最優(yōu)控制論讀書(shū)筆記
1. 變分與最優(yōu)控制
在數(shù)學(xué)中, 考慮函數(shù)的最值或者極值是也一件十分重要的事情, 在一般意義下, 我們通诚承桑考慮如下問(wèn)題.
設(shè)
為非空集,
為函數(shù), 我們尋找
的最小值與最大值.
這個(gè)問(wèn)題無(wú)論對(duì)應(yīng)數(shù)學(xué)本身還是對(duì)應(yīng)用數(shù)學(xué)而言都有者作用的意義, 誰(shuí)人不關(guān)心自己的投資, 誰(shuí)不想自己的投資獲得最大回報(bào), 誰(shuí)不想如果損失不可避免, 那么讓損失盡可能地小. 類(lèi)似于這樣的想法, 凸顯出尋找函數(shù)最值具備的重要意義.
不過(guò)這樣的問(wèn)題太過(guò)一般, 因此很難給出一個(gè)有效的辦法, 因此在人們處理問(wèn)題的辦法是, 先研究這個(gè)問(wèn)題最簡(jiǎn)單的情況.于是就有如下版本.
設(shè)
為非空集, 我們?cè)诤芏嗲闆r下關(guān)心函數(shù)
的最小值與最大值.
當(dāng)然, 我們將涉及到兩個(gè)基本的問(wèn)題.
- 函數(shù)
- 如果函數(shù)
我們先來(lái)討論最值的存在性.
事實(shí)上, 函數(shù)的最值的存在性并不是一個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題, 目前針對(duì) 和
添加若干限制, 我們能知道其存在性. 比如
緊性: 也就是
是緊集, 且
強(qiáng)制性條件: 若
, 且
那么
當(dāng)然還有各種各樣的條件.
當(dāng)然, 這種存在性的研究是一件重要的事情, 不過(guò)這不是直接的, 在這證明存在之后,具體如何找打這些最值點(diǎn)就變得是否要緊了.
歷史上, 人們也的確走了另外一條路, 也就是在假定 的最值存在的條件下(不管其是真正的存在或者只是一種假定), 人們考慮這些最值點(diǎn)應(yīng)該會(huì)滿(mǎn)足什么性質(zhì), 然后沿著這些性質(zhì)去尋找相應(yīng)的最值點(diǎn), 這種思路在歷史上最成功的一個(gè)辦法之一應(yīng)該是由著名數(shù)學(xué)家 Fermat 觀察到, 也就是下面著名的引理.
Fermat 引理: 假設(shè)函數(shù)
處取極值, 并且
這個(gè)引理給了我們一個(gè)尋找函數(shù) 最值點(diǎn)的一個(gè)途徑, 也就是在
的零點(diǎn)集
中去尋找 的最值點(diǎn). 不可否則, 如果函數(shù)
的導(dǎo)函數(shù)
容易計(jì)算, 并且
的零點(diǎn)集容易計(jì)算的話(huà), 那么這個(gè)辦法將是相當(dāng)有效的.
當(dāng)然, 這里考慮的函數(shù)的定義域落在一維空間上的情形, 在一維空間取得的成就人們自然會(huì)想辦法將其拓展到高維空間.
當(dāng)然, 上面這個(gè)簡(jiǎn)單的版本, 注意, 只是形式上的簡(jiǎn)單, 當(dāng)遇到 的導(dǎo)函數(shù)不存在或者
的零點(diǎn)很難計(jì)算的時(shí)候, 這個(gè)簡(jiǎn)單的版本也不會(huì)簡(jiǎn)單.
在考慮了上面這個(gè)簡(jiǎn)單的版本之后, 人們自然希望拓展這中類(lèi)型的辦法, 自然的想法當(dāng)然還是限制函數(shù)的定義域. 因此有了如下的考慮.
設(shè)
是定義在
上的函數(shù), 如果
非空, 我們自然希望考慮上的最值點(diǎn).
在這里需要注意的, 當(dāng) 足夠復(fù)雜的時(shí)候,
可能十分的復(fù)雜, 因此這個(gè)問(wèn)題是不會(huì)簡(jiǎn)單的. 當(dāng)然如果將
進(jìn)行適當(dāng)?shù)南拗? 那么
可能會(huì)是
中我們相當(dāng)熟悉的集, 比如是閉集, 緊集之類(lèi)的.
在這方面, 類(lèi)似于 Fermat 當(dāng)年的思路, 目前知道十分有效的辦法是 Lagrange 乘子法. 在這里不補(bǔ)充詳細(xì)的細(xì)節(jié).
當(dāng)然, 隨著研究范圍的擴(kuò)大, 首先出現(xiàn)的一類(lèi)問(wèn)題是當(dāng) 為某類(lèi)函數(shù)空間.
例: 設(shè) 為
中的某個(gè)曲面,
,
為
上兩點(diǎn), 一個(gè)自然的問(wèn)題是考慮曲面上連接
,
兩點(diǎn)的所有路徑中路程最段的.
其中
當(dāng)然, 由于 的復(fù)雜性以及未來(lái)會(huì)演變?yōu)榱餍?
, 這就導(dǎo)致這個(gè)問(wèn)題是如此的不平凡和值得研究.
2. 最優(yōu)控制的一般性概念
想從數(shù)學(xué)的角度清楚地對(duì)控制系統(tǒng)下一個(gè)定義是困難的, 控制論研究的目的在于搞清楚復(fù)雜系統(tǒng)內(nèi)部各個(gè)因素之間的聯(lián)系, 并達(dá)到對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行控制達(dá)到我們目的, 因此我們面對(duì)的系統(tǒng)必然是各式各樣且復(fù)雜的, 因此要數(shù)學(xué)意義上統(tǒng)一模型化和公理化是困難的.
通常一個(gè)控制系統(tǒng)包含一些輸入變量, 一些輸出變量.
我們這里不對(duì)控制系統(tǒng)進(jìn)行定義, 而是對(duì)控制系統(tǒng)進(jìn)行公理化的辦法, 在數(shù)學(xué)上, 如果我們可以從輸出完整地將狀態(tài)構(gòu)造出來(lái), 則我們稱(chēng)這個(gè)系統(tǒng)是完全能觀的.
作為控制系統(tǒng), 我們關(guān)心其能控性, 能觀性, 注意這里的能控制性與能觀性在更進(jìn)一的層次需要進(jìn)行細(xì)致區(qū)分, 也就是說(shuō), 不同的能控性有著細(xì)致的區(qū)別, 我們要將其區(qū)別出來(lái), 能觀性也是有區(qū)別的, 我們要在數(shù)學(xué)意義下將其區(qū)別出來(lái), 模糊地描述某個(gè)概念是沒(méi)有好處的, 就像我們經(jīng)常談?wù)搶?duì)稱(chēng)性意義, 事實(shí)上, 不同結(jié)構(gòu)的對(duì)稱(chēng)性是有區(qū)別的, 這個(gè)區(qū)別的工具在數(shù)學(xué)上可以用各種不同的對(duì)稱(chēng)群來(lái)進(jìn)行區(qū)別, 同樣, 能控性, 能觀性也一樣, 我們要適當(dāng)發(fā)展合適的數(shù)學(xué)概念或者工具, 將其進(jìn)行區(qū)別, 就算沒(méi)有辦法對(duì)一般的控制系統(tǒng)進(jìn)行區(qū)別, 那么對(duì)于一些特殊的控制系統(tǒng), 發(fā)展合適的工具進(jìn)行區(qū)別, 這也是必須要經(jīng)歷的步驟, 也是控制論必須要走的歷程.
下面我們描述一種典型的控制模型
其中
是系統(tǒng)的狀態(tài)函數(shù),
是系統(tǒng)的控制函數(shù),
系統(tǒng)的演化由微分方程 所刻畫(huà).
上面的系統(tǒng)到目前為止都還是一個(gè)形式系統(tǒng), 還由許多沒(méi)有描述清楚的東西, 必然控制函數(shù) 在哪個(gè)范圍內(nèi)選擇, 另外, 狀態(tài)函數(shù)的值域又是哪些.
為了描述問(wèn)題的方便, 我們將集合 到集合
所有映射構(gòu)成的集合記為
,
限制我們將上面的描述固定下來(lái).
定義: 設(shè) , 我們稱(chēng)
我一階常微分控制系統(tǒng), 其中 稱(chēng)為狀態(tài)方程.
稱(chēng)為控制函數(shù)空間.
定義: 對(duì)于控制系統(tǒng)
而言, 對(duì)于給定的初始條件 以及控制函數(shù)
, 如果控制系統(tǒng)存在解
則我們稱(chēng)此解 為控制系統(tǒng)在初始條件
和控制
下的狀態(tài)軌線(xiàn).
