MIT 線性代數(shù) 23 微分方程和exp(At)

微分方程

1.復(fù)習(xí)

引入的微分方程
$\frac{du_1}{dt}=-u_1+2u_2$
$\frac{du_2}{dt}=u_1-2u_2$
首先復(fù)習(xí)下微分方程的解法：
上式可以寫成

$u_1'=-u_1+2u_2-----1$
$u_2'=u_1-2u_2------2$

$1式加2式 =>$

$u_1'=-u_2'--------3$

$3式代入2式=>$

$u_2=\frac{u_1+u_1'}{2}------4$

$將4式代入2式=>$

$(\frac{u_1+u_1'}{2})'=u_1-(u_1+u_1')$

簡(jiǎn)化后

$u_1''+3u_1'=0------5$

上式表明 $u_1$ 的一階導(dǎo)和 $u_1$ 的二階導(dǎo)呈線性關(guān)系轩性，這樣的函數(shù)我們比較熟悉的只有 $e^x$ 這種類型，
又因?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=u_1" alt="u_1" mathimg="1">是關(guān)于自變量 $t$ 的函數(shù),所以我們可以假設(shè)原函數(shù)

$u_1=ce^{\lambda t}$

我們分別求出其一階導(dǎo)和二階導(dǎo)

$u_1’=ace^{\lambda t}$
$u_1'’=a^2ce^{\lambda t}$

將等式代入式 $5$ 普舆，于是我們得到

$\lambda ^2ce^{\lambda t}+3\lambda ce^{\lambda t}=0$ 其中 $c$ 不等于 $0$ 拓哺，事實(shí)上 $c=0$ 的情況也沒啥意義

兩邊同時(shí)約去 $ce^{\lambda t}$

$\lambda ^2+3\lambda =0--------6$

式 $6$ 就是我們熟悉的特征方程
易得 $\lambda_1 =0,\lambda_2=-3$
于是原方程的通解為 $e^{0t}$ 和 $e^{-3t}$ 的線性組合
即： $u_1=c_1e^{0t}+c_2e^{-3t}$

對(duì) $u_2$ 也可以做同樣的處理
$u_2''+3u_2'=0------7$
可以解出 $u_2$ 的通解為
即： $u_2=d_1e^{0t}+d_2e^{-3t}$

通過分別求出 $u_1'$ 和 $u_2'$ 并代入到原微分方程跟狱，可以求出待定系數(shù) $d_1=\frac{1}{2}c_1,d_2=-c_2$
因此原微分方程的通解可以表示為如下：

$u_1=c_1e^{0t}+c_2e^{-3t}$

$u_2=\frac{1}{2}c_1e^{0t}-c_2e^{-3t}$

2.微分方程的線性代數(shù)解法

首先將方程寫下來

$\frac{du_1}{dt}=-u_1+2u_2$
$\frac{du_2}{dt}=u_1-2u_2$

$u_1,u_2$ 都是關(guān)于 $t$ 的函數(shù)，令

$U(t)= \begin{bmatrix}u_1(t)\\u_2(t) \end{bmatrix}$

整理的得到方程組

$\frac{dU(t)}{dt}=\begin{bmatrix}-1&2\\1&-2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}u_1(t)\\u_2(t)\end{bmatrix}$

其中特征矩陣 $A=\begin{bmatrix}-1&2\\1&-2\end{bmatrix}$

令 $|A-\lambda I|=0$ 世吨，求出特征值 $\lambda_1=0,\lambda_2=-3$ 澡刹，以及相應(yīng)的特征向量
$X_1=\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}$ ， $X_2=\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}$

由前面的微分方程的復(fù)習(xí)我們知道

$U(t)=\begin{bmatrix}u_1(t)\\u_2(t)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}c_1e^{\lambda_1t}+c_2e^{\lambda_2t}\\\frac{1}{2}c_1e^{\lambda_1t}-c_2e^{\lambda_2t}\end{bmatrix}$

$= \frac{1}{2}c_1e^{\lambda_1t}\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}+c_2e^{\lambda_2t}\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}$
$= \frac{1}{2}c_1e^{\lambda_1t}X_1+c_2e^{\lambda_2t}X_2$

這里的 $\frac{1}{2}c_1$ 可直接記為 $c_1$
也就是說微分方程的通解

$U(t)=c_1e^{\lambda_1t}X_1+c_2e^{\lambda_2t}X_2$

也就是說耘婚，通解可以完全的分解為對(duì)特征向量的線性組合進(jìn)行表示罢浇，即，當(dāng)我們知道方程的特征值和特征向量的時(shí)候沐祷，根本就不再需要像前面復(fù)習(xí)部分求解微分方程那樣來來回回代入計(jì)算算一大通了
這里可以對(duì)比前一節(jié)斐波那契數(shù)列 $u_k=\begin{bmatrix}F_{k+1}\\F_k\end{bmatrix}=c_1\lambda_1^{k} X_1+c_2\lambda_2^{k} X_2$ ,不同之處在于嚷闭，
微分方程的通解的特征值被寫到自然數(shù) $e$ 的指數(shù)位置，
事實(shí)上赖临，任意的微分方程胞锰，如果其系數(shù)矩陣 $A$ 可對(duì)角化

其通解都可以寫成 $U(t)=c_1e^{\lambda_1t}X_1+c_2e^{\lambda_2t}X_2$ 的形式

這里教授想對(duì)該微分方程探究一個(gè)問題

如果 $t=0$ 時(shí)刻，即如果 $U(0)=\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}$ 兢榨，那么方程最后歸于穩(wěn)態(tài)的時(shí)候是什么狀態(tài)
我們先把系數(shù)求出來

$U(0)=c_1e^{\lambda_10}X_1+c_2e^{\lambda_20}X_2=\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}$
于是 $c_1\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}+c_2\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}$
解得 $c_1=c_2=\frac{1}{3}$

原通解可寫成
$U(t)=\frac{1}{3}e^{0t}X_1+\frac{1}{3}e^{-3t}X_2$
可見 $t$ 增大的過程中嗅榕，后一項(xiàng) $\frac{1}{3}e^{-3t}X_2$ 趨于 $0$ 顺饮，只會(huì)保留第一項(xiàng)
于是穩(wěn)態(tài)下 $U(\infty)=\frac{1}{3}\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}$
即對(duì)于該微分方程
$U(t)=\begin{bmatrix}u_1(t)\\u_2(t) \end{bmatrix}$
如果 $U(0)=\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}$ 則 $U(\infty)=\frac{1}{3}\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}$ ，即初始的 $1$ 個(gè)單位的 $u_1$ 有 $\frac{1}{3}u_1$ 流向了 $u_2$

可見只有當(dāng)所有特征值均為負(fù)數(shù)時(shí)候凌那，微分方程穩(wěn)態(tài)總是趨于 $0$
如果是復(fù)數(shù)根兼雄，只要保證復(fù)數(shù)的實(shí)部為負(fù)數(shù)即可，
比如 $\lambda=-3+6i$
則 $ce^{(-3+6i)t}=ce^{-3t}e^{6it}=ce^{-3t}(cos(6t)+isin(6t))$
起作用的還是前面的 $e^{-3t}$ 而 $e^{6it}$ 是在單位圓上轉(zhuǎn)圈圈

當(dāng)其中一個(gè)特征值=0案怯，其他特征值實(shí)部均為負(fù)數(shù)時(shí)候君旦，微分方程會(huì)趨于一個(gè)固定穩(wěn)態(tài)值澎办，其值由特征值為0那一項(xiàng)前面的系數(shù)以及特征向量決定

一點(diǎn)評(píng)述嘲碱，如何保證特征值均為負(fù)
$trace(A)<0$ 即 $\lambda_1+\lambda_2 < 0$ 矩陣的跡小于零
同時(shí) $|A|=\lambda_1*\lambda_2>0$ 矩陣的行列式的值小于零
的時(shí)候，微分方程的的通解會(huì)隨時(shí)間趨于穩(wěn)定的0局蚀；

e^(At)

特征值和特征向量的作用是解耦麦锯，又稱對(duì)角化
回到原來的方程組
$dU/dt=AU$ 令 $U=Sv$ ,其中 $S$ 表示特征向量， $v$ 表示特征向量用于線性組合的與 $t$ 相關(guān)的項(xiàng)
不妨抄寫一下琅绅，方便理解
$U(t)=c_1e^{\lambda_1t}X_1+c_2e^{\lambda_2t}X_2$

$=\begin{bmatrix}X_1&X_2\end{bmatrix} \begin{bmatrix}c_1e^{\lambda_1t}\\c_2e^{\lambda_2t} \end{bmatrix}$

$=Sv$

這里插入一點(diǎn)個(gè)人理解（非教授提到的扶欣，但我感覺比起教授寫的更清晰一下）
因?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=U(t)%3Dc_1e%5E%7B%5Clambda_1t%7DX_1%2Bc_2e%5E%7B%5Clambda_2t%7DX_2" alt="U(t)=c_1e^{\lambda_1t}X_1+c_2e^{\lambda_2t}X_2" mathimg="1">
所以 $U(0)=c_1X_1+c_2X_2=\begin{bmatrix}X_1&X_2\end{bmatrix}\begin{bmatrix} c_1\\c_2\end{bmatrix}$
所以
$\begin{bmatrix}X_1&X_2\end{bmatrix}^{-1}U(0)=\begin{bmatrix} c_1\\c_2\end{bmatrix}$
那么如果要讓 $U(t)$ 以 $U(0)$ 的方式來表示最終的通項(xiàng)公式的話
$U(t)=c_1e^{\lambda_1t}X_1+c_2e^{\lambda_2t}X_2$
$=\begin{bmatrix}X_1&X_2\end{bmatrix}\begin{bmatrix} c_1e^{\lambda_1t}\\c_2e^{\lambda_2t}\end{bmatrix}$
$=\begin{bmatrix}X_1&X_2\end{bmatrix}\begin{bmatrix} e^{\lambda_1t}&0\\0&e^{\lambda_2t}\end{bmatrix}\begin{bmatrix} c_1\\c_2\end{bmatrix}$
$=\begin{bmatrix}X_1&X_2\end{bmatrix}\begin{bmatrix} e^{\lambda_1t}&0\\0&e^{\lambda_2t}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}X_1&X_2\end{bmatrix}^{-1}U(0)$
$=Se^{\Lambda t}S^{-1}U(0)$ ------（這個(gè)地方前面這一串其實(shí)等于 $e^{At}$ ）
即上式
$=e^{At}U(0)$
也就是說當(dāng) $A$ 可對(duì)角化為 $S\Lambda S^{-1}$ 的時(shí)候，
會(huì)有 $e^{At}=Se^{\Lambda t}S^{-1}$ 至于為什么成立千扶，這屬于矩陣的指數(shù)函數(shù)部分的內(nèi)容料祠，稍后會(huì)有 $e^{At}$ 的麥克勞林展開推導(dǎo)
這似乎還說明了一個(gè)事實(shí),即對(duì)于常微分方程組 $dU/dt=AU$
可以把矩陣 $U$ 看成是一個(gè)普通的變量
$\frac{dU}{dt}=AU$
$\frac{dU}{U}=Adt$
兩邊同時(shí)積分
$lnU=At+c$
于是 $U=e^{At+c}=e^{At}e^c$ 因?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=e%5Ec" alt="e^c" mathimg="1">本質(zhì)上還是常數(shù)
$U=e^{At}c$ 到這一步我們還需要確定 $c$ 到底是個(gè)什么東西，雖然我們上面一直把矩陣 $U$ 當(dāng)成一個(gè)變量去使用澎羞，但現(xiàn)在真正要求 $c$ 是啥子的時(shí)候髓绽，需要把把 $U$ 再看回矩陣的形式
我們把 $t=0$ 代入原方程可得 $U(0)=e^{A0}c=c$
可見，通解可以寫成 $U(t)=e^{At}U(0)$ ,至此妆绞，我們發(fā)現(xiàn)顺呕，對(duì)于任意的微分方程組的通解，都可以用這種方式矩陣指數(shù)的形式表示

回歸課程主線括饶，下面是教授的推導(dǎo)：
$\frac{d(Sv)}{dt}=ASv$

$S\frac{dv}{dt}=ASv$

$\frac{dv}{dt}=S^{-1}ASv$

其中 $\frac{dv}{dt}=\begin{bmatrix} \lambda_1c_1e^{\lambda_1t}\\\lambda_2c_2e^{\lambda_2t}\end{bmatrix}$

$=\begin{bmatrix} \lambda_1&0\\0&\lambda_2\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix} c_1e^{\lambda_1t}\\c_2e^{\lambda_2t}\end{bmatrix}$
$=\Lambda v$

$S^{-1}ASv=\Lambda v$
這樣的方式就相當(dāng)于對(duì)原方程進(jìn)行了解耦株茶，意思就是這里的
$\frac{dv}{dt}$ 中，每一項(xiàng)
$\frac{dv_i}{dt}=\lambda_iv_i=\lambda_ic_ie^{\lambda_it}$
而原方程的 $dU/dt$ 是互相耦合的
我們知道

$v(t)=\begin{bmatrix} c_1e^{\lambda_1t}\\c_2e^{\lambda_2t}\end{bmatrix}$

$=\begin{bmatrix} e^{\lambda_1t}&0\\0&e^{\lambda_2t}\end{bmatrix}\begin{bmatrix} c_1\\c_2\end{bmatrix}$

$=e^{\Lambda t}v_0$

于是U(t)通解還可以寫成下面的形式

$U(t)=Sv(t)=Se^{\Lambda t}v_0$
$=Se^{\Lambda t}S^{-1}u_0$

矩陣指數(shù)函數(shù)

我們知道
$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+......+\frac{x^n}{n!}......$
可以根據(jù)這個(gè)對(duì)矩陣指數(shù)作定義
$e^A=I+A+\frac{A^2}{2!}+\frac{A^3}{3!}+\frac{A^4}{4!}+......+\frac{A^n}{n!}......$

$e^{At}=I+At+\frac{(At)^2}{2!}+\frac{(At)^3}{3!}+\frac{(At)^4}{4!}+......+\frac{(At)^n}{n!}......$
$=SS^{-1}I+S\Lambda S^{-1}t+\frac{(S\Lambda S^{-1}t)^2}{2!}+\frac{(S\Lambda S^{-1}t)^3}{3!}+......+\frac{(S\Lambda S^{-1}t)^n}{n!}......$
$=SS^{-1}I+S\Lambda S^{-1}t+\frac{S\Lambda^2 S^{-1}t^2}{2!}+\frac{S\Lambda^3 S^{-1}t^3}{3!}+......+\frac{S\Lambda^n S^{-1}t^n}{n!}......$

$=S(I+\Lambda t+\frac{\Lambda^2 t^2}{2!}+\frac{\Lambda^3 t^3}{3!}+\frac{\Lambda^4 t^4}{4!}+......+\frac{\Lambda^n t^n}{n!}......)S^{-1}$
$=Se^{\Lambda t}S^{-1}$

n階段微分方程的處理辦法

我們可以將二階常微分方程
$y''+by'+ky=0$

轉(zhuǎn)化為2x2的一階問題進(jìn)行處理图焰，構(gòu)造方法類似于我們對(duì)斐波那契數(shù)列的處理方法启盛。

令 $u=\begin{bmatrix} y'\\y\end{bmatrix}$
則 $u'=\begin{bmatrix}y''\\y'\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}-b&-k\\1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}y'\\y\end{bmatrix}$

如果是 $n$ 階微分方程，那么需要一個(gè) $n\times n$ 矩陣技羔，除了第一行和對(duì)角線下面一排斜線上的元素之外驰徊，這個(gè)系數(shù)矩陣其它元素均為0,此時(shí)特征值和特征向量就會(huì)自動(dòng)出現(xiàn)

最后編輯于：2022.12.15 17:06:21

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