【歐拉猜想】是否有無窮多個不可約分的正整數(shù)解

證明或否定: 不定方程 a^4 + b^4 + c^4 = d^4 (*)有正整數(shù)解会放。

形如

a^3+b^3=c^3
a^4+b^4+c^4=d^4
a^5+b^5+c^5+d^5=e^5
……

這樣的不定方程乌妙，是否有正整數(shù)解历恐？

這類問題被稱為：歐拉猜想, 其中4和5的都有正整數(shù)解, 3的被證明了無整數(shù)解,其它的都還不知道旺上。

歐拉猜想

歐拉猜想是歐拉提出的對費馬最后定理引出的猜想粪糙，歐拉猜想每個大于2的整數(shù)n叹誉，任何n- 1個正整數(shù)的n次冪的和都不是某正整數(shù)的n次冪鸯两，1966年L. J. Lander和T. R. Parkin推翻了這一猜想。

這猜想在1966年被L. J. Lander和T. R. Parkin推翻长豁。他們找出n= 5的反例：

27^5+ 84^5+ 110^5+ 133^5= 144^5

我們可以使用 Kotlin 代碼花差不多3min 的時間钧唐，算出來這組數(shù)字來：

    @Test
    fun test3() {
        var list1 = arrayListOf<Pair<Long, String>>()
        var list2 = arrayListOf<Pair<Long, String>>()

        val start1 = System.currentTimeMillis()
        // 假設(shè)： a<b<c<d, 肯定有： e > {a,b,c,d}
        for (a in 1..200L) {
            for (b in a..200L) {
                for (c in b..200L) {
                    Propositions.f3(a, b, c)
                    list1.add(Pair(Propositions.f3(a, b, c), "a=$a,b=$b,c=$c"))
                }
            }
        }
        val end1 = System.currentTimeMillis()
        println("Using Time1: ${(end1 - start1)} ms")
        println("list1.size=${list1.size}")

        val start2 = System.currentTimeMillis()
        for (d in 1..200L) {
            (d..200L).mapTo(list2) { Pair(Propositions.f4(it, d), "e=$it,d=$d") }
        }
        val end2 = System.currentTimeMillis()
        println("Using Time2: ${(end2 - start2)} ms")
        println("list2.size=${list2.size}")

        /*
        首先想到的，遍歷所有元素匠襟，窮舉判斷钝侠；更進(jìn)一層：平均切割 List，每一段開啟1個線程計算宅此。
        val start3 = System.currentTimeMillis()
        loop@ for (x in list2) {
            if (list1.contains(x)) {
                println("x=$x")
                break@loop
            }
        }
        val end3 = System.currentTimeMillis()
        println("Using Time3: ${(end3 - start3)} ms")
        */

        val start3 = System.currentTimeMillis()
        var list1n = arrayListOf<List<Pair<Long, String>>>()
        val segment = 10_0000
        val step = list1.size / segment
        for (i in 1..segment) {
            var listi = arrayListOf<Pair<Long, String>>()
            for (j in ((i - 1) * step)..(i * step - 1)) {
                listi.add(list1[j])
            }
            list1n.add(listi)
        }
        println("list1n.size=${list1n.size}")
        val end3 = System.currentTimeMillis()
        println("Using Time3: ${(end3 - start3)} ms")

        val start4 = System.currentTimeMillis()
        var threadList = arrayListOf<Thread>()
        list1n.forEach {
            threadList.add(Thread {
                for (x in list2) {
                    it.filter { x.first == it.first }
                            .forEach { println("$x,$it") }
                }
            })
        }
        println("threadList.size=${threadList.size}")
        for (thread in threadList) {
            thread.start()
            thread.join()
        }
        val end4 = System.currentTimeMillis()
        println("Using Time4: ${(end4 - start4)} ms")
    }

其中机错，f3,f4函數(shù)定義如下：

    fun f3(a: Long, b: Long, c: Long): Long {
        return a * a * a * a * a +
                b * b * b * b * b +
                c * c * c * c * c
    }

    fun f4(e: Long, d: Long): Long {
        return e * e * e * e * e - d * d * d * d * d
    }

運行的結(jié)果是：

Using Time1: 3247 ms
list1.size=1353400
Using Time2: 19 ms
list2.size=20100
list1n.size=100000
Using Time3: 72 ms
threadList.size=100000
(20301568331, e=144,d=133),(20301568331, a=27,b=84,c=110)
(45812264224, e=144,d=110),(45812264224, a=27,b=84,c=133)
(57735244800, e=144,d=84),(57735244800, a=27,b=110,c=133)
(61903015317, e=144,d=27),(61903015317, a=84,b=110,c=133)
Using Time4: 238898 ms

也就是（27，84父腕，110弱匪，133，144）。

但是萧诫，當(dāng)數(shù)字非常的大的時候斥难，這種單機(jī)遍歷循環(huán)，恐怕在有限時間內(nèi)帘饶，難以勝任哑诊。這個時候，也許超大規(guī)模并行網(wǎng)絡(luò)計算機(jī)及刻、量子計算機(jī)會解決這種問題镀裤。但是，數(shù)字是無窮大的本身這件事情缴饭，就非常奧妙無窮了暑劝。

1988年，Noam Elkies找出一個對n= 4制造反例的方法颗搂。他給出的反例中最小的如下：

2682440^4+ 15365639^4+ 18796760^4= 20615673^4

Roger Frye以Elkies的技巧用電腦直接搜索担猛，找出n= 4時最小的反例：

95800^4+ 217519^4+ 414560^4= 422481^4

同時，Noam Elkies 也證明了這個方程有無窮多個解 (橢圓曲線理論)丢氢。自此傅联，歐拉猜想也有了結(jié)論。

現(xiàn)在仍未知道當(dāng)n> 5時的反例疚察。

其實這樣的例子并不少蒸走，主要是當(dāng)時提出這個猜想的時候，推翻猜想的反例卻遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出人類自身的計算能力貌嫡，就必須得依靠計算機(jī)的大量計算载碌，才能判斷到時是對是錯。

我們今天先從最有名的歐拉來講起衅枫，作為中世紀(jì)著名的數(shù)學(xué)家，歐拉一生的創(chuàng)作極為豐富朗伶，只要不是藝術(shù)類和語言類的同學(xué)弦撩，相信都對歐拉念念不忘（有一些痛，一輩子都忘不了）论皆。

歐拉是一些產(chǎn)出極為豐富的數(shù)學(xué)家益楼，他也曾提出過這么一個猜想（歐拉猜想）：

image.png

當(dāng)歐拉提出這個猜想的時候，聲稱該方程沒有正整數(shù)解点晴。

在這個猜想提出來之后感凤，歐拉并沒有證實是否正確就已離去，而在歐拉離世后的兩百多年里粒督，大批數(shù)學(xué)家都嘗試去解開這道謎題陪竿，但并沒有人成功，誰也無法證明歐拉猜想是對的屠橄，同時也無法舉一個例子來證明這個是錯誤的族跛。

即便在計算機(jī)出現(xiàn)后闰挡，由于算力不足，依舊沒辦法找到一個反例來證明歐拉猜想是錯的礁哄，而這似乎也讓人們更加相信歐拉猜想是正確的长酗。

伴隨著計算算力的提升，歐拉猜想正式被證偽：

1988年桐绒，哈佛大學(xué)的Noam Elkies在一次計算中夺脾，發(fā)現(xiàn)了這個等式：

image.png

此時，這也就正式宣傳歐拉猜想是錯誤的茉继。但思想的堤壩有了出口咧叭，思維便一發(fā)不可收拾，在隨后的深入研究中馒疹，Noam Elkies發(fā)現(xiàn)該方程存在無窮多個正數(shù)解佳簸。

盡管歐拉猜想兩百多年來屹立不倒，但最終還是被推翻了颖变，兩百多年來生均，各路豪強(qiáng)用盡腦力也無法破解的謎題，終究被計算機(jī)所打破腥刹，而這也正入Simon Singh 所著的《費馬大定理：一個困惑了世間智者358年的謎》中的那句話：“這里的教訓(xùn)是马胧，你不能通過只對前一百萬個數(shù)字來證明一個猜想對所有的數(shù)都成立∠畏澹”

其實佩脊，數(shù)學(xué)上的證偽和證實都是一個非常有趣的過程，我們不斷的用例子來證明這個猜想是對的垫卤，到后來你會發(fā)現(xiàn)威彰，即便是一百萬個對的例子卻敵不過一個反例。

這也和我們的人生一樣把ㄖ狻歇盼！

【參考閱讀】

世界三大猜想

費馬猜想

【歐拉猜想】是否有無窮多個不可約分的正整數(shù)解

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