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浮點(diǎn)數(shù)表達(dá)
IEEE754標(biāo)準(zhǔn)是用于規(guī)范浮點(diǎn)數(shù)運(yùn)算的IEEE標(biāo)準(zhǔn)，用于解決浮點(diǎn)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)混亂的問(wèn)題茄螃。其被認(rèn)證后不久，幾乎所有的處理器生產(chǎn)商都采用這一標(biāo)準(zhǔn)，極大的推動(dòng)了軟件的發(fā)展豪墅。浮點(diǎn)數(shù)存儲(chǔ)的格式如下：
浮點(diǎn)數(shù)由符號(hào)位，指數(shù)位和尾數(shù)三個(gè)部分組成黔寇，表達(dá)公式如下式：
在IEEE754標(biāo)準(zhǔn)中偶器，主要規(guī)定了單精度浮點(diǎn)（float）和雙精度浮點(diǎn)（double）兩種浮點(diǎn)數(shù)：
| 類(lèi)型 | 符號(hào)位數(shù) | 指數(shù)位數(shù) | 尾數(shù)位數(shù) |
|---|---|---|---|
| 單精度浮點(diǎn)（float） | 1 | 8 | 23 |
| 雙精度浮點(diǎn)（double） | 1 | 11 | 52 |
首先考慮符號(hào)位，當(dāng)該符號(hào)位為0時(shí)缝裤，表示該數(shù)為正數(shù)屏轰，符號(hào)位為1時(shí)，表示該數(shù)為負(fù)數(shù)憋飞。指數(shù)可以為負(fù)數(shù)霎苗，一般使用移碼表示，移碼表示為：
E為真實(shí)的指數(shù)搀崭，e為浮點(diǎn)數(shù)中存儲(chǔ)的尾數(shù)，bias為移位猾编，有瘤睹。以單精度浮點(diǎn)為例，指數(shù)位數(shù)
答倡，則有bias=127轰传，真實(shí)指數(shù)和存儲(chǔ)的關(guān)系為
，表示范圍為-126~127（e=0和e=255用于表示特殊字符）瘪撇。尾數(shù)為規(guī)格化的尾數(shù)获茬，即尾數(shù)的二進(jìn)制表示
前有一個(gè)隱藏的二進(jìn)制1港庄，即如下表示：
當(dāng)e=0時(shí)，該浮點(diǎn)數(shù)為非規(guī)格化數(shù)恕曲，表示的數(shù)如下所示：
該標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)還定義了幾個(gè)特殊值：
| 特殊值 | 說(shuō)明 |
|---|---|
| 0 | 指數(shù)部分和尾數(shù)部分均為1 |
| 無(wú)窮大 | 指數(shù)部分為 |
| NaN | 指數(shù)部分為 |
浮點(diǎn)數(shù)計(jì)算
浮點(diǎn)數(shù)乘法
浮點(diǎn)數(shù)的乘法分為以下幾個(gè)步驟：
- 計(jì)算符號(hào)位：通過(guò)異或操作計(jì)算符號(hào)位佩谣，若兩個(gè)操作數(shù)符號(hào)位相同把还，則結(jié)果符號(hào)位為0，否則結(jié)果符號(hào)為1
- 計(jì)算原始尾數(shù)：兩個(gè)操作數(shù)的尾數(shù)相乘茸俭，得到原始尾數(shù)
- 計(jì)算原始指數(shù)：將兩個(gè)操作數(shù)的指數(shù)相加吊履，得到原始指數(shù)
- 規(guī)格化與舍入：對(duì)原始尾數(shù)和原始指數(shù)進(jìn)行規(guī)格化，獲得結(jié)果的指數(shù)调鬓，再對(duì)尾數(shù)進(jìn)行舍入艇炎，獲得結(jié)果的尾數(shù)
對(duì)于科學(xué)計(jì)數(shù)法表示的乘法，有：
現(xiàn)考慮32位的單精度浮點(diǎn)數(shù)（float）腾窝，其指數(shù)為8位缀踪，尾數(shù)為23位，獲得原始指數(shù)和原始尾數(shù)為：
- 原始指數(shù)：原始指數(shù)為兩個(gè)8位的指數(shù)相加燕锥，共9位
- 原始尾數(shù)：原始尾數(shù)為兩個(gè)23位的尾數(shù)相乘辜贵，共46位
獲得原始指數(shù)和尾數(shù)后進(jìn)行規(guī)格化，若原始指數(shù)小于-126归形，則小于表示范圍托慨，將原始尾數(shù)右移，每右移一位暇榴，原始指數(shù)+1厚棵，直到原始指數(shù)到達(dá)-126，此時(shí)形成非規(guī)格化數(shù)蔼紧。若原始尾數(shù)不小于-126婆硬，進(jìn)行正常的標(biāo)準(zhǔn)化：
- 兩個(gè)規(guī)格化數(shù)相乘：
，結(jié)果在1~4之間奸例，即最高2位有以下幾種可能性：
- 最高2位為
01：原始尾數(shù)向左移位2位（包括移除隱含的1）彬犯，原始指數(shù)直接為獲得規(guī)格化的指數(shù)，小數(shù)部分還剩44位查吊，在舍入部分處理谐区。若原始指數(shù)-2后為-127，則在移位后尾數(shù)前添加1逻卖，使用非規(guī)格化表示 - 最高2位為
10或11：原始尾數(shù)向左移位1位（移除隱含的1）宋列，原始指數(shù)+1獲得規(guī)格化的指數(shù)，小數(shù)部分還剩45位评也，在舍入部分處理炼杖。
- 最高2位為
- 非規(guī)格數(shù)和規(guī)格化相乘：
灭返，結(jié)果在0~2之間，操作方式與上述類(lèi)似
- 非規(guī)格化數(shù)和非規(guī)格化數(shù)相乘：原始指數(shù)為-252坤邪，尾數(shù)部分僅有46位熙含，無(wú)論如何都不可能使指數(shù)規(guī)格化到-126，直接為0
進(jìn)行規(guī)格化后罩扇，原始指數(shù)被修正為指數(shù)婆芦，此時(shí)若尾數(shù)的位數(shù)超過(guò)23位，還需要進(jìn)行舍入操作喂饥。將規(guī)格化后的尾數(shù)使用
表示消约，
表示高23位的指數(shù)，
表示24位以后尾數(shù)员帮。舍入使用“四舍六入”的方式或粮，舍入規(guī)則如下所示：
- 若
：拋棄，舍入結(jié)果為
（四舍）
- 若
：進(jìn)位捞高，舍入結(jié)果為
（六入）
- 若
：舍向偶數(shù)氯材，即使
進(jìn)行舍入后硝岗，原始尾數(shù)被修正為尾數(shù)氢哮，乘法計(jì)算完成。
浮點(diǎn)數(shù)加法
浮點(diǎn)數(shù)的加法分為以下幾個(gè)步驟：
- 對(duì)階：將指數(shù)較小的浮點(diǎn)數(shù)進(jìn)行尾數(shù)向右移位型檀，指數(shù)同步增大冗尤，直到兩個(gè)操作數(shù)的指數(shù)等
- 求和：對(duì)尾數(shù)進(jìn)行求和
- 規(guī)格化：對(duì)指數(shù)和尾數(shù)做規(guī)格化，并對(duì)尾數(shù)進(jìn)行舍入
對(duì)于科學(xué)計(jì)數(shù)法表示的加法胀溺，有：
第一步為對(duì)階裂七，即將指數(shù)變?yōu)橄嗤詫?shí)現(xiàn)加法，規(guī)定小階向大階對(duì)階仓坞，即原始指數(shù)背零，對(duì)于指數(shù)較小的操作數(shù)，需要將尾數(shù)向右移位无埃，每移動(dòng)一位徙瓶，指數(shù)加1，移位直到階數(shù)相等即完成對(duì)階嫉称，對(duì)階過(guò)程可表示為：
第二步為求和侦镇，即對(duì)階完成后，兩個(gè)尾數(shù)可以直接求和獲得原始尾數(shù)澎埠，求和過(guò)程如下所示：
第三步為規(guī)格化和舍入虽缕，原始尾數(shù)始藕，原始指數(shù)
蒲稳，對(duì)其進(jìn)行規(guī)格化和舍入操作氮趋，獲得新的指數(shù)
和尾數(shù)
，操作方式與乘法相同江耀，即完成浮點(diǎn)數(shù)的加法剩胁。
