[TopLanguage主題討論]今天我們思考

By 劉未鵬

最近一段時間，看了許多心理學和思維的書泽铛，一些數(shù)學和解題的書壮韭，做了少許題目北发。兩者結(jié)合起來，作了一點思考喷屋。本來是寫了發(fā)到maillist里的琳拨，但寫著寫著這段時間以來的一些思考和總結(jié)冒了出來，超出了一篇mail通常的長度屯曹，遂貼了上來狱庇。

波利亞的《How To Solve It》里面有一個章節(jié)列出了一大堆的Heuristics（啟發(fā)法），譬如把題目泛化恶耽、考察問題的特例密任、類比、看能否扔掉什么條件偷俭、看能否修改什么條件浪讳、時刻注意未知量...等等。

我有一個信念涌萤，所謂的靈感驻债，背后一定有它的規(guī)則乳规，雖然靈感發(fā)自無意識層面（參考《追尋記憶的痕跡》（坎德爾），以及《態(tài)度改變與社會影響》（津巴度）的"閾下刺激"章節(jié)）合呐，我們無法在靈感之前就在意識層面覺察到靈感誕生的過程暮的，然而我們的確可以在靈感發(fā)生之后通過回顧和合情推理總結(jié)出最有可能的思路，數(shù)學的發(fā)展某種意義上做的就是這樣一件事情淌实，從最樸素的推理冻辩，到數(shù)學方法的產(chǎn)生——從三段論、形式邏輯拆祈、數(shù)學歸納法恨闪、類比、分治這些一般思維規(guī)則到鴿籠原理放坏、極值原理咙咽、貪婪原理這類解決特定問題的原理，無一不是對思維過程的事后總結(jié)和整理淤年。譬如我覺得形式邏輯就是最大的事后整理出來的思維法則钧敞，人類天生在無意識層面就具有推理能力（參見皮亞杰的認知發(fā)展原理），就像（也許）自然數(shù)是根植在大腦里面的概念一樣麸粮，這些概念是進化出來的溉苛，我們無意識間就能夠熟練運用。然而弄诲，要想讓它們得到發(fā)展愚战、生長，乃至能形式化到紙上齐遵，成為任何人都能操作的方法論寂玲，則需要意識的參與。

我們做題梗摇、做題拓哟、做題，往往認為到達熟練的唯一辦法就是做題留美，認為只有埋頭做題才能夠提高能力。誠然伸刃，練習是必要條件谎砾。但有些練習比另一些練習更有效。

我們苦思冥想捧颅，在某個瞬間景图，從無意識層面冒出來一個點子，于是我們意識到碉哑，我們得到了靈感挚币，于是我們歡呼雀躍亮蒋；隨著時間的推移，這樣的靈感時刻也許會越來越多妆毕，于是我們認為這就是最有效的練習方法慎玖。我不這么認為，我覺得題目背后的思維大抵是相通的笛粘，通過一次次的等待靈感來練習趁怔，是被動的。在靈感出現(xiàn)之后總結(jié)為什么靈感會出現(xiàn)薪前，背后可能有什么樣的思維法則润努，看看能否泛化到一類題目，這樣才是事半功倍的方法示括。

事實上铺浇，你有沒有發(fā)現(xiàn)，在解決一個問題的時候垛膝，你所意識到的思維過程是跳躍式的鳍侣，伴隨著一個一個從無意識層面“冒”上來的點子，每一個這樣的點子都會把你的思維推向前一大步繁涂，最重要的這樣的點子拱她，被稱為靈感。由于我們的意識層面無法覺察到無意識層面的推理邏輯扔罪，所以人們只能絕望地認為除了在一次次解題中讓你的無意識層面的神經(jīng)元得到鍛煉之外別無它法秉沼。然而啟發(fā)法的出現(xiàn)卻正打破了這個觀點，所謂啟發(fā)法其實就是"原本被我們無意識運用"矿酵，而"后來被形式化地提出來唬复，可以由意識來指導的方法"凿渊。一旦總結(jié)出了重要的巩搏、一般性的思維的法則，我們下次便有可能不用絕望地等待摸不著的靈感的閃現(xiàn)偶翅，而是可以系統(tǒng)化地嘗試各種可行的手法（啟發(fā)法）了辜腺。

要實現(xiàn)這個目的（即總結(jié)自己的靈感背后的思維規(guī)則進而泛化為一般性的解題思路）休建，我認為一種方法是可取的，即所謂的"看得著的思考"——把你的思考過程詳細的寫在紙上评疗。人的意識就像暗夜里的燈光测砂，只能照亮一個很小的局部，如果不寫下來百匆，思維的燈光總是有限的砌些，有可能走到后面忘掉前面，也有可能干脆就停在當?shù)貨]法往下思考。寫下來存璃，可以避免這個問題仑荐，思維就可以往下走，思維的觸角就可以擴充纵东，燈光就可以照到越來越多的地方粘招。此外，"寫下來"還能夠使得自己能夠回過頭來檢視自己的整個思考過程——也許前面某個時候你想到一個東西篮迎，但如果不記下來你就很快忘了男图，而記下來回頭一看也許你又有很大的啟發(fā)。也許甜橱，你在思維的某一個環(huán)節(jié)上無意間引入了一個想當然的假設(shè)逊笆，從而掉入了思維定勢的陷阱，通過寫下來岂傲，就可以一定程度上避免這樣的陷阱难裆。

從一道題目中獲得最多的東西，這是做題的目的镊掖。

你有沒有這樣的經(jīng)歷乃戈，一道題目你做不出來，你拿去問某個人亩进，某個人想了一會兒症虑，然后指出某個關(guān)鍵的步驟，于是一切豁然開朗归薛。

但這遠遠不是全部谍憔！

如果你繼續(xù)問他是怎么想到的，經(jīng)驗告訴我主籍，幾乎所有的可能性都指向一個答案"我也不清楚"习贫。

為什么？我自己的經(jīng)驗是千元，我相信是因為絕大多數(shù)人都沒有仔細反省自己思考的過程苫昌。如果想不出來，拉倒幸海。如果想出來了祟身，萬事大吉。但波利亞在《How to Solve it》中說到物独，他在教學的過程中總是碰到這樣的問題"你是怎么想到的"袜硫？這個問題促使了他去總結(jié)思維的規(guī)律，有了這些規(guī)律议纯，即使不那么富有靈感的人父款，也可以運用這些規(guī)律溢谤，讓自己的思維的觸角能夠伸展開去瞻凤。我們也不妨把這些啟發(fā)法稱作思維的“方子”（recipe）

答案不重要憨攒，如果你直接告訴我關(guān)鍵的一步，我什么也沒有得到阀参。甚至就算我自己想出了最關(guān)鍵的一步肝集，也許我還是什么都沒得到。因為這樣的經(jīng)驗只能極其有限地對我下一次的問題產(chǎn)生幫助蛛壳；除非我能進一步思考思維背后的規(guī)則杏瞻，才能讓最多的東西為我以后所用。

所以衙荐，重要的是思考的過程捞挥，不管這個過程是不是帶領(lǐng)你得到答案。我相信只有最深刻反省了思考的真正過程忧吟，才能夠從做題中獲得最多的東西砌函。

遂發(fā)起這個系列"今天我們思考"（本來是想寫"今天我們做題"，但想到這個討論的目的其實是思考溜族，遂改了）讹俊，大家都把自己認為最精彩的題目發(fā)上來（發(fā)的時候加上[今天我們思考<編號>]便于以后搜索），我想一定是一件于人于己都是非常有益的事情煌抒。

題目未必要新仍劈，很多人都做過的也沒關(guān)系，我的經(jīng)驗是寡壮，就算以前想出來的題目贩疙，現(xiàn)在抱著思索“我是怎么想出來的”的態(tài)度再去反思，也能夠得到很有用的東西诬像。所以關(guān)鍵是題目要經(jīng)典屋群，要能體現(xiàn)出某種思路。

這個系列的關(guān)鍵是想要討論做題的思路坏挠，而絕非題目本身芍躏，答案完全不是目的，就算得不出答案的思路也有很大的價值降狠。如果你想到了一些思路对竣，但看上去離答案還相差甚遠，沒有任何關(guān)系榜配，貼上來否纬，也許對別人的思路有很大啟發(fā)。這是一個郵件列表內(nèi)的頭腦風暴蛋褥。如果你想到了答案临燃，并且能夠總結(jié)出自己思路中的關(guān)鍵法則（你是怎么想到的），我想大家都會受益匪淺。

如果你對以往做題的思路有很好的思考膜廊，也歡迎和大家分享～

P.S. 郵件列表內(nèi)的帖子和題目見這里乏沸，歡迎參與:)

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