參考學(xué)習(xí)資源：
1.生信技能樹(shù)線下培訓(xùn)班視頻StatQuest系列
2.配合云天明讀研學(xué)習(xí)筆記系列
記錄補(bǔ)充一些不熟悉的概念

1 層次聚類，K-means聚類

• 在學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)錄組下游數(shù)據(jù)分析中，常用的熱圖我們需要對(duì)表達(dá)數(shù)據(jù)進(jìn)行聚類（clustering）和縮放（scaling）聂薪，然后展示出來(lái)的圖可視化效果更好
• 據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)縮放（scaling）會(huì)影響兩個(gè)結(jié)果冰沙，第一，不同表達(dá)水平基因的顏色，這會(huì)影響你比較不同樣本中的相同基因的表達(dá)水平，第二，影響聚類（clustering）

如何對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行縮放（scale）

• 無(wú)論對(duì)相同基因在不同樣本中進(jìn)行縮放矿咕，還是對(duì)全局的基因進(jìn)行縮放，最常用的方法就是Z值縮放法（Z-Score Scaling）狼钮，如下所示：

  
  
  來(lái)自StatQuest

• 具體看一下這種方法是如何實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)的縮放的

  
  
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• 第一步：計(jì)算其均值（均值為16.5）

  
  
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• 第二步：每個(gè)樣本的數(shù)值減去均值碳柱，此時(shí)，如果這個(gè)數(shù)值大熬芜，就表示此樣本的某基因轉(zhuǎn)錄水平高莲镣；如果數(shù)值小，就表示此樣本的某基因轉(zhuǎn)錄水平低

  
  
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• 第三步：計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差（標(biāo)準(zhǔn)差為6.28）

• 第四步：將第2步中的數(shù)值除以標(biāo)準(zhǔn)差

  
  
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經(jīng)過(guò)上述的處理后涎拉，無(wú)論原始數(shù)據(jù)的變異程度如何瑞侮，這些數(shù)據(jù)的范圍最終會(huì)縮小，之所以這樣處理鼓拧，就是因?yàn)槿绻紨?shù)據(jù)之間差異過(guò)大半火，那么不同基因表達(dá)水平就會(huì)變化程度（more subtle）更高的色度（shade）來(lái)表示，經(jīng)過(guò)這樣的處理季俩，用較小程度的色度（shade）就能表示出基因水平的差異钮糖，方便觀察

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• 此時(shí)，我們可能會(huì)遇到這樣的一種情況酌住，例如店归，如果數(shù)據(jù)中出現(xiàn)異常值時(shí)阎抒，數(shù)據(jù)會(huì)怎么樣，就像下面的這個(gè)樣子

  
  
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• 此時(shí)如果進(jìn)行Z轉(zhuǎn)換的話娱节，標(biāo)準(zhǔn)差會(huì)很大挠蛉，也就是Z值的分子會(huì)很大祭示，最終得到的值會(huì)有一部分集中在0附近肄满，只能用很少的色度來(lái)進(jìn)行區(qū)分，如下所示

  
  
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  這個(gè)時(shí)候就需要進(jìn)行如下一個(gè)處理

#來(lái)自曾老師的代碼
n=t(scale(t(dat[cg,]))) # 'scale'可以對(duì)log-ratio數(shù)值進(jìn)行歸一化
n[n>2]=2 
n[n< -2]= -2

如何聚類

• 原始數(shù)據(jù)經(jīng)過(guò)縮放后（scaling）质涛，此時(shí)就可以進(jìn)行聚類了稠歉，聚類有2種方法，分別是層次聚類（hierarchical clustering）和K-均值（K-means）聚類汇陆，先演示講層次聚類（hierarchical clustering）

  
  
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層次聚類（hierarchical clustering）

先看一個(gè)簡(jiǎn)單的案例怒炸，在這個(gè)案例中，有3個(gè)樣本毡代，每個(gè)樣本4個(gè)基因阅羹，如下所示：

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• 第一步，計(jì)算出哪些基因與基因1最為接近教寂，基因2明顯與基因1表達(dá)模式不同捏鱼，基因3與基因1的表達(dá)形式比較類似，基因4與基因1的表達(dá)模式也比較類似酪耕，但是导梆，在這幾個(gè)基因中，與基因1表達(dá)模式最接近的還是基因3

  
  
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• 第二步迂烁，計(jì)算出哪些基因的表達(dá)模式與基因2最為接近（然后是基因3看尼，基因4），經(jīng)計(jì)算發(fā)現(xiàn)盟步，基因4與基因2的表達(dá)模式最相似

  
  
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• 第三步藏斩，我們?cè)谇懊嬲业交?和基因3的表達(dá)模式相似，基因2和基因4的表達(dá)模式相似却盘，但是狰域，基因1和基因3的相似程度要比基因2和基因4的相似程度高，我們把前面的組合（基因1和基因3）放到一個(gè)簇（cluster）中

  
  
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• 第四步：此時(shí)再回到第一步谷炸，把基因1和基因3構(gòu)成的簇（Cluster # 1）當(dāng)作一個(gè)基因北专，然后再按照第二步，第三步來(lái)計(jì)算旬陡，經(jīng)計(jì)算拓颓，此時(shí)，基因2和基因4最相似描孟，把它們?cè)俜诺揭粋€(gè)簇中（Cluster #2）

  
  
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• 通常情況下驶睦，層次聚類（Hierarchical Clustering）通常會(huì)用一個(gè)樹(shù)形圖（dendrogram）連接起來(lái)砰左，用于表明聚類成員之間的相似性和聚類次序

  
  
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• 在右側(cè)的樹(shù)形中，我們可以發(fā)現(xiàn)场航，Cluster #1是最先形成的聚類缠导，它們的相似性最高

  
  
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• Cluster #2是第二個(gè)形成的聚類，它們的相似性次高

  
  
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• 而第三個(gè)聚類Cluster #3則包含了所有的基因溉痢，它是最后形成的

  
  
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層次聚類的原理

• 前面我們提到過(guò)僻造，層次聚類的第一步就是計(jì)算兩組基因的相似性，此時(shí)我們?cè)敿?xì)介紹一下如何進(jìn)行計(jì)算孩饼。

• 在計(jì)算相似性方面并沒(méi)有一個(gè)統(tǒng)計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)髓削，但有一些常用的手段。第一種計(jì)算相似性的方法就是歐氏距離（Euclidian distance）镀娶，如下所示：

  
  
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• 為了簡(jiǎn)單地說(shuō)明歐氏距離（Euclidian distance）立膛，我們以最簡(jiǎn)單的例子來(lái)說(shuō)明，在這個(gè)例子中梯码，有2個(gè)樣本宝泵，每個(gè)樣本有2個(gè)基因，然后兩個(gè)樣本的相同基因的差值的平方相加轩娶，并開(kāi)平方儿奶，得到的數(shù)值就是歐氏距離

  
  
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• 除了歐氏距離可以計(jì)算相似性外，還可以使用曼哈頓距離（Manhattan distance）和坎貝拉距離（Canberra distance）來(lái)計(jì)算相似性罢坝，其中曼哈頓距離只是不同樣本之間相同基因差值的絕對(duì)值之和

  
  
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• 我們看一下用不同的方法計(jì)算相似性的區(qū)別廓握，下圖的左側(cè)圖使用的歐氏距離（Euclidian distance）來(lái)得到的熱圖，右圖使用的是曼哈頓距離（Manhattan distance）得到的熱圖

  
  
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• 從圖上來(lái)看嘁酿，使用這兩種不同的相似性計(jì)算方法得到的熱圖略有差異隙券，具體要使用哪種方法來(lái)計(jì)算相似性，并沒(méi)有一個(gè)統(tǒng)計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)闹司，它們也沒(méi)有什么生物學(xué)意義娱仔。

• 具體原理就不記錄了，也記不住游桩，需要在返回原筆記查看牲迫，我主要是了解一下這個(gè)是什么怎么用就行。

K-means聚類

什么是K-means

• 先看一個(gè)場(chǎng)景借卧，例如我們手中有這樣的一批數(shù)據(jù)盹憎，把它們繪制到一個(gè)數(shù)軸上，此時(shí)你的目的就是把它們分成3個(gè)簇（cluster）铐刘，這三個(gè)數(shù)據(jù)或許是來(lái)源于三種不同的細(xì)胞或都是三種不同的腫瘤陪每，如下所示：

  
  
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• 我們僅從肉眼觀察，就知道這一批數(shù)據(jù)明顯可以分成3個(gè)簇，但是檩禾，如果我們不用肉眼來(lái)觀察挂签，用計(jì)算機(jī)來(lái)計(jì)算，如何得到這3個(gè)簇呢盼产？此時(shí)就需要用到一種算法饵婆，即K-means聚類

  
  
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K-means的基本思想

• 第一步：選擇你要聚類的個(gè)數(shù)，K-means聚類中的這個(gè)K就是你要聚類的數(shù)目的意思戏售，此時(shí)侨核，你們選擇K=3，這也就是說(shuō)蜈项，我們想把這些數(shù)據(jù)取成3個(gè)簇（cluster）芹关，對(duì)這個(gè)K值如何選擇续挟，我們后文會(huì)提到

  
  
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• 第二步紧卒，隨機(jī)選擇3個(gè)不同的數(shù)據(jù)點(diǎn)當(dāng)成3個(gè)簇

  
  
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• 第三步：計(jì)算第1個(gè)點(diǎn)到這三個(gè)簇的距離，先計(jì)算第1個(gè)點(diǎn)到藍(lán)簇的距離

  
  
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• 接著诗祸，計(jì)算第1個(gè)點(diǎn)到綠簇的距離

  
  
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• 最后跑芳，計(jì)算第1個(gè)點(diǎn)到橘黃簇的距離

  
  
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• 第四步：將第1個(gè)點(diǎn)歸于離它最近的簇，在這個(gè)案例中直颅，第1個(gè)點(diǎn)就屬于藍(lán)簇

  
  
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• 接著博个，重復(fù)前面的步驟，只是這次計(jì)算的第2個(gè)點(diǎn)功偿，第2個(gè)點(diǎn)最終的計(jì)算結(jié)果它屬于綠簇

  
  
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• 再計(jì)算第3個(gè)點(diǎn)盆佣，它屬于橘黃簇

  
  
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• 經(jīng)過(guò)最終計(jì)算，第3個(gè)點(diǎn)到最后的點(diǎn)都屬于橘黃簇

  
  
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• 此時(shí)械荷，所有的點(diǎn)都進(jìn)行了聚類

  
  
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• 第五步：計(jì)算每個(gè)簇的均值

  
  
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• 此時(shí)共耍，我們還按照前面的方法，計(jì)算每個(gè)點(diǎn)到這三個(gè)簇的均值的距離

  
  
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• 最終計(jì)算結(jié)果如下所示：

  
  
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• 經(jīng)過(guò)最終的計(jì)算吨瞎，我們發(fā)現(xiàn)痹兜，這些聚類結(jié)果并沒(méi)有發(fā)生改變，如下所示：

  
  
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• 也就是說(shuō)颤诀，K-means的聚類結(jié)果似乎比我們?nèi)庋圻M(jìn)行的聚類的結(jié)果還要差

  
  
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• 此時(shí)字旭，我們需要對(duì)聚類的結(jié)果進(jìn)行評(píng)估，其方法就是計(jì)算每個(gè)簇的變異崖叫，如下所示：

  
  
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• 由于K-means的聚類過(guò)程并不能“看”到最佳的聚類遗淳，只能追蹤這些簇與這些簇的總變異，然后通過(guò)不斷更改起始的數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行迭代心傀。

• 此時(shí)我們回到起點(diǎn)屈暗，再將隨機(jī)選擇3個(gè)初始數(shù)據(jù)點(diǎn)作為初始的簇，按照前面同樣的自救，計(jì)算剩余的點(diǎn)到這三個(gè)簇的距離恐锦，計(jì)算每個(gè)簇的均值往果，然后基于新的均值進(jìn)行聚類，直接這些簇不再改變?yōu)橹挂磺Γ缦滤荆?/p>
  

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• 計(jì)算的結(jié)果如下所示陕贮，此時(shí)這些數(shù)據(jù)已經(jīng)進(jìn)行了聚類，再計(jì)算這三個(gè)簇的變異潘飘，如下所示：

  
  
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• 這一輪迭代結(jié)束肮之，然后再來(lái)一輪，如下所示：

  
  
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• 我們把這三次的聚類結(jié)果放一塊兒卜录，我們可以發(fā)現(xiàn)戈擒，第二次的聚類結(jié)果最好，如下所示：

  
  
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• 但是我們并不清楚這個(gè)結(jié)果是不是所有可能的聚類結(jié)果中最好的（總變異最屑瓒尽）筐高，因此我們需要進(jìn)行更多次的聚類，然后才能下結(jié)論丑瞧。

• 此時(shí)我們提出一個(gè)問(wèn)題柑土，K值應(yīng)該如何選？在這個(gè)案例中绊汹，明顯可以知道K值為3稽屏，但是，有的時(shí)候西乖，這個(gè)K值并不像本案例中這么明顯狐榔，如下所示：

  
  
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• 其中一種確定K值的方法就是不斷地使用不同的K值，如下所示：

  
  
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• 我們先使用K=1這個(gè)數(shù)值获雕，通過(guò)計(jì)算總的變異程度薄腻，明顯這個(gè)結(jié)果不行，如下所示：

  
  
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• 再使用K=2典鸡，此時(shí)我們計(jì)算一下總變異被廓，這個(gè)結(jié)果比K=1的時(shí)候要好一些，如下所示：

  
  
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• 接著萝玷，我們使用K=3嫁乘，通過(guò)計(jì)算它的總變異，我們發(fā)現(xiàn)K=3的結(jié)果要比K=2更好球碉，因?yàn)樗目傋儺惛万迅缦滤荆?/p>
  

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• 再繼續(xù)，使K=4睁冬，我們發(fā)現(xiàn)挎春，K=4的總變異比K=3的總變異還要小看疙，如下所示：

  
  
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• 從前面的這些計(jì)算結(jié)果來(lái)看，我們能總結(jié)出一個(gè)規(guī)律直奋，每當(dāng)我們添加一個(gè)新的簇時(shí)能庆，總變異就會(huì)降低，當(dāng)簇的數(shù)目等于總的數(shù)據(jù)點(diǎn)的數(shù)目時(shí)脚线，總變異就是0搁胆，如下所示：

  
  
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• 如果我們把K值與變異降低的程度繪制成曲線，那么就能得到下面的這條曲線：

  
  
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• 從這個(gè)曲線上我們可以看到邮绿，當(dāng)K=3時(shí)渠旁，它之后的K值每增加1，總變異的降低幅度就沒(méi)有前面的快船逮，我們把K=3這個(gè)點(diǎn)稱為拐點(diǎn)（elbow plot）顾腊。

K-mean聚類與層次聚類的區(qū)別

• K-means聚類會(huì)把數(shù)據(jù)聚成你所期望的簇的數(shù)目，而層次聚類則中介告訴你挖胃，哪兩個(gè)數(shù)據(jù)是最相似的杂靶，如下所示：

  
  
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二維坐標(biāo)的K-means

如果我們的數(shù)據(jù)無(wú)法繪制到一條數(shù)軸上時(shí)，如何進(jìn)行K-means聚類呢冠骄，如下所示：

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• 這種情況下伪煤，它的聚類原理跟一維數(shù)軸的原理一樣，第一步就是隨機(jī)找到三個(gè)點(diǎn)（前提是你想聚成3個(gè)簇）凛辣，如下所示：

  
  
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• 然后，計(jì)算不同的點(diǎn)到這三個(gè)簇的歐氏距離（Euclidean distance）职烧，在二維坐標(biāo)中扁誓，計(jì)算這個(gè)歐氏距離就是采用勾股定理，如下所示

  
  
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• 接著蚀之，就像前面講的那樣蝗敢，距離最近的就屬于某個(gè)簇，如下所示：

  
  
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• 第一次的聚類結(jié)果如下所示：

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• 再接著足删，我們會(huì)像前面是找到的那樣寿谴，計(jì)算出每個(gè)族的中心點(diǎn)（也就是均值），然后再聚類失受，如下所示：

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• 最后讶泰，得到比較滿意的聚類圖，如下所示：

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熱圖的K-means

• 為了方便描述拂到，我們就以下面的案例說(shuō)明一下痪署，兩個(gè)樣本（sample 1和sample 2），分別有4個(gè)基因兄旬，現(xiàn)在把這兩個(gè)樣本分別命令為X狼犯，Y，把它們的基因放到二維坐標(biāo)軸上，如下所示：

  
  
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• 然后像前面那樣進(jìn)行聚類悯森，如下所示：

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• 事實(shí)上宋舷，在實(shí)際的計(jì)算過(guò)程中，我們并不需要把數(shù)據(jù)投射到二維坐標(biāo)上瓢姻，只用計(jì)算不同樣本之間的距離即可肥缔，例如歐氏距離，如下所示：

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R的kmeans()函數(shù)備注

• 在R中汹来，進(jìn)行K-menas聚類的函數(shù)是kmeans()续膳，它有一些注意事項(xiàng)。

• 1. 此函數(shù)會(huì)對(duì)每個(gè)距離加上權(quán)重收班，因此那些大簇（large clusters）的權(quán)重要略高于小簇（small clusters）的權(quán)重坟岔。
• 2. 默認(rèn)情況下，此函數(shù)只有一組原始的簇摔桦，如果你要使用多個(gè)不同的起始數(shù)據(jù)點(diǎn)社付，那么你需要設(shè)定參數(shù)nclust=25或者是25左右的數(shù)字，例如（kmans(data, k=3, nclust=25))邻耕。
     
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t-SNE

• t-SNE是一種將復(fù)雜的高維數(shù)據(jù)進(jìn)行降維鸥咖，同時(shí)還保留大量原始數(shù)據(jù)信息的一種方法。
• 現(xiàn)在我們講一下t-SNE是如何實(shí)現(xiàn)降維的兄世，如下所示：

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• 第一步啼辣，我們首先獲得原始的二維散點(diǎn)圖，然后把這些點(diǎn)隨機(jī)地投射到一個(gè)數(shù)軸上（就是一維坐標(biāo)）御滩，如下所示：

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• 第二步鸥拧，從這一步開(kāi)始，t-SNE會(huì)移動(dòng)這些投射到一維坐標(biāo)上的點(diǎn)削解，但一次僅移動(dòng)一個(gè)點(diǎn)富弦，直到這些點(diǎn)聚集起來(lái)，如下所示：

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• 第三步氛驮，在這一步我們可以看一下t-SNE是如何移動(dòng)第1個(gè)點(diǎn)腕柜，如下所示：

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• 由于第1個(gè)點(diǎn)是紅點(diǎn)，它是某個(gè)聚類中的一個(gè)成員（就是二維圖中紅色的分類）矫废，因此第1個(gè)點(diǎn)移動(dòng)的話盏缤，它會(huì)移向與它同類的這些點(diǎn)附近，也就是向右移動(dòng)磷脯，如下所示：

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• 與此同時(shí)蛾找，第1個(gè)點(diǎn)右邊的2個(gè)黃點(diǎn)和1個(gè)藍(lán)點(diǎn)（其實(shí)就是第1個(gè)紅點(diǎn)與第2個(gè)紅點(diǎn)之間的這3個(gè)點(diǎn)）在二維圖中離得比較遠(yuǎn)，因此它們會(huì)被推回去赵誓，如下所示：

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• 因此打毛，在第一次移動(dòng)的時(shí)候柿赊，第1個(gè)紅點(diǎn)移向右邊的那三個(gè)紅點(diǎn)，第1個(gè)紅點(diǎn)右側(cè)的兩個(gè)黃點(diǎn)與一個(gè)藍(lán)色移到左邊幻枉，如下所示：

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• 在這個(gè)案例中碰声，第1個(gè)紅點(diǎn)被右側(cè)的3個(gè)紅點(diǎn)吸引，它的吸引力最強(qiáng)熬甫，因此移向右側(cè)（我的理解就是胰挑，只看紅點(diǎn)，如果把它們聚集起來(lái)椿肩，必定要移動(dòng)瞻颂，我們首先移動(dòng)的是第1個(gè)紅點(diǎn)，第2個(gè)紅點(diǎn)右邊是3個(gè)紅點(diǎn)郑象，因此第1個(gè)紅點(diǎn)受到的吸引最大）贡这，如下所示：

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• 紅點(diǎn)移動(dòng)后就是下面的這個(gè)樣子（一次移動(dòng)一個(gè)位置）：

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• 移動(dòng)后，第1個(gè)點(diǎn)就變成了黃點(diǎn)厂榛，如果再次移動(dòng)的話盖矫，黃點(diǎn)的移動(dòng)就跟前面的紅點(diǎn)移動(dòng)過(guò)程一樣了，它受到右邊三個(gè)黃點(diǎn)的吸引击奶，就會(huì)移動(dòng)過(guò)去辈双，移動(dòng)后，紅點(diǎn)就又被推了回去柜砾，跟前面的原理是一樣的湃望，如下所示：

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• 此時(shí)，黃點(diǎn)移向右側(cè)局义，與那三個(gè)黃點(diǎn)更加接近喜爷，如下所示：

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• 移動(dòng)后筹淫，就成了這個(gè)樣子（部分疊加起來(lái)了）晋控，如下所示：

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• 然后不斷地重復(fù)上述過(guò)程巩检，這些不同類型的點(diǎn)就會(huì)一點(diǎn)一點(diǎn)聚集起來(lái)，如下所示：

先是這樣：

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然后是這樣：

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再然后是這樣：

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最終就成了這個(gè)樣子：

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上面的整個(gè)動(dòng)態(tài)過(guò)程建議看原視頻另萤，講得很透徹。

t-SNE使用t分布來(lái)計(jì)算相似分?jǐn)?shù)诅挑，因?yàn)槿绻皇褂胻分布四敞，這些聚類就會(huì)擠成一堆，很難觀察這些聚類的效果
這個(gè)是降維聚類拔妥，可視化后跟前面的二維坐標(biāo)的K-means有些類似

• 第44講的是多維尺度變換（multidimensional scaling忿危，MDS）與主坐標(biāo)分析（principal coordinate analysis,PCoA）。第45節(jié)講的是用R來(lái)計(jì)算MDS和PCoA没龙。

MDS與PCA非常相似铺厨，都是一種降維的方法缎玫。MDS分為度量MDS（Metric Multidimensional scaling）和非度量MDS（Non-metric Multidimensional scaling），其中非度量MDS也稱為經(jīng)典（Classical）MDS解滓，也叫做主坐標(biāo)分析（principal coordinate analysis,PCoA）赃磨，如下所示：

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MDS的基本思想

為了更方便地理解MDS，我們還是像介紹PCA那些洼裤，先講一個(gè)比較簡(jiǎn)單的例子邻辉，例如，我們?cè)谙旅娴膱D形中腮鞍，我們先看一群綠色的點(diǎn)值骇，把它們當(dāng)成是一群正常的細(xì)胞（當(dāng)然了，如果你不是做生物的移国，你也可以把它們視為一群人吱瘩，或一批汽車，或者城市等）桥狡，如下所示：

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雖然這群細(xì)胞看起來(lái)比較像搅裙，但實(shí)際上，它們有可能不同裹芝，如下所示：

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當(dāng)然了部逮，還有可能像這個(gè)樣子，如下所示：

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但問(wèn)題就在于嫂易，僅從直觀的角度來(lái)看兄朋，我們不太容易區(qū)分它們，但我們可以通過(guò)類似RNA-Seq這樣的手段來(lái)發(fā)現(xiàn)這些細(xì)胞有哪些基因是活躍的怜械，這樣就可以理解這些細(xì)胞的具體功能颅和，如果這是一群人，我們可以測(cè)量他們的血壓缕允，身高等數(shù)據(jù)峡扩，如下所示：

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我們就當(dāng)它們是細(xì)胞，這是測(cè)完RNA-seq的一些數(shù)據(jù)障本，如下所示：

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其中教届，第1行表示的是樣本，第1列是基因名驾霜，其余的部分是不同樣本某個(gè)基因的表達(dá)水平案训，此時(shí)，如果根據(jù)我們前面介紹的PCA法對(duì)這些數(shù)據(jù)進(jìn)行分析粪糙，那么我們就能把不同樣本之間的相互關(guān)系轉(zhuǎn)換到一個(gè)二維的坐標(biāo)圖上强霎，如下所示：

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那些高度相關(guān)的樣本就會(huì)聚集成一塊，如下所示：

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此時(shí)蓉冈，我們?cè)倩氐組DS和PCoA上來(lái)城舞，這兩種方法非常像PCA轩触，只是它們不是把樣本之間的相互關(guān)系轉(zhuǎn)換成二維坐標(biāo)，而是把不同樣本之間的距離轉(zhuǎn)換成二維坐標(biāo)椿争，如下所示：

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為了進(jìn)行MDS和PCoA分析怕膛，我們可以計(jì)算兩兩樣本之間的距離，就像下面的這個(gè)樣子秦踪，如下所示：

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為了方便理解褐捻，我們此時(shí)就只計(jì)算一下Cell1和Cell2的距離，如下所示：

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歐氏距離

一種常見(jiàn)的計(jì)算兩個(gè)樣本之間距離的方法是歐氏距離(Euclidean Distance) 計(jì)算法椅邓，如下所示：

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如果此時(shí)我們只有兩個(gè)基因柠逞，就像下面的這個(gè)樣子，如下所示：

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為了計(jì)算這兩個(gè)樣本之間的歐氏距離景馁，我們可以用線段來(lái)表示它們基因之間的距離板壮，如下所示：

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然后通過(guò)勾股定理，計(jì)算出歐氏距離合住，如下所示：

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如果我們有更多的基因绰精，那么就按照這種方法，求出兩個(gè)樣本中透葛，相同基因的差值笨使，再求其平方和的平方根，像下面的這個(gè)樣子：

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一旦我們計(jì)算好了不同樣本之間的歐氏距離僚害，那么我們就可以把這些樣本繪制到一個(gè)二維坐標(biāo)圖上硫椰，如下所示：

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利用歐氏距離（Euclidean Distance）來(lái)進(jìn)行的MDS和PCoA分析的一個(gè)局限就是，最終生成的二維坐標(biāo)軸基本上與PCA生成的二維坐標(biāo)圖是一樣的萨蚕，如下所示：

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換句話講靶草，這種基于最小線性距離的聚類（clustering）與最大化線性相關(guān)是一樣的，如下所示：

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不過(guò)岳遥，計(jì)算兩兩樣本之間的距離并非只有歐氏距離（Euclidean Distance）一種方法奕翔，如下所示：

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其他距離方法

例如，另外一種計(jì)算兩兩樣本之間的距離方法就是計(jì)算基因間差值的log轉(zhuǎn)換的平均值浩蓉，例如在下面的案例中糠悯，對(duì)于Cell1和Cell2的Gene1，它經(jīng)過(guò)log轉(zhuǎn)換后的數(shù)值就是log(3/0.25)妻往，同理，Gene2和Gene 8的計(jì)算也同樣如此试和，如下所示：

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經(jīng)過(guò)計(jì)算讯泣，再取它們的絕對(duì)值，最終我們計(jì)算出這些數(shù)值的平均值阅悍，如下所示：

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最終我們看一下分別使用了歐氏距離的MDS圖（左側(cè)）和使用了差異倍數(shù)log轉(zhuǎn)換的MDS圖的坐標(biāo)軸（右側(cè)）好渠，如下所示：

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不過(guò)昨稼，在生物學(xué)家眼中，通常會(huì)選擇表達(dá)差異倍數(shù)的log轉(zhuǎn)換值來(lái)計(jì)算兩兩樣本之間的距離拳锚，因?yàn)樗麄冄芯康幕蛲ǔＪ浅杀蹲兓募偎ǎ@樣用表達(dá)差異倍數(shù)的log轉(zhuǎn)換會(huì)比較合適，如下所示：

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我們常見(jiàn)的計(jì)算樣本間距離的方法有：曼哈頓距離（Manhattan Distance）霍掺、漢明距離（Hamming Distance）匾荆、大圓距離（Great Circle Distance）等，如下所示：

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總結(jié)

PCA構(gòu)建二維坐標(biāo)圖的方法基礎(chǔ)是不同樣本之間的相關(guān)性杆烁，而MDS和PCoA構(gòu)建二維坐標(biāo)圖的方法基礎(chǔ)則是基于不同樣本之間的距離牙丽，如下所示：

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PCA的計(jì)算流程為：計(jì)算樣本間的相關(guān)性 -> 復(fù)雜數(shù)學(xué)運(yùn)算（主要是特征值分解） -> 繪圖、主成分變異兔魂，Loading Scores烤芦。

而MDS和PCoA的計(jì)算流程與PCA的計(jì)算流程的不同之處就在于，第一步是計(jì)算樣本間的距離析校，其余的部分與PCA的計(jì)算差異不大构罗。