最優(yōu)控制論讀書(shū)筆記
1. 變分與最優(yōu)控制
在數(shù)學(xué)中, 考慮函數(shù)的最值或者極值是也一件十分重要的事情, 在一般意義下, 我們通诚承桑考慮如下問(wèn)題.
設(shè)
為非空集,
為函數(shù), 我們尋找
的最小值與最大值.
這個(gè)問(wèn)題無(wú)論對(duì)應(yīng)數(shù)學(xué)本身還是對(duì)應(yīng)用數(shù)學(xué)而言都有者作用的意義, 誰(shuí)人不關(guān)心自己的投資, 誰(shuí)不想自己的投資獲得最大回報(bào), 誰(shuí)不想如果損失不可避免, 那么讓損失盡可能地小. 類(lèi)似于這樣的想法, 凸顯出尋找函數(shù)最值具備的重要意義.
不過(guò)這樣的問(wèn)題太過(guò)一般, 因此很難給出一個(gè)有效的辦法, 因此在人們處理問(wèn)題的辦法是, 先研究這個(gè)問(wèn)題最簡(jiǎn)單的情況.于是就有如下版本.
設(shè)
為非空集, 我們?cè)诤芏嗲闆r下關(guān)心函數(shù)
的最小值與最大值.
當(dāng)然, 我們將涉及到兩個(gè)基本的問(wèn)題.
- 函數(shù)
是否存在最小值與最大值.
- 如果函數(shù)
存在最小值與最大值, 那么如何刻畫(huà)
的最小值點(diǎn)或最大值點(diǎn).
我們先來(lái)討論最值的存在性.
事實(shí)上, 函數(shù)的最值的存在性并不是一個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題, 目前針對(duì) 和
添加若干限制, 我們能知道其存在性. 比如
緊性: 也就是
是緊集, 且
連續(xù), 那么由 Karl Weierstrass 的最連續(xù)函數(shù)的最大值最小值存在定理我們立刻知道
的最大值與最小值都存在.
強(qiáng)制性條件: 若
, 且
連續(xù), 并滿(mǎn)足
那么存在最小值.
當(dāng)然還有各種各樣的條件.
當(dāng)然, 這種存在性的研究是一件重要的事情, 不過(guò)這不是直接的, 在這證明存在之后,具體如何找打這些最值點(diǎn)就變得是否要緊了.
歷史上, 人們也的確走了另外一條路, 也就是在假定 的最值存在的條件下(不管其是真正的存在或者只是一種假定), 人們考慮這些最值點(diǎn)應(yīng)該會(huì)滿(mǎn)足什么性質(zhì), 然后沿著這些性質(zhì)去尋找相應(yīng)的最值點(diǎn), 這種思路在歷史上最成功的一個(gè)辦法之一應(yīng)該是由著名數(shù)學(xué)家 Fermat 觀察到, 也就是下面著名的引理.
Fermat 引理: 假設(shè)函數(shù)
在
處取極值, 并且
在
處可微, 則
這個(gè)引理給了我們一個(gè)尋找函數(shù) 最值點(diǎn)的一個(gè)途徑, 也就是在
的零點(diǎn)集
中去尋找 的最值點(diǎn). 不可否則, 如果函數(shù)
的導(dǎo)函數(shù)
容易計(jì)算, 并且
的零點(diǎn)集容易計(jì)算的話(huà), 那么這個(gè)辦法將是相當(dāng)有效的.
當(dāng)然, 這里考慮的函數(shù)的定義域落在一維空間上的情形, 在一維空間取得的成就人們自然會(huì)想辦法將其拓展到高維空間.
當(dāng)然, 上面這個(gè)簡(jiǎn)單的版本, 注意, 只是形式上的簡(jiǎn)單, 當(dāng)遇到 的導(dǎo)函數(shù)不存在或者
的零點(diǎn)很難計(jì)算的時(shí)候, 這個(gè)簡(jiǎn)單的版本也不會(huì)簡(jiǎn)單.
在考慮了上面這個(gè)簡(jiǎn)單的版本之后, 人們自然希望拓展這中類(lèi)型的辦法, 自然的想法當(dāng)然還是限制函數(shù)的定義域. 因此有了如下的考慮.
設(shè)
,
是定義在
上的函數(shù), 如果
非空, 我們自然希望考慮在
上的最值點(diǎn).
在這里需要注意的, 當(dāng) 足夠復(fù)雜的時(shí)候,
可能十分的復(fù)雜, 因此這個(gè)問(wèn)題是不會(huì)簡(jiǎn)單的. 當(dāng)然如果將
進(jìn)行適當(dāng)?shù)南拗? 那么
可能會(huì)是
中我們相當(dāng)熟悉的集, 比如是閉集, 緊集之類(lèi)的.
在這方面, 類(lèi)似于 Fermat 當(dāng)年的思路, 目前知道十分有效的辦法是 Lagrange 乘子法. 在這里不補(bǔ)充詳細(xì)的細(xì)節(jié).
當(dāng)然, 隨著研究范圍的擴(kuò)大, 首先出現(xiàn)的一類(lèi)問(wèn)題是當(dāng) 為某類(lèi)函數(shù)空間.
例: 設(shè) 為
中的某個(gè)曲面,
,
為
上兩點(diǎn), 一個(gè)自然的問(wèn)題是考慮曲面上連接
,
兩點(diǎn)的所有路徑中路程最段的.
其中
當(dāng)然, 由于 的復(fù)雜性以及未來(lái)會(huì)演變?yōu)榱餍?
, 這就導(dǎo)致這個(gè)問(wèn)題是如此的不平凡和值得研究.
2. 最優(yōu)控制的一般性概念
想從數(shù)學(xué)的角度清楚地對(duì)控制系統(tǒng)下一個(gè)定義是困難的, 控制論研究的目的在于搞清楚復(fù)雜系統(tǒng)內(nèi)部各個(gè)因素之間的聯(lián)系, 并達(dá)到對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行控制達(dá)到我們目的, 因此我們面對(duì)的系統(tǒng)必然是各式各樣且復(fù)雜的, 因此要數(shù)學(xué)意義上統(tǒng)一模型化和公理化是困難的.
通常一個(gè)控制系統(tǒng)包含一些輸入變量, 一些輸出變量.
我們這里不對(duì)控制系統(tǒng)進(jìn)行定義, 而是對(duì)控制系統(tǒng)進(jìn)行公理化的辦法, 在數(shù)學(xué)上, 如果我們可以從輸出完整地將狀態(tài)構(gòu)造出來(lái), 則我們稱(chēng)這個(gè)系統(tǒng)是完全能觀的.
作為控制系統(tǒng), 我們關(guān)心其能控性, 能觀性, 注意這里的能控制性與能觀性在更進(jìn)一的層次需要進(jìn)行細(xì)致區(qū)分, 也就是說(shuō), 不同的能控性有著細(xì)致的區(qū)別, 我們要將其區(qū)別出來(lái), 能觀性也是有區(qū)別的, 我們要在數(shù)學(xué)意義下將其區(qū)別出來(lái), 模糊地描述某個(gè)概念是沒(méi)有好處的, 就像我們經(jīng)常談?wù)搶?duì)稱(chēng)性意義, 事實(shí)上, 不同結(jié)構(gòu)的對(duì)稱(chēng)性是有區(qū)別的, 這個(gè)區(qū)別的工具在數(shù)學(xué)上可以用各種不同的對(duì)稱(chēng)群來(lái)進(jìn)行區(qū)別, 同樣, 能控性, 能觀性也一樣, 我們要適當(dāng)發(fā)展合適的數(shù)學(xué)概念或者工具, 將其進(jìn)行區(qū)別, 就算沒(méi)有辦法對(duì)一般的控制系統(tǒng)進(jìn)行區(qū)別, 那么對(duì)于一些特殊的控制系統(tǒng), 發(fā)展合適的工具進(jìn)行區(qū)別, 這也是必須要經(jīng)歷的步驟, 也是控制論必須要走的歷程.
下面我們描述一種典型的控制模型
其中
是系統(tǒng)的狀態(tài)函數(shù),
是系統(tǒng)的控制函數(shù),
系統(tǒng)的演化由微分方程 所刻畫(huà).
上面的系統(tǒng)到目前為止都還是一個(gè)形式系統(tǒng), 還由許多沒(méi)有描述清楚的東西, 必然控制函數(shù) 在哪個(gè)范圍內(nèi)選擇, 另外, 狀態(tài)函數(shù)的值域又是哪些.
為了描述問(wèn)題的方便, 我們將集合 到集合
所有映射構(gòu)成的集合記為
,
限制我們將上面的描述固定下來(lái).
定義: 設(shè) , 我們稱(chēng)
我一階常微分控制系統(tǒng), 其中 稱(chēng)為狀態(tài)方程.
稱(chēng)為控制函數(shù)空間.
定義: 對(duì)于控制系統(tǒng)
而言, 對(duì)于給定的初始條件 以及控制函數(shù)
, 如果控制系統(tǒng)存在解
則我們稱(chēng)此解 為控制系統(tǒng)在初始條件
和控制
下的狀態(tài)軌線(xiàn).