在非線性MIMO中想用凸優(yōu)化瓦呼、最優(yōu)化等算法就要找到目標(biāo)函數(shù)岖寞，優(yōu)化條件等等，我先從最簡單的Y=HX+N的模型入手宠漩，看看LS,MMSE等算法的用法，再拓展至非線性模型中懊直。
通常無線信道估計分成兩大類：無線信道狀態(tài)參數(shù)的估計扒吁、信道時域/頻域響應(yīng)的估計。因為對信道中狀態(tài)參數(shù)室囊、時/頻域響應(yīng)的估計雕崩，有助于恢復(fù)出接收到的數(shù)據(jù)，從而大大提高接收信號的質(zhì)量融撞。在無線系統(tǒng)中盼铁，一般會采用相干檢測，為了實現(xiàn)相干檢測尝偎，要對信道進(jìn)行估計饶火，接收端在已知 CSI 的條件下對信號進(jìn)行檢測。
傳統(tǒng)的信道估計方法
（1）導(dǎo)頻輔助信道估計：在發(fā)送數(shù)據(jù)中插入一些已知的數(shù)據(jù)(可以為導(dǎo)頻)進(jìn)行信道估計致扯，導(dǎo)頻輔助估計可被分為基于導(dǎo)頻和基于訓(xùn)練序列兩種信道估計肤寝。前者常用在連續(xù)傳輸數(shù)據(jù)的系統(tǒng)，在傳輸用戶數(shù)據(jù)中插入已知的導(dǎo)頻符號抖僵，可以得出相對應(yīng)導(dǎo)頻位置的信道估計結(jié)果鲤看，繼而得到用戶數(shù)據(jù)位置處的信道估計，從而完成導(dǎo)頻信道估計耍群。導(dǎo)頻輔助信道估計優(yōu)點是即使在低復(fù)雜度時仍可以獲得很好的信道誤差性能义桂。
（2）盲信道估計：通常用相應(yīng)的數(shù)據(jù)處理技術(shù)來估計信道找筝，或是采用判決反饋的方法來進(jìn)行信道估計的方法。其突出缺點是運算時間長慷吊，收斂速度較慢袖裕，因此阻礙了它在實際中的應(yīng)用。
（3）半盲信道估計：該估計彌補(bǔ)了（2）中估計方法存在的不足罢浇，它采用較少訓(xùn)練序列來獲取信道信息陆赋。因此，對信道進(jìn)行估計可以通過設(shè)計訓(xùn)練序列嚷闭，此外還可以采取在數(shù)據(jù)中按照周期地插入導(dǎo)頻符號的方法攒岛。
對三者稍作比較可知，（2）（3）中盲和半盲信道估計算法無需訓(xùn)練序列或者說其需要較短的訓(xùn)練序列就能提高頻譜效率胞锰，因此在信道估計中獲得了廣泛的研究與應(yīng)用灾锯。但是一般盲和半盲估計方法的復(fù)雜度高，因此計算成本也隨之較高嗅榕，這在某些程度上使它們的應(yīng)用受到了限制顺饮。
基于導(dǎo)頻的信道估計包括三種方法，如最小二乘法(Least Squares, LS)凌那、最大似然（Maximum Likelihood兼雄，ML)和最小均方誤差法(Minimum Mean Square Error,? MMSE)。以經(jīng)典的 MIMO 信道為例帽蝶，為發(fā)送端的導(dǎo)頻符號矩陣赦肋，
為接收端的加性高斯白噪聲，該噪聲中元素是均值為0励稳、方差為
的隨機(jī)變量佃乘，接收端接收信號
,幾個接收天線上的信號表示如
1.最小二乘法（LS）信道估計
最小二乘法(Least-Square Method, LS)是一種數(shù)學(xué)上的方法，未知數(shù)據(jù)用 LS 能夠很容易地獲得驹尼，并且所獲得的數(shù)據(jù)與實際發(fā)送數(shù)據(jù)的平方誤差之和可以達(dá)到最小化趣避。其他一些優(yōu)化問題也可以用 LS 表示，其中包含最小能量和最大熵原理新翎。LS 算法在估計信道時可以將待估計的問題作為求出一個最優(yōu)化問題的解程帕。
用信道估計值的均方誤差(Mean Square Error，MSE)來評估信道重建算法的恢復(fù)性能料祠，其中 MSE 通常定義為估計值與真實值的差的平均二范數(shù)骆捧，定義如下:
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(3.5)
則通過 LS 算法估計出的信道矩陣的 MSE 為:
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(3.6)
其中，是噪聲的方差髓绽，
為導(dǎo)頻的方差敛苇。從上式可以看出MSE與
成反比，因此，LS 信道估計會增強(qiáng)噪聲使誤差更大枫攀。由于在大規(guī)模 MIMO 系統(tǒng)中有數(shù)百個乃至更多的發(fā)射天線括饶，LS 信道估計方法誤差太大，不適合用于信道估計来涨。
2.最大似然（ML）估計
最大似然（Maximum likelihood method图焰，ML）算法在估計理論中起著很重要的作用。針對上面提出的系統(tǒng)模型蹦掐，如果要對信道矩陣采用ML方法進(jìn)行估計技羔，首先需要得到似然函數(shù)
或者
。接下來 ML 算法通過如下代價函數(shù)進(jìn)行信道估計:
通過式(3.9)和(3.3)可以得到卧抗，當(dāng)加性高斯白噪聲均值為 0 時藤滥，ML 算法和 LS 算法的信道估計矩陣相同。因為無論是 LS 還是 ML 算法都是基于接收信息發(fā)送序列的一二階統(tǒng)計特性社裆。當(dāng)高斯白噪聲為零均值時拙绊，接發(fā)送信息的一二階統(tǒng)計特性就足以描述出隨機(jī)過程。
3.最小均方誤差(MMSE)信道估計
利用 LS 信道估計求出的解泳秀，記标沪。定義一個加權(quán)矩陣Q 使得 MMSE 信道估計為
。最小均方誤差（Minimum Mean Square Error嗜傅，MMSE）的信道估計可以表示為
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (3.10)
可以證明金句，選擇適當(dāng)?shù)募訖?quán)矩陣Q 使得上式中的 MSE 最小，誤差e與正交吕嘀，即
與 LS 相比趴梢，MMSE 信道估計對噪聲能夠起到較好的抑制作用，但在信道相關(guān)性較強(qiáng)的時候币他，MMSE 信道估計的性能反而會嚴(yán)重下降，這一情況在低 SNR 的天線數(shù)目很大的時候更為嚴(yán)重憔狞。MMSE? 雖然可以用于相關(guān)性信道模型下蝴悉，但信道的統(tǒng)計特性必須被提前知道。
