4．素?cái)?shù)
? ? 一個(gè)大于1的正整數(shù)p稿辙，它除了1和它本身外沒有其它因子，就稱其為素?cái)?shù)气忠。每個(gè)整數(shù)都可表示為素?cái)?shù)的乘積邻储，任何一個(gè)大于2的素?cái)?shù)加1一定是偶數(shù)。一個(gè)正整數(shù)不是素?cái)?shù)旧噪，就稱為合數(shù)吨娜。pcZ，有無窮多個(gè)淘钟。關(guān)于素?cái)?shù)有無窮個(gè)的證明(它是由歐幾里得給出的)至今仍然是數(shù)學(xué)推理的一個(gè)典范宦赠，是用反證法來證明的。假若只有有限個(gè)素?cái)?shù)p1米母、p2勾扭、?、pn铁瞒，那么其他任何一個(gè)正整數(shù)都是合數(shù)妙色，于是至少存在一個(gè)pi(i＝1、2精拟、?燎斩、n)能整除它∈幔現(xiàn)在我們構(gòu)造一個(gè)正整數(shù)A，使得A＝(p1·p2?pn)＋1栅表，這個(gè)數(shù)是一定存在的笋鄙，顯然A＞Pi，且A/Pi＝p1·p2·?pi－1·Pi＋1·?pn＋1/pi怪瓶，即A不能被｛pi萧落，i＝1，2洗贰，?找岖，n｝中的任何一個(gè)整除，因此與假設(shè)產(chǎn)生矛盾敛滋。
? ? 對(duì)于素?cái)?shù)的無窮性许布，人們一直想找出一個(gè)產(chǎn)生素?cái)?shù)的簡單算術(shù)公式，即使它只能給出部分素?cái)?shù)也可以绎晃。像費(fèi)馬猜測：形如F(n)＝2??2??n＋1的數(shù)是素?cái)?shù)蜜唾，實(shí)際上對(duì)于n＝1、2庶艾、3袁余、4我們有：F(1)＝2??2＋1＝5；F(2)＝2??4＋1＝17咱揍；F(3)＝2??8＋1＝257颖榜；F(4)＝2??16＋1＝65537全是素?cái)?shù)，但在1732年歐拉發(fā)現(xiàn)F(5)＝641x6700417是合數(shù)煤裙，后來又發(fā)現(xiàn)了不少＂費(fèi)馬數(shù)＂是合數(shù)掩完。
? ? 另外形如f(n)＝n??2－n＋41，n＝1积暖、2藤为、?、40夺刑，f(n)是素?cái)?shù)缅疟，但n＝41時(shí)，f(n)＝41??2是合數(shù)遍愿；又如f(n)＝n??2－79n＋1601存淫，當(dāng)n從1到79時(shí)，都得出素?cái)?shù)沼填，但n＝80時(shí)就不是素?cái)?shù)了桅咆。看來求一個(gè)僅產(chǎn)生素?cái)?shù)的簡單表達(dá)式的努力一直是徒勞無切的坞笙，但是數(shù)學(xué)家通過研究素?cái)?shù)的分布規(guī)律找岀了素?cái)?shù)定理岩饼，即荚虚，素?cái)?shù)分布的平均狀態(tài)能用對(duì)數(shù)函數(shù)來描述，An/n～1/lnn籍茧，當(dāng)n趨于無窮大時(shí)版述，其中An表示素?cái)?shù)個(gè)數(shù)，n是自然數(shù)寞冯。
? ? ? ? ? ? ? ? 兩個(gè)尚未解決的素?cái)?shù)問題
i) (哥徳巴赫猜想)任何一個(gè)大于2的偶數(shù)都能表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的合渴析，即2n＝p1＋p2(n＝2，3吮龄，4俭茧，?)如，4＝2＋2漓帚，6＝3＋3母债，8＝5＋3，10＝5＋5尝抖，48＝29＋19场斑，100＝97＋3等
ii)素?cái)?shù)是經(jīng)常以p和p＋2的形式成對(duì)出現(xiàn)的，如3和5牵署，11和13，29和31等喧半，這種素?cái)?shù)對(duì)是無窮的奴迅。
