目錄

一乾戏，浮點(diǎn)數(shù)精度丟失？

二三热，整數(shù)的二進(jìn)制表示

三鼓择，浮點(diǎn)數(shù)的二進(jìn)制表示

四，iEEE 754浮點(diǎn)數(shù)的手動(dòng)轉(zhuǎn)換

五就漾，四舍六入五去偶

一呐能，浮點(diǎn)數(shù)精度丟失?

在iOS開發(fā)中，我們時(shí)常會(huì)使用 NSString 的 +方法，用格式化字符串將一個(gè)浮點(diǎn)數(shù)包裹為字符串摆出，如下面代碼所示:

將浮點(diǎn)數(shù)包裝為字符串

接著在需要使用基本數(shù)據(jù)類型的地方朗徊，再將字符串轉(zhuǎn)為基本數(shù)據(jù)類型，使用 NSString 的 - 方法 doubleValue 或 floatValue 可以輕松幫我們做到這一點(diǎn)偎漫，如下面代碼所示：

取出字符串的浮點(diǎn)值

一切都看起來很美好爷恳，不是嗎？16542.7 變?yōu)榱俗址?@"16542.70"象踊，當(dāng)我們需要使用基本數(shù)據(jù)類型來參與運(yùn)算時(shí)温亲，比如要計(jì)算總和，計(jì)算利率杯矩，再將 @"16542.70" 轉(zhuǎn)換為 浮點(diǎn)數(shù)的 16542.70栈虚，完美！perfect史隆！輕松加愉快魂务！好，先別高興太早逆害，讓我們看看將字符串轉(zhuǎn)為基本數(shù)據(jù)類型后的結(jié)果：

字符串轉(zhuǎn)為浮點(diǎn)值

的確如我們所期头镊，打印出了我們一開始定義的兩個(gè)浮點(diǎn)數(shù)值，但這個(gè)直白且 “毋庸置疑” 的打印結(jié)果魄幕，其實(shí)僅僅是個(gè)煙霧彈相艇，我們換一種方式，對(duì)格式化限定符稍加改動(dòng)纯陨，再來看打印結(jié)果：

保留到小數(shù)點(diǎn)后10位

結(jié)果似乎仍然正確顯示坛芽。
別慌，我們?cè)偕约痈膭?dòng)翼抠，再看打印結(jié)果：

保留到小數(shù)點(diǎn)后12位

怎么會(huì)這樣咙轩？？
浮點(diǎn)數(shù)似乎鬧了點(diǎn)小脾氣阴颖，他在我們預(yù)料的 “正確結(jié)果” 上發(fā)生了細(xì)小的偏差活喊，至此你可能會(huì)恍然大悟，因?yàn)?C 語(yǔ)言中量愧，格式化字符串默認(rèn) "%f" 默認(rèn)保留到小數(shù)點(diǎn)后第6位钾菊，也就是說，即使浮點(diǎn)數(shù)的值不是你所期望的 16542.7 而是 16542.70000000001偎肃，我們?cè)诖蛴r(shí)默認(rèn)讓他保留到了小數(shù)點(diǎn)后6位煞烫，那么這個(gè) 0.0000000001，也就理所當(dāng)然被省略掉了累颂。同樣道理滞详，28732.599999999999 也因?yàn)檫@樣的舍入，變?yōu)槲覀兯吹降恼_結(jié)果 28732.600000，而通過限制保留到小數(shù)點(diǎn)后到具體位數(shù)料饥，我的得以看到這個(gè)浮點(diǎn)數(shù)真實(shí)的面目蒲犬。

問題到底出在哪里？
我的浮點(diǎn)數(shù)精度定義時(shí)分明是 16542.7 和 28732.6 被你搞這么一同方法調(diào)用稀火，精度卻似乎是丟失了暖哨，具體是哪個(gè)步驟讓他發(fā)生了這種預(yù)期外的變化赌朋？凰狞？？

二沛慢，整數(shù)的二進(jìn)制表示

在計(jì)算機(jī)內(nèi)部赡若，所有數(shù)據(jù)類型均是以二進(jìn)制的方式存儲(chǔ)，比如 char 型變量 c = 'a'团甲，字符'a'對(duì)應(yīng)的ASCALL編碼是97逾冬，則它可以用二進(jìn)制表示為 1100 0001，比如 int 型變量 s = 255躺苦，則它可以用二進(jìn)制表示為1111 1111身腻，我們用以下打印佐證這一事實(shí)：
以下是該打印函數(shù)的實(shí)現(xiàn)體和測(cè)試用例，隨機(jī)數(shù)種子取固定值100匹厘，以
便你使用時(shí)能和我產(chǎn)生相同的結(jié)果嘀趟。

整數(shù)二進(jìn)制格式打印的函數(shù)體

展示整數(shù)二進(jìn)制格式的測(cè)試用例

整數(shù)類型的二進(jìn)制位表示

我們知道，將整數(shù)映射到二進(jìn)制的方式為補(bǔ)碼愈诚，簡(jiǎn)單說來她按，對(duì)于一臺(tái)64位的機(jī)器

（可以簡(jiǎn)單理解為內(nèi)存地址最大表示的上限是64個(gè)bit位，也就是8個(gè)字節(jié)炕柔，你可以使用 sizeof( int * ) 觀察輸出來佐證這個(gè)理解酌泰，你將觀察到，64位機(jī)器指針是8個(gè)字節(jié)匕累，而在32位機(jī)器上陵刹，指針是4個(gè)字節(jié)）

char 類型是 1 個(gè)字節(jié)，8 個(gè) bit 位欢嘿，則 0001 0100 表示為 1 * 2^2 + 1 * 2^4 = 20衰琐。

最大的 char 值是 0111 1111, 即 ( 2 << 7 ) - 1 也就是 127, 你可能會(huì)有所疑惑，如果最高位占 1 际插， 這樣不就比 127 還要大了嗎碘耳？記住，最高位是符號(hào)位框弛，在 C 家族 的世界中辛辨，數(shù)據(jù)類型分為有符號(hào)和無符號(hào)，而這個(gè)最左邊也就是最高位的 bit 位，代表一個(gè)數(shù)據(jù)類型的符號(hào)斗搞，0 代表正數(shù)指攒，1代表負(fù)數(shù)。

最小的 char 值是 1000 000, 即 -（ 2 << 8 ） 也就是 -128, 在補(bǔ)碼表示中僻焚，最高位符號(hào)位為 1 代表負(fù)權(quán)重允悦，所以 1001 0101 的有符號(hào)值就是 -(128) + 16 + 4 + 1 = -107，我們用以下代碼示例佐證該結(jié)論：

展示有符號(hào) char 的 負(fù)值 的二進(jìn)制表示

展示有符號(hào) char 的 正值 的二進(jìn)制表示

你可以通過右側(cè)二進(jìn)制表示反推 char 值虑啤，加深對(duì)補(bǔ)碼表示的理解

三隙弛，浮點(diǎn)數(shù)的二進(jìn)制表示

終于到了本篇文章的主題——浮點(diǎn)數(shù)，在計(jì)算機(jī)內(nèi)狞山，浮點(diǎn)數(shù)的存儲(chǔ)也不例外全闷，仍然使用二進(jìn)制位來存儲(chǔ)，但將浮點(diǎn)數(shù)映射為二進(jìn)制的方式卻與整數(shù)表達(dá)大相徑庭萍启，下面的打印使用了有意為之的空格作為隔斷总珠，請(qǐng)觀察以下打印結(jié)果

單精度浮點(diǎn)數(shù)的二進(jìn)制表示

乍看似乎毫無規(guī)律可循，其實(shí)你只用記住勘纯，當(dāng)今世界絕大多數(shù)計(jì)算機(jī)采用的浮點(diǎn)數(shù)編碼方式都遵守 IEEE 754 標(biāo)準(zhǔn)局服，這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)描述了這樣一種浮點(diǎn)數(shù)的定義方式：

浮點(diǎn)數(shù)值 = (-1) ^ S * ( 2 ^ E) * M

S 是符號(hào)位，E為移碼 （階碼 + 偏置量）驳遵，M是尾數(shù)

單精度浮點(diǎn)數(shù) 符號(hào)位占 1 bit, 移碼占 8 bit淫奔，尾數(shù)占23 bit。上述打印采用了相同的格式的空格隔斷超埋。

可以用下圖來形象的記憶單精度浮點(diǎn)數(shù) ( float ) 在內(nèi)存中的結(jié)構(gòu)

iEEE 754編碼的單精度浮點(diǎn)數(shù)的內(nèi)存示意圖

因此搏讶，我們采用定義一個(gè)用位域分割的結(jié)構(gòu)體，來表示單精度浮點(diǎn)數(shù)的內(nèi)存結(jié)構(gòu)霍殴，如下代碼所示

單精度浮點(diǎn)數(shù)位域結(jié)構(gòu)體

接著定義一個(gè)聯(lián)合媒惕，讓這個(gè)結(jié)構(gòu)體和一個(gè)單精度浮點(diǎn)數(shù)共享一塊內(nèi)存空間，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)来庭，這樣做是直觀且便于理解的妒蔚。

單精度浮點(diǎn)數(shù)聯(lián)合

這里用了 yh 的前綴只是為了解決系統(tǒng)已經(jīng)有了 float_t 定義產(chǎn)生的名字沖突。

接下來就完成浮點(diǎn)數(shù)二進(jìn)制格式打印函數(shù)的定義

浮點(diǎn)數(shù)二進(jìn)制表示的函數(shù)體

四月弛，iEEE 754浮點(diǎn)數(shù)的手動(dòng)轉(zhuǎn)換

下面我們執(zhí)行一些手動(dòng)的轉(zhuǎn)換肴盏，并利用工具函數(shù)驗(yàn)證結(jié)果，加深對(duì)浮點(diǎn)數(shù)的理解帽衙。

例1 ：float a = -128.625

首先將十進(jìn)制128.625轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制小數(shù)

128 -> 2^7 -> 10000000
0.625 -> 2^-1 + 2^-3 -> 0.101
128.625 -> 10000000.101

然后將二進(jìn)制小數(shù)表示為 IEEE 754標(biāo)準(zhǔn)的格式

10000000.101 -> 1.0000000101 * 2^7
-> (-1) ^ 0 * (2 ^ 7) *(0.0000000101 + 1)

階碼的轉(zhuǎn)換公式為 : E = e - 2 ^ (k - 1) (k 為階碼位數(shù))

對(duì)于單精度浮點(diǎn)數(shù)而言菜皂，階碼是 8 個(gè) bit 位
e = E + 127 = 7 + 127 = 134
將其表示為二進(jìn)制即 1000 0110

故 -128.625 的 IEEE 754標(biāo)準(zhǔn) 浮點(diǎn)數(shù)格式為

符號(hào)位 --------- 階碼 ------------------------------ 尾數(shù)
1 ------------- 1000 0110 -------------- 00000001010000000000000

用我們自己寫的工具函數(shù)來佐證這一結(jié)果:

屏幕快照 2017-09-06 12.34.37.png

例2 ：float c = 1.1

在對(duì) 1.1 進(jìn)行 IEEE 754 標(biāo)準(zhǔn)轉(zhuǎn)換前，我們先打印出 2^-1 ~ 2^-23 的精確值

 - 1   0.5
 - 2   0.25
 - 3   0.125
 - 4   0.0625
 - 5   0.03125
 - 6   0.015625
 - 7   0.0078125
 - 8   0.00390625
 - 9   0.001953125
 -10   0.0009765625
 -11   0.00048828125
 -12   0.000244140625
 -13   0.0001220703125
 -14   0.00006103515625
 -15   0.000030517578125
 -16   0.0000152587890625
 -17   0.00000762939453125
 -18   0.000003814697265625
 -19   0.0000019073486328125
 -20   0.00000095367431640625
 -21   0.000000476837158203125
 -22   0.0000002384185791015625
 -23   0.00000011920928955078125

對(duì)照上面的數(shù)值厉萝，接下來開始轉(zhuǎn)換 0.1

如果尾數(shù)有5位

0.0625 + 0.03125 = 0.9375 -> 0.00011

如果尾數(shù)有6位

0.0625 + 0.03125 = 0.9375 -> 0.00011 因?yàn)槿绻由系?位的1恍飘，就是 0.109375 超出了0.1

如果尾數(shù)有7位

0.625 + 0.03125 = 0.9375 -> 0.00011

如果尾數(shù)有8位

0.625 + 0.03125 + 0.00390625 = 0.09765625 -> 0.00011001

如果尾數(shù)有9位

0.625 + 0.03125 + 0.00390625 + 0.001953125 = 0.099609375 -> 0.000110011

如果尾數(shù)有10位和11位

0.6252 + 0.03125 + 0.00390625 + 0.001953125 = 0.099609375 -> 0.000110011

如果尾數(shù)是12位

0.6252 + 0.03125 + 0.00390625 + 0.001953125 + 0.000244140625 = 0.099853515625 -> 0.000110011001

如果尾數(shù)是13位

0.6252 + 0.03125 + 0.00390625 + 0.001953125 + 0.000244140625 + 0.0001220703125 = 0.0999755859375 -> 0.0001100110011

如果尾數(shù)是14位和15位

0.6252 + 0.03125 + 0.00390625 + 0.001953125 + 0.000244140625 + 0.0001220703125 = 0.0999755859375 -> 0.0001100110011

如果尾數(shù)是16位

0.6252 + 0.03125 + 0.00390625 + 0.001953125 + 0.000244140625 + 0.0001220703125 + 0.0000152587890625 = 0.0999908447265625 -> 0.0001100110011001

如果尾數(shù)是17位

0.6252 + 0.03125 + 0.00390625 + 0.001953125 + 0.000244140625 + 0.0001220703125 + 0.0000152587890625 + 0.00000762939453125 = 0.09999847412109375 -> 0.00011001100110011

如果尾數(shù)是18位和19位

0.6252 + 0.03125 + 0.00390625 + 0.001953125 + 0.000244140625 + 0.0001220703125 + 0.0000152587890625 + 0.00000762939453125 = 0.09999847412109375 -> 0.00011001100110011

如果尾數(shù)是20位

0.6252 + 0.03125 + 0.00390625 + 0.001953125 + 0.000244140625 + 0.0001220703125 + 0.0000152587890625 + 0.00000762939453125 + 0.00000095367431640625 = 0.09999942779541015625 -> 0.00011001100110011001

如果尾數(shù)是21位

0.6252 + 0.03125 + 0.00390625 + 0.001953125 + 0.000244140625 + 0.0001220703125 + 0.0000152587890625 + 0.00000762939453125 + 0.00000095367431640625 + 0.000000476837158203125 = 0.099999904632568359375 -> 0.000110011001100110011

如果尾數(shù)是22位和23位榨崩，結(jié)果都將是

0.6252 + 0.03125 + 0.00390625 + 0.001953125 + 0.000244140625 + 0.0001220703125 + 0.0000152587890625 + 0.00000762939453125 + 0.00000095367431640625 + 0.000000476837158203125 = 0.099999904632568359375 -> 0.000110011001100110011

恭喜你！如果你仔細(xì)用紙筆執(zhí)行完上述繁瑣的計(jì)算章母，相信你對(duì)浮點(diǎn)數(shù)已經(jīng)有了一些體會(huì)母蛛，當(dāng)然，我肯定是沒手動(dòng)做這些計(jì)算乳怎，盡管我能夠?qū)μ彀l(fā)四彩郊，上述計(jì)算都是絕對(duì)精確的，它們的實(shí)現(xiàn)方式如下代碼所示

iOS高精度庫(kù)封裝分類

這里采用鏈?zhǔn)骄幊虨楦呔人惴ㄔ谡{(diào)用上提供了輕便的支持蚪缀，使冗余的代碼變得簡(jiǎn)潔秫逝，如果你對(duì)鏈?zhǔn)骄幊桃约癷OS內(nèi)置的高精度算法庫(kù)比較熟悉，可以自己進(jìn)行封裝椿胯。當(dāng)然筷登，對(duì)不熟悉的讀者剃根，封裝方法也會(huì)在下一篇文章中講到哩盲。

從上述的轉(zhuǎn)換過程中可以發(fā)現(xiàn)，十進(jìn)制 0.1 轉(zhuǎn)成 二進(jìn)制表示的過程中似乎顯得無窮無盡狈醉，并且 0.1 的二進(jìn)制表示中不斷重復(fù)地出現(xiàn) 0011 這一形式廉油，你可能不禁想問，這個(gè)轉(zhuǎn)換過程真的是無窮無盡嗎苗傅？的確是這樣的抒线，對(duì)于單精度浮點(diǎn)數(shù)而言，因?yàn)槲矓?shù)只有23位渣慕，超出部分無法容納嘶炭，轉(zhuǎn)換似乎是停止了。但你也可以看到逊桦，我們盡力而為的二進(jìn)制表示結(jié)果 0.000110011001100110011 再轉(zhuǎn)換成 十進(jìn)制 后是 0.099999904632568359375眨猎，顯然這是一個(gè)趨近值，如果尾數(shù)部分能容納的范圍再增長(zhǎng)一些强经，這個(gè)轉(zhuǎn)換過程還將持續(xù)幾個(gè)來回睡陪，但這也僅僅只對(duì)向 0.1 的趨近中貢獻(xiàn)了微不足道的一些力量，實(shí)際上無論尾數(shù)有多長(zhǎng)匿情，都無法精確表示 0.1 （double 類型浮點(diǎn)數(shù) 的符號(hào)位占 1 bit兰迫，移碼占 11 bit，尾數(shù)占 52 bit）炬称。

整理我們剛才全部轉(zhuǎn)換過程汁果，可以得到：
1.000110011001100110011

整理成 iEEE 754 標(biāo)準(zhǔn)格式
(-1) ^ 0 * 2 ^ 0 * 0.000110011001100110011

根據(jù) 階碼 = 移碼 E + 偏置量 (2 ^ (k - 1)) k 表示階碼 bit 位數(shù)，單精度是 8 bit玲躯，雙精度是 12 bit

e = E + 127 = 127 -> 01111111

得到 1.1 轉(zhuǎn)換為 iEEE 754 標(biāo)準(zhǔn)編碼的浮點(diǎn)數(shù)

符號(hào)位 --------- 階碼 ------------------------------ 尾數(shù)
1 ------------- 0111 1111 -------------- 00011001100110011001100

用我們自己寫的工具函數(shù)來佐證這一結(jié)果:

大功告成 !!!

等等据德！

細(xì)心你的也許會(huì)發(fā)現(xiàn)鲸伴，這兩個(gè)結(jié)果是存在細(xì)微差別的！

用工具函數(shù)打印出來的浮點(diǎn)數(shù)尾數(shù)是

0 0011 0011 0011 0011 0011 0 "1"

最后一位是1

而經(jīng)過剛才的手工計(jì)算晋控，得到的尾數(shù)是

0 0011 0011 0011 0011 0011 0 "0"

最后一位是 0

好吧汞窗，如果你真能發(fā)現(xiàn)這一點(diǎn)，那我不得不對(duì)你的細(xì)心五體投地赡译。

這里之所以產(chǎn)生如此細(xì)微的差別仲吏，原因在于操作系統(tǒng)內(nèi)部實(shí)現(xiàn)的浮點(diǎn)數(shù)編碼時(shí)，默認(rèn)是向偶數(shù)舍入的蝌焚，為了說明什么是向偶數(shù)舍入裹唆，以及還有哪些舍入方式，我們來考慮下面尾數(shù)為3位的情況

五只洒，四舍六入五去偶

如果我們對(duì) 0.1001 只能提供 3 個(gè) bit 位用于表示许帐，顯然，第三位是最低有效位毕谴，我們只能忍痛“截?cái)唷钡?位往后的數(shù)據(jù)成畦，此時(shí)我們發(fā)現(xiàn)，0.0001 是 0.001的一半涝开，在這種情況進(jìn)行截?cái)鄷r(shí)循帐，操作系統(tǒng)默認(rèn)采用舍入到偶數(shù)的方式，操作系統(tǒng)會(huì)認(rèn)為最低有效位為0是偶數(shù)舀武，為1就是奇數(shù)拄养，所以 操作系統(tǒng)將 0.1001 舍入為 0.100 以保證最低有效位是偶數(shù) 0，而將 0.1011 舍入為 0.110 以保證最低有效位是偶數(shù) 0银舱。

讓我們看兩個(gè)向偶數(shù)舍入的例子（保留到小數(shù)點(diǎn)后兩位）瘪匿，10.11100 采用向偶數(shù)舍入的方式變?yōu)?11.00，10.10100 采用向偶數(shù)舍入的方式變?yōu)?10.10寻馏。

需要注意的是棋弥，如果最低有效位后的小數(shù)總和大于最低有效位的一半，將采用向上舍入操软，把1進(jìn)位到最低有效位嘁锯，如果最低有效位后的小數(shù)總和小于最低有效位的一半，將會(huì)把最低有效位后的所有小數(shù)部分舍棄掉聂薪，讓我們?cè)賮砜磧蓚€(gè)向上舍入的例子（保留到小數(shù)點(diǎn)后兩位)家乘，10.01101 將會(huì)向上舍入為 10.10，0.1111 將會(huì)向上舍入為 1.00藏澳。

再看兩個(gè)向下舍入的例子（保留到小數(shù)點(diǎn)后兩位)仁锯，0.1001 將會(huì)向下舍入為 0.10，0.0101 將會(huì)向下舍入為 0.01

回到我們的剛才轉(zhuǎn)換的 1.1翔悠，轉(zhuǎn)換后結(jié)果為

0 0111 1111 00011001100110011001100 1100...

可以看到业崖，最低有效位往后的小數(shù)總和大于末尾的一半野芒，所以采用向上舍入的方式，向最低有效位進(jìn) 1双炕，最終得到

符號(hào)位 --------- 階碼 ------------------------------ 尾數(shù)
1 ------------- 0111 1111 -------------- 00011001100110011001101

到此狞悲，你應(yīng)該對(duì)很早不知何時(shí)何地聽到的

浮點(diǎn)數(shù)是無法精確表示大部分實(shí)數(shù)的

這句話有更佳深刻的體會(huì)，的確妇斤，能被精確表示的只是很少的一部分摇锋，再回過頭看開頭的例子，你也許會(huì)豁然開朗站超。

并非在 [NSString stringWithFormat:...] 或者 [string doubleValue] 中發(fā)生了浮點(diǎn)數(shù)精度的丟失荸恕，而是 iEEE 754 標(biāo)準(zhǔn)定義的浮點(diǎn)數(shù)本身就無法精確表示一些實(shí)數(shù)，這就好比十進(jìn)制無法精確表示 (1 / 3)這個(gè)無限不循環(huán)小數(shù)死相。

既然從一開始就是不精確的融求，又何來精度丟失之談呢。