本章內(nèi)容
- 隨機(jī)變量
- 分布律者娱、0-1分布、伯努利試驗(yàn)
- 二項(xiàng)分布畔柔、n重伯努利試驗(yàn)
- 泊松分布
- 分布函數(shù)（累積分布函數(shù)CDF）
- 概率密度函數(shù)
- 均勻分布
- 正態(tài)分布
一纷责、隨機(jī)變量
拋一顆骰子,用X記錄得到的點(diǎn)數(shù)
將一顆硬幣拋三次捍掺，用Y記錄三次拋擲得到正面朝上的總數(shù)
對(duì)于明天的天氣,用Z ={0:不下雨,1:下雨}，記錄明天是否下雨
以上的X再膳、Y. Z都是隨機(jī)變量——一個(gè)從樣本空間映射到實(shí)數(shù)域的函數(shù)
定義:設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為S={e} , X=X(e)是定義在樣本空間S.上的實(shí)值單值函數(shù),稱X=X(e)為隨機(jī)變量挺勿。
離散與連續(xù)的區(qū)別就看能不能寫出隨機(jī)變量的每一個(gè)取值，是否每一個(gè)取值都有一定的概率饵史。
二满钟、分布律、0-1分布胳喷、伯努利試驗(yàn)
試驗(yàn)：將一顆硬幣拋三次湃番。用X記錄硬幣在三次拋擲中正面向上的次數(shù)。將X的所有可能取值相對(duì)應(yīng)的概率算出來吭露。
樣本空間：S={HHH吠撮，HHT，HTH讲竿，THH泥兰，HTT，THT题禀，TTH鞋诗，TTT}
X所有可能的取值：0，1迈嘹，2削彬，3
P(X=0)=P{TTT}=1/8
P(X=1)=P{HTT,THT,TTH}=3/8
P(X=2)=P{HHT全庸，HTH，THH}=3/8
P(X=3)=P{HHH}=1/8
離散型隨機(jī)變量X的分布律為：
例1：從生產(chǎn)線上隨機(jī)抽產(chǎn)品進(jìn)行檢測,設(shè)產(chǎn)品的次品率為p, 0<p<1 ,若查到一只次品就得停機(jī)檢修,設(shè)停機(jī)時(shí)已檢測到X只產(chǎn)品融痛，試寫出X的概率分布律壶笼。
例2：某人騎自行車從學(xué)校到火車站, 一路上要經(jīng)過3個(gè)獨(dú)立的交通燈,設(shè)各燈工作獨(dú)立且設(shè)各燈為紅燈的概率為p , 0<p<1 ,以X表示首次停車時(shí)所通過的交通燈數(shù),求X的概率分布律。
設(shè)Ai={第i個(gè)燈為紅燈}雁刷，則P(Ai) = p, i = 1,2,3覆劈。Ai之間相互獨(dú)立。
如果只經(jīng)過一個(gè)交通燈沛励，那么X的取值只能是0或1.分布律變?yōu)?
像這種责语，隨機(jī)變量只能取0或1的情況（試驗(yàn)的可能結(jié)果只分為兩種情況），我們稱X服從以p為參數(shù)的（0-1）分布或兩點(diǎn)分布目派。
這種結(jié)果只分為兩種情況的試驗(yàn)又稱為伯努利試驗(yàn)鹦筹。
三、二項(xiàng)分布與n重伯努利試驗(yàn)
將一個(gè)伯努利試驗(yàn)重復(fù)n次址貌，就是n重伯努利試驗(yàn)。
舉例：
二項(xiàng)分布：
可歸納出：
,記為X~B(n,p)
當(dāng)n= 1時(shí)，二項(xiàng)分布就是（0-1）分布吹害。
舉例：
某人獨(dú)立射擊400次螟凭，設(shè)每次命中率為0.02， 0<p<1它呀，設(shè)命中X次
(1) 求X的概率分布律螺男；(2) 求至少有兩次次命中的概率。
不放回抽樣在樣本總量很大的情況下可以近似使用二項(xiàng)分布纵穿，當(dāng)放回處理下隧，誤差影響不大。
例2：按規(guī)定,某種型號(hào)電子元件的使用壽命超過1500小時(shí)的為一級(jí)品.已知某一大批產(chǎn)品的一級(jí)品率為0.2,現(xiàn)在從中隨機(jī)地抽查20只.問20只元件中恰有k只(k=0,1,..20)為一級(jí)品的概率是多少?
四谓媒、泊松分布
泊松定理：
舉例：
計(jì)算機(jī)硬件公司制造某種特殊型號(hào)的微型芯片,次品率達(dá)0.1%,各芯片成為次品相互獨(dú)立.求在1000只產(chǎn)品中至少有2只次品的概率.以X記產(chǎn)品中的次品數(shù),X~b( 1000,0.001).
利用近似公式計(jì)算：
五淆院、累積分布函數(shù)（CDF）
區(qū)別于描述離散型隨機(jī)變量的分布律，使用CDF來描述連續(xù)型隨機(jī)變量句惯。CDF是更通用的描述方式土辩，離散型與連續(xù)型都可以滿足。
設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量抢野，x是任意實(shí)數(shù),函數(shù)F(x)=P{X≤x}稱為X的分布函數(shù)(累積分布函數(shù))
分布函數(shù)具有以下性質(zhì)：
舉例：
1拷淘、離散型隨機(jī)變量：
2、連續(xù)型隨機(jī)變量：
六指孤、概率密度函數(shù)
承接上例：
概率密度函數(shù)（PDF）：
概率密度函數(shù)滿足以下性質(zhì)：
如何理解概率密度函數(shù)：
其意義表示在任意X = x點(diǎn)處左右一個(gè)很小的鄰域中取值的概率启涯，這樣CDF才可以用積分形式來表達(dá)。
七、均勻分布
注意：對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量X逝嚎，X等于某個(gè)特定值的概率很小扁瓢，基本可以看做是0
八、正態(tài)分布
1补君、性質(zhì)：
特別的引几，當(dāng)μ=0, σ2 =1時(shí),稱X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,其概率密度和分布函數(shù)分布用φ(x) , φ (x)。
2挽铁、正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的轉(zhuǎn)換：
舉例：
3伟桅、二項(xiàng)分布與正態(tài)分布的聯(lián)系：
二項(xiàng)分布是離散情況下的正態(tài)分布。當(dāng)n足夠大時(shí)叽掘，可以用正態(tài)分布近似二項(xiàng)分布楣铁，從而避免二項(xiàng)分布中繁雜的計(jì)算。 若X~B(n,p)更扁，當(dāng)n足夠大時(shí)盖腕，有 X近似服從正態(tài)分布N(np,np(1-p))
