最優(yōu)控制論讀書(shū)筆記

最優(yōu)控制論讀書(shū)筆記

1. 變分與最優(yōu)控制

在數(shù)學(xué)中, 考慮函數(shù)的最值或者極值是也一件十分重要的事情, 在一般意義下, 我們通诚承桑考慮如下問(wèn)題.

設(shè) \Omega 為非空集, f : \Omega \to \mathbb{R} 為函數(shù), 我們尋找 f 的最小值與最大值.

這個(gè)問(wèn)題無(wú)論對(duì)應(yīng)數(shù)學(xué)本身還是對(duì)應(yīng)用數(shù)學(xué)而言都有者作用的意義, 誰(shuí)人不關(guān)心自己的投資, 誰(shuí)不想自己的投資獲得最大回報(bào), 誰(shuí)不想如果損失不可避免, 那么讓損失盡可能地小. 類(lèi)似于這樣的想法, 凸顯出尋找函數(shù)最值具備的重要意義.

不過(guò)這樣的問(wèn)題太過(guò)一般, 因此很難給出一個(gè)有效的辦法, 因此在人們處理問(wèn)題的辦法是, 先研究這個(gè)問(wèn)題最簡(jiǎn)單的情況.于是就有如下版本.

設(shè) D \subset \mathbb{R} 為非空集, 我們?cè)诤芏嗲闆r下關(guān)心函數(shù)
f: D \to \mathbb{R},x \mapsto f(x)
的最小值與最大值.

當(dāng)然, 我們將涉及到兩個(gè)基本的問(wèn)題.

  1. 函數(shù) f 是否存在最小值與最大值.
  2. 如果函數(shù) f 存在最小值與最大值, 那么如何刻畫(huà) f 的最小值點(diǎn)或最大值點(diǎn).

我們先來(lái)討論最值的存在性.

事實(shí)上, 函數(shù)的最值的存在性并不是一個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題, 目前針對(duì) Df 添加若干限制, 我們能知道其存在性. 比如

  • 緊性: 也就是 D 是緊集, 且 f 連續(xù), 那么由 Karl Weierstrass 的最連續(xù)函數(shù)的最大值最小值存在定理我們立刻知道 f 的最大值與最小值都存在.

  • 強(qiáng)制性條件: 若 D=\mathbb{R}, 且 f 連續(xù), 并滿(mǎn)足
    \lim_{|x| \to \infty} f(x)=+\infty
    那么 f 存在最小值.

當(dāng)然還有各種各樣的條件.

當(dāng)然, 這種存在性的研究是一件重要的事情, 不過(guò)這不是直接的, 在這證明存在之后,具體如何找打這些最值點(diǎn)就變得是否要緊了.

歷史上, 人們也的確走了另外一條路, 也就是在假定 f 的最值存在的條件下(不管其是真正的存在或者只是一種假定), 人們考慮這些最值點(diǎn)應(yīng)該會(huì)滿(mǎn)足什么性質(zhì), 然后沿著這些性質(zhì)去尋找相應(yīng)的最值點(diǎn), 這種思路在歷史上最成功的一個(gè)辦法之一應(yīng)該是由著名數(shù)學(xué)家 Fermat 觀察到, 也就是下面著名的引理.

Fermat 引理: 假設(shè)函數(shù) fx_0 處取極值, 并且 fx_0 處可微, 則
f'(x_0)=0.

這個(gè)引理給了我們一個(gè)尋找函數(shù) f 最值點(diǎn)的一個(gè)途徑, 也就是在 f' 的零點(diǎn)集
\{x \in D \mid f'(x)=0\}
中去尋找 f 的最值點(diǎn). 不可否則, 如果函數(shù) f 的導(dǎo)函數(shù) f' 容易計(jì)算, 并且 f' 的零點(diǎn)集容易計(jì)算的話(huà), 那么這個(gè)辦法將是相當(dāng)有效的.

當(dāng)然, 這里考慮的函數(shù)的定義域落在一維空間上的情形, 在一維空間取得的成就人們自然會(huì)想辦法將其拓展到高維空間.

當(dāng)然, 上面這個(gè)簡(jiǎn)單的版本, 注意, 只是形式上的簡(jiǎn)單, 當(dāng)遇到f 的導(dǎo)函數(shù)不存在或者 f' 的零點(diǎn)很難計(jì)算的時(shí)候, 這個(gè)簡(jiǎn)單的版本也不會(huì)簡(jiǎn)單.

在考慮了上面這個(gè)簡(jiǎn)單的版本之后, 人們自然希望拓展這中類(lèi)型的辦法, 自然的想法當(dāng)然還是限制函數(shù)的定義域. 因此有了如下的考慮.

設(shè) f, F 是定義在 \mathbb{R}^n 上的函數(shù), 如果
F^{-1}(0)=\{x \in \mathbb{R}^n \mid F(x)=0\}
非空, 我們自然希望考慮 fF^{-1}(0) 上的最值點(diǎn).

在這里需要注意的, 當(dāng) F 足夠復(fù)雜的時(shí)候, F^{-1}(0) 可能十分的復(fù)雜, 因此這個(gè)問(wèn)題是不會(huì)簡(jiǎn)單的. 當(dāng)然如果將 F 進(jìn)行適當(dāng)?shù)南拗? 那么 F^{-1}(0) 可能會(huì)是 \mathbb{R}^n 中我們相當(dāng)熟悉的集, 比如是閉集, 緊集之類(lèi)的.

在這方面, 類(lèi)似于 Fermat 當(dāng)年的思路, 目前知道十分有效的辦法是 Lagrange 乘子法. 在這里不補(bǔ)充詳細(xì)的細(xì)節(jié).

當(dāng)然, 隨著研究范圍的擴(kuò)大, 首先出現(xiàn)的一類(lèi)問(wèn)題是當(dāng) \Omega 為某類(lèi)函數(shù)空間.

例: 設(shè) S\mathbb{R}^3 中的某個(gè)曲面, P_1, P_2S 上兩點(diǎn), 一個(gè)自然的問(wèn)題是考慮曲面上連接 P_1, P_2 兩點(diǎn)的所有路徑中路程最段的.
\min_{\gamma \in \Omega}\ell(\gamma)
其中
\Omega=\{\gamma \mid \gamma : [0,1] \to S, \gamma(0)=P_1, \gamma(1)=P_2,\gamma \in C([0,1],S)\}
當(dāng)然, 由于 S 的復(fù)雜性以及未來(lái)會(huì)演變?yōu)榱餍?M, 這就導(dǎo)致這個(gè)問(wèn)題是如此的不平凡和值得研究.

2. 最優(yōu)控制的一般性概念

想從數(shù)學(xué)的角度清楚地對(duì)控制系統(tǒng)下一個(gè)定義是困難的, 控制論研究的目的在于搞清楚復(fù)雜系統(tǒng)內(nèi)部各個(gè)因素之間的聯(lián)系, 并達(dá)到對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行控制達(dá)到我們目的, 因此我們面對(duì)的系統(tǒng)必然是各式各樣且復(fù)雜的, 因此要數(shù)學(xué)意義上統(tǒng)一模型化和公理化是困難的.

通常一個(gè)控制系統(tǒng)包含一些輸入變量, 一些輸出變量.

我們這里不對(duì)控制系統(tǒng)進(jìn)行定義, 而是對(duì)控制系統(tǒng)進(jìn)行公理化的辦法, 在數(shù)學(xué)上, 如果我們可以從輸出完整地將狀態(tài)構(gòu)造出來(lái), 則我們稱(chēng)這個(gè)系統(tǒng)是完全能觀的.

作為控制系統(tǒng), 我們關(guān)心其能控性, 能觀性, 注意這里的能控制性與能觀性在更進(jìn)一的層次需要進(jìn)行細(xì)致區(qū)分, 也就是說(shuō), 不同的能控性有著細(xì)致的區(qū)別, 我們要將其區(qū)別出來(lái), 能觀性也是有區(qū)別的, 我們要在數(shù)學(xué)意義下將其區(qū)別出來(lái), 模糊地描述某個(gè)概念是沒(méi)有好處的, 就像我們經(jīng)常談?wù)搶?duì)稱(chēng)性意義, 事實(shí)上, 不同結(jié)構(gòu)的對(duì)稱(chēng)性是有區(qū)別的, 這個(gè)區(qū)別的工具在數(shù)學(xué)上可以用各種不同的對(duì)稱(chēng)群來(lái)進(jìn)行區(qū)別, 同樣, 能控性, 能觀性也一樣, 我們要適當(dāng)發(fā)展合適的數(shù)學(xué)概念或者工具, 將其進(jìn)行區(qū)別, 就算沒(méi)有辦法對(duì)一般的控制系統(tǒng)進(jìn)行區(qū)別, 那么對(duì)于一些特殊的控制系統(tǒng), 發(fā)展合適的工具進(jìn)行區(qū)別, 這也是必須要經(jīng)歷的步驟, 也是控制論必須要走的歷程.

下面我們描述一種典型的控制模型
\dot{x}(t)=f(t,x(t),u(t)), t \in [t_0,\infty)
其中
x:[t_0,\infty) \to \mathbb{R}^n
是系統(tǒng)的狀態(tài)函數(shù),
u:[t_0,\infty) \to \mathbb{R}^r
是系統(tǒng)的控制函數(shù),
f:[t_0,\infty)\times \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^r \to \mathbb{R}^n
系統(tǒng)的演化由微分方程 \dot{x}(t)=f(t,x(t),u(t)), t \in [t_0,\infty) 所刻畫(huà).

上面的系統(tǒng)到目前為止都還是一個(gè)形式系統(tǒng), 還由許多沒(méi)有描述清楚的東西, 必然控制函數(shù) u 在哪個(gè)范圍內(nèi)選擇, 另外, 狀態(tài)函數(shù)的值域又是哪些.

為了描述問(wèn)題的方便, 我們將集合 A 到集合 B 所有映射構(gòu)成的集合記為 Fun(A,B),

限制我們將上面的描述固定下來(lái).

定義: 設(shè) \mathscr{U} \subseteq Fun([t_0,\infty),\mathbb{R}^r), 我們稱(chēng)
\dot{x}(t)=f(t,x(t),u(t)), \forall t \in [t_0,\infty), \forall u \in \mathscr{U}
我一階常微分控制系統(tǒng), 其中 x:[t_0,\infty) \to \mathbb{R}^n 稱(chēng)為狀態(tài)方程. \mathscr{U} 稱(chēng)為控制函數(shù)空間.

定義: 對(duì)于控制系統(tǒng)
\dot{x}(t)=f(t,x(t),u(t)), \forall t \in [t_0,\infty), \forall u \in \mathscr{U}
而言, 對(duì)于給定的初始條件 x(t_0)=x_0 以及控制函數(shù) u , 如果控制系統(tǒng)存在解
x(\cdot,x_0,u):[t_0,\infty) \to \mathbb{R}^n
則我們稱(chēng)此解 x(\cdot,x_0,u) 為控制系統(tǒng)在初始條件 x(t_0)=x_0 和控制 u 下的狀態(tài)軌線(xiàn).

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