幾道微分方程題

13. 求歐拉方程:x^2y''+xy'-25y=0

x=e^t

原方程化為D(D-1)y+Dy-25y=0

即,D^2y-25y=0墙牌。此方程為二階常系數(shù)齊次線性常微分方程疑务。

其特征方程為,r^2-25=0

所以框往,r=\pm 5

所以鳄抒,易得y=C_1e^{5t}+C_2e^{-5t}

即,y=C_1x^5+\frac{C_2}{x^5}

14. 求一階線性微分方程:\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}-4\frac{y}{x}=x^3

直接代入一階線性微分方程的求解公式:y=e^{- \int P(x) \mathrm dx} (\int Q(x) e^{\int P(x) \mathrm dx} \mathrm dx +C)

容易解得椰弊,y=x^4(\ln x +C)

15. 求一階微分方程:(6\frac{\ln x}{x^2}-5x^3\cos y)\mathrm dx+x^4\sin y \mathrm dy=0

P(x,y)=6\frac{\ln x}{x^2}-5x^3\cos y

Q(x,y)=x^4\sin y

則许溅,\frac{\partial P}{\partial y}=5x^3\sin y

\frac{\partial Q}{\partial x}=4x^3\sin y \neq \frac{\partial P}{\partial y}

容易知道,積分因子\mu (x) =x能使原方程變?yōu)榍‘?dāng)方程秉版。

所以方程兩邊同乘\mu (x)=x

(6\frac{\ln x}{x}-5x^4\cos y)\mathrm dx+x^5\sin y \mathrm dy=0

R(x,y)=6\frac{\ln x}{x}-5x^4\cos y

S(x,y)=x^5\sin y

則顯然有贤重,\frac{\partial R}{\partial x}=5x^4\sin y = \frac{\partial S}{\partial y}

所以存在u(x,y)=C,滿足上述微分方程清焕,且\frac{\partial u}{\partial x}=R, \frac{\partial u}{\partial y}=S

\frac{\partial u}{\partial x}=R=6\frac{\ln x}{x}-5x^4\cos y

易得游桩,u(x,y)=\int R\mathrm dx=3\ln ^2x-x^5\cos y+\varphi(y)

所以牲迫,\frac{\partial u}{\partial y}=x^5\sin y + \varphi '(y)=S

所以,\varphi ' (y)=0借卧,\varphi (y)=c_1

代入可得盹憎,u(x,y)=3\ln ^2x-x^5\cos y+c_1

所以,微分方程的解為铐刘,3\ln ^2x-x^5\cos y=C

16. 利用參數(shù)法求:y=2+\ln [1+(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx})^2]

\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\tan t

所以陪每,y=2+\ln(\sec^2t)

兩邊同時求微分,所以有\mathrm dy=2\tan t \mathrm dt

又因為\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\tan t

所以镰吵,\frac{2\tan t \mathrm dt}{\mathrm dx}=\tan t

所以檩禾,t=\frac{1}{2}x+C

代入y=2+\ln(\sec^2t)

即得,y=2+\ln(\sec^2(\frac{1}{2}x+C))

17. 利用降階法求:(y+1)y''+(y')^2=0

顯然是不顯含x的方程疤祭,令\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=p

則盼产,\frac{\mathrm d ^2 y}{\mathrm d x^2}=p\frac{\mathrm dp}{\mathrm dy}

原式轉(zhuǎn)化為,(y+1)p\frac{\mathrm dp}{\mathrm dy}+p^2=0

即勺馆,(y+1)\frac{\mathrm dp}{\mathrm dy}=-p顯然為可分離變量的微分方程

容易求得戏售,p=\frac{c_1}{y+1}

即,\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\frac{c_1}{y+1}也為可分離變量的微分方程

易得草穆,\frac{1}{2}y^2+y=c_1x+c_2

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