hello奄毡，大家好商蕴，今天我們來初步總結(jié)一下所有單細(xì)胞分析用到的NMF。
我們先來簡(jiǎn)單回顧一下批次矯正的方法liger皆的。LIGER 是 19年發(fā)在 Cell 上的覆履，算是連著自己的 resource 發(fā)了自己的計(jì)算方法。 在我分享的文章中10X單細(xì)胞（空間轉(zhuǎn)錄組）數(shù)據(jù)整合分析批次矯正之liger中詳細(xì)分享了liger费薄，其中用到了iNMF硝全，我們這次也要詳細(xì)的講解。
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其實(shí)liger批次矯正的核心思想是非負(fù)矩陣分解楞抡，希望兩個(gè) batch 的數(shù)據(jù)在分解中滿足一定性質(zhì)伟众，共享盡可能多的信息，并且認(rèn)為這部分共享的信息就是生物信息召廷。
兩個(gè) batch 的數(shù)據(jù)可以寫成如下形式凳厢，表達(dá)譜可分為 biological 信息和 technical 信息的加和账胧。
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MNN 假設(shè)（關(guān)于MNN就不再贅述，網(wǎng)上說了很多了）
關(guān)于 MNN 在這個(gè)框架下的假設(shè)
先紫、
正交治泥，也就是 Biology variance 和 batch effect 所代表的的方向相互正交。
|
- 
| >> |
α - 
ζ|遮精， 即 不同 Cell 之間的生物差異遠(yuǎn)大于 Batch 之間的差異時(shí)居夹。
根據(jù)這兩個(gè)假設(shè)，可以從上述的
= 
+ 
中推導(dǎo)出 MNN 的目標(biāo)函數(shù)本冲。（不包括校正那一步）
LIGER
接下來我們看 LIGER 的關(guān)鍵部分准脂，也就是兩個(gè)非負(fù)矩陣分解，但是在分解過程中不同 batch 之間共享一組 W （可以看成代表生物 module ）檬洞，另外還有一部分代表 data specific 的technical module 來 model batch effect狸膏。
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寫成數(shù)學(xué)表達(dá)式也就是
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首先在這篇文章中 gene cell 的維度和之前說的是反過來的，如果順過來也就是
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對(duì)比上文 MNN 中的式子
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可以發(fā)現(xiàn)添怔，其實(shí) LIGER 中也就是 = 湾戳、
= 
、
= 
= 
澎灸，然后這些矩陣均非負(fù)院塞。
此時(shí)再觀察 LIGER 的優(yōu)化目標(biāo)
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可以看到還有一項(xiàng)是關(guān)于
的懲罰，而
其實(shí)是
性昭，這表示希望學(xué)到的盡可能小拦止，反之即希望學(xué)到的盡可能大，也就是保留盡量多的共享生物信息糜颠。
所以總結(jié)一下 LIGER 在之前模型上的假設(shè)
1汹族、 =
、
=
其兴、
=
=
顶瞒，說明給定 biological module 和technical module 之后，這個(gè) loading 應(yīng)該是大家共享的元旬，也即說明兩者有一定的關(guān)系榴徐，可以由同一個(gè) factor loading 控制。
-
-
Summary
這些模型其實(shí)都是下述模型在不同假設(shè)情況下的特列
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其實(shí)liger最核心的思想就是integrative non-negative matrix factorization (iNMF)嗽仪。
接下來我們就來分享各種NMF，其實(shí)關(guān)于NMF的分享柒莉，我已經(jīng)寫了很多闻坚，文章在10X單細(xì)胞（10X空間轉(zhuǎn)錄組）之NMF的實(shí)際運(yùn)用示例（探索腫瘤特征）、10X單細(xì)胞（10X空間轉(zhuǎn)錄組）數(shù)據(jù)分析之約束非負(fù)矩陣分解（cNMF）等兢孝，供大家參考鲤氢。
首先是iNMF
我們來看 iNMF 中的目標(biāo)函數(shù)為：
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其實(shí) LIGER 就是從 iNMF 中來的（上面講了），一模一樣西潘。 但是值得說明的是， iNMF 原文目的是為了多組學(xué)的數(shù)據(jù)哨颂，也就是同一個(gè) sample 測(cè)了多種組學(xué)喷市，但是 LIGER 將整合多組學(xué)的方法順延到了整合不同 batch 上（當(dāng)然其實(shí)也非常明顯，不同組學(xué)的區(qū)別就是 technology 不同威恼， single cell中的 batch effect 當(dāng)然也可以看做是這個(gè)）品姓。
JNMF
而 iNMF 其實(shí)是建立在張老師 2009年這篇 JNMF 的基礎(chǔ)上的一個(gè)延伸，文章在A novel computational framework for simultaneous integration of multiple types of genomic data to identify microRNA-gene regulatory modules箫措，
我們來看兩者的目標(biāo)函數(shù)就可以非常清楚的看出這個(gè)延伸在哪腹备。
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相比之下 JNMF 只考慮兩個(gè)數(shù)據(jù)集之間共享的部分信息，對(duì)于各自特有的沒有考慮斤蔓，而 iNMF 考慮了這部分異質(zhì)性的信息植酥，但在優(yōu)化的時(shí)候又對(duì)其做了約束，希望這個(gè)異質(zhì)性的信息盡可能的小弦牡，也就是共享的信息盡可能大友驮。（共享的信息其實(shí)是說在這個(gè) W 張成的 common space 能盡可能的重構(gòu)原來的表達(dá)譜）。
CSMF
Common and Specific patterns via Matrix Factorization 驾锰，顧名思義就同時(shí)考慮了共享的和異質(zhì)性兩部分卸留。 但是和 iNMF 最大的區(qū)別是，iNMF 假設(shè)了在 bio space(W張成)椭豫，以及 tech space（V 張成的空間）坐標(biāo)是相同的耻瑟，或者兩者是共享一套 factor loading 的。 CSMF 去掉了這個(gè)限制赏酥。但是同時(shí)也去掉了對(duì)于 specific 部分的懲罰喳整。 話不多說直接看目標(biāo)函數(shù)！
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可以看到區(qū)別就是
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也就是上文中說到的 iNMF 假設(shè)了在 bio space (張成的空間)今缚，以及 tech space（ 張成的空間）坐標(biāo)是相同的算柳，或者兩者是共享一套 factor loading 的。 而 CSMF 去掉了這個(gè)限制姓言。且同時(shí)在目標(biāo)函數(shù)中也去掉了對(duì)于 specific 部分的懲罰瞬项。（這個(gè)我感覺不是很合理其實(shí)蔗蹋，但是不知道是不是處于優(yōu)化的考慮）。
cFIT,關(guān)于cFIT囱淋，文獻(xiàn)在Integration and transfer learning of single-cell transcriptomes via cFIT,
cFIT 的核心如下圖
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可以看到關(guān)鍵就是在于 cFIT 認(rèn)為
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這是什么意思呢猪杭，其實(shí)就是認(rèn)為最后的 
都是由
這個(gè)代表生物真實(shí)表達(dá)量通過一個(gè)線性變化得到的。其中
代表線性變換的 scale,
表示一個(gè) offset妥衣。一句話總結(jié)皂吮， cFIT 認(rèn)為batch effect 的影響是一個(gè) gene specific 的 線性變換。為 noise 乍一看 cFIT 和之前所述的分解為兩部分的 model 并沒有什么關(guān)系税手。 但是只要稍作變換就可以看出其實(shí)還是原始模型的變種蜂筹。
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也就是說認(rèn)為 batch effect 帶來的表達(dá)譜是線性于 的。
summary
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從上面幾個(gè)式子可以看出來最關(guān)鍵的部分就是怎么處理這個(gè)芦倒。
生活很好艺挪，有你更好
