓和X軸有兩個交點，則圓周角一定不是最大值瓦呼，顯然進行合情合理的猜想可得出當ABC外接圓和X正半軸相切時角ACB最大喂窟，如下圖，C為切點央串。

合理猜想得出結(jié)論后磨澡，還要嚴謹?shù)倪壿嬜C明，根據(jù)上面的定理很容易證明此時為最大角质和。OC為切線稳摄，有 $OC^2=OB\times OA$ 。

三角形AOC與BOC相似饲宿。

高觀點厦酬，如果在高中，可用(正切)萬能公式求兩角之差(角ACO-角BCO)的正切最大值瘫想，可得出取最大值時OC與OB與OA存在上述關(guān)系仗阅，OC為三角形ABC外接圓切線。

例3. 初中題

這里借用數(shù)學思想方法揭秘-6中的第35題來講解模式識別国夜、合情合理地設想模式减噪、聯(lián)想模式、構(gòu)造模式车吹。

這題可用配方法筹裕，但配方法難在拆項拼湊，也就是正向直接拆項拼湊不可行或配幾次難以配出合適的礼搁，碰壁后要提升思考的層次饶碘，要反其道而行，逆向思維馒吴，但如何反向思考得到拼湊方案扎运。

此題用配方法要提升思維層次，合情合理識別出如下模式： $(x+y+z)^2=x^2 +y^2+ z^2? +2xy+2xz+2yz$

或者如下模式：

$(x+y+z)^2-2xy-2xz=x^2 +y^2+ z^2? +2yz$

注：這個模式就是拉格朗日配方法饮戳。

這里 $x對應題中的a豪治，y對應b，z為常數(shù)$ 扯罐，結(jié)合待定系數(shù)负拟，將模式初步定型為

$(a+kb +c )^2 =a^2+k^2 b^2? +c^2 +2kab+2ac+2kbc$

對應： $模式中的2kab和題中的ab對應$ ， $2ac和題中的-a對應$ 歹河⊙谡悖可得 $k=\frac{1}{2}$ 花吟， $c$ = $- \frac{1}{2}$ 。把 $k$ 和 $c$ 代入上面的模式厨姚，進一步確定模式為如下：

$(a+\frac衅澈{2} -\frac{1}{2} )^2 =a^2+\frac{b^2 }{4} +\frac{1}{4} +ab-a-\frac{2}$

以上面的模式為目標谬墙，對 $a^2+ab+b^2-a-2b$ 進行有的放矢的拆項：

例4.初中題

思維過程：已知條件具有平方和特征今布，要求的代數(shù)式為倆倆相乘形式( $ab、bc拭抬、c^2$ )部默。顯然當a、b造虎、c三數(shù)同號時( $都\geq 0傅蹂，正或都\leq 0，負$ )才能取最大值累奈，也就是同號是取最大值的必要條件贬派。否則如果不同號，假設是2負1正澎媒，例如a和c為負，b為正波桩，顯然將b的值調(diào)整戒努，變成-b(負數(shù))，三數(shù)均為負數(shù)镐躲，平方和不變储玫，但調(diào)整后 $ab+bc+\frac{\sqrt{3} }{4}c^2$ 顯然增大或至少非遞減(考慮a、b萤皂、c有取0值的情況)撒穷。

同為正號和同為負號是等價的一一對應的，也就是每個同為正號的情況都對應一個同為負號的情況裆熙，反之也如此端礼，例如a=1，b=2入录，c= $\sqrt{3}$ 對應a=-1蛤奥，b=-2，c=- $\sqrt{3}$ 僚稿。故只需考慮三個數(shù)均為正號( $\geq 0$ )的情況凡桥。?

題外話：在兩個數(shù) $x,y$ 滿足 $x^2+ y^2 =a^2 （a>0）$ 情況下求 $xy$ 的最大最小值，一般運用基本不等式 $x^2+ y^2 \geq 2\vert xy \vert$ 蚀同。x缅刽、y同號時求最大值顯然簡化為通常用到的 $x^2+ y^2 \geq 2xy$ 啊掏。

回到本題，基于已知條件和所求代數(shù)式的特征衰猛，顯然應聯(lián)想到基本不等式迟蜜。

合理合理設想模式：合情合理設想，構(gòu)造出如下模式腕侄，

上面的內(nèi)容一般是在草稿上進行的探索解題方法的思維過程小泉。

如果本題非填空題，試卷上正式的解題過程如下冕杠，一般不會在試卷上寫出上面的探索解題思路和解題方法的思維過程微姊，也就是抹去了思維過程，拆除背后的思維腳手架分预，看不到思路的來龍去脈兢交。

解：顯然取最大值時a、b笼痹、c必同號( 三數(shù)均非負或均非正)配喳。

可見草稿紙上的思維過程和試卷上的書寫過程通常是相反的，分析法除外凳干。

上面的方法運用了待定系數(shù)法晴裹，在解方程求出這些系數(shù)的過程中，一些情況下也應優(yōu)先運用合情合理猜想救赐，特別是求解的未知數(shù)較多涧团，次數(shù)較高，此時我們一般用試根法经磅，特殊值法(例如特殊的整數(shù)或分數(shù))泌绣，也就是合情合理地猜想一些未知數(shù)的值代入方程進行驗證，這和因式分解時運用試根法和待定系數(shù)法時是一樣的预厌，都要優(yōu)先猜想根的可能值阿迈。

例5

這題和上一題類似，也是要先論證同號轧叽。

這題也存在對稱性和同一性苗沧，分母都是平方，系數(shù)也相同犹芹；

分類分組：分子 $ab+bc+cd$ 崎页，a、d都出現(xiàn)一次腰埂，b飒焦、c出現(xiàn)兩次,所以顯然a、d對稱，屬于同一組牺荠；而b則與c對稱翁巍，屬于另一組。

幾道涉及合情合理猜想的題休雌，自己思考下如何做灶壶，都是比較簡單的。

? 合情合理的猜(設)想就是結(jié)合已知條件杈曲、結(jié)論的特征以及解題過程中的解題需要驰凛，自然地順應它們，綜合直覺思維担扑，跟著感覺走恰响，既有理性但又不失感性地合情合理猜想各種數(shù)學模式&尋找模式&發(fā)現(xiàn)模式，包括模型涌献、中間結(jié)論胚宦、引理等。對設想出來的結(jié)論和引理等燕垃，還要加以證明或驗證枢劝。從上面的解題也可以看出，合情合理的設想卜壕，有些涉及到模式構(gòu)建您旁，這就和構(gòu)造法有聯(lián)系。

?合情合理的猜(設)想不一定成功轴捎，如果碰到猜想失敗被冒，就要反思調(diào)整，發(fā)散思維轮蜕，重新進行設想。

? 合情合理的猜(設)想在前面的系列中也有多次使用蝗锥，例如數(shù)學思想方法揭秘-5的第33題跃洛，在今日頭條"數(shù)學之道"例題中也有運用。