DP專題總結(jié)

1.動(dòng)態(tài)規(guī)劃

一個(gè)問(wèn)題如果具有重復(fù)子問(wèn)題，那么可以用動(dòng)態(tài)規(guī)劃求解绪励，從而減少大量重復(fù)計(jì)算。

2.數(shù)塔問(wèn)題

image.png

問(wèn)：從第一層走到最后一層所有路徑上的數(shù)字相加后最大和是多少却盘？
令dp[i][j]表示第i層第j個(gè)數(shù)字當(dāng)前的最大和拴疤，則狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：

邊界：，使用choice[i][j]數(shù)組記錄每一個(gè)節(jié)點(diǎn)是由下層哪個(gè)節(jié)點(diǎn)得到的字管，從而回溯構(gòu)造結(jié)果
程序代碼：

#include<cstdio>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int maxn = 100;
int numTower[maxn][maxn];
int dp[maxn][maxn];    
int choice[maxn][maxn] = {0};

int main()
{
    int n;

    scanf("%d",&n); //2?êy
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        for(int j=0;j<=i;j++)
        {
            scanf("%d",&numTower[i][j]);
        }
    }


    //±???￡o×?oóò?2?μ?×?ó??μμèóúμ±?°êy
    for(int i=0;i<n;i++)
        dp[n-1][i] = numTower[n-1][i];

    //óé???áé?￡?×′ì?×aò?·?3ì￡o dp[i][j] = maxn(dp[i+1][j] + dp[i+1][j+1]) + numTower[i][j]
    for(int i=n-2;i>=0;i--)
        for(int j=0;j<=i;j++){
            if(dp[i+1][j] >= dp[i+1][j+1]){
                dp[i][j] = dp[i+1][j] + numTower[i][j];
                choice[i][j] = 1;
            }
            else{
                dp[i][j] = dp[i+1][j+1] + numTower[i][j];
                choice[i][j] = 2;
            }
        }
    printf("%d\n",dp[0][0]);
    int j = 0;
    for (int i = 0; i < n; ++i)
    {
        printf("%d",numTower[i][j] );
        if (choice[i][j] == 2)
        {
            j++;
        }
        if(i != n-1)
            printf(" ");
    }
}

3.最大連續(xù)子序列和

問(wèn)題：給定K個(gè)整數(shù)的序列{ N1, N2, ..., NK }啰挪，其任意連續(xù)子序列可表示為{ Ni, Ni+1, ..., Nj }，其中 1 <= i <= j <= K嘲叔。最大連續(xù)子序列是所有連續(xù)子序列中元素和最大的一個(gè)亡呵，例如給定序列{ -2, 11, -4, 13, -5, -2 }，其最大連續(xù)子序列為{ 11, -4, 13 }借跪，最大和為20≌海現(xiàn)在增加一個(gè)要求，即還需要輸出該子序列的第一個(gè)和最后一個(gè)元素。
樣例輸入
5
-3 9 -2 5 -4
3
-2 -3 -1
0
樣例輸出
12 9 5
0 -2 -1

令dp[i]表示以i結(jié)尾的數(shù)字當(dāng)前最大和歇由，狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：
dp[i] =max(A[i],dp[i-1]+A[i])
邊界：dp[0]=A[0]卵牍。
程序代碼:

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>

using namespace std;

const int maxn = 10010;
int a[maxn];
int dp[maxn];
int choice[maxn];

int main(int argc, char const *argv[])
{
    int k;
    while((scanf("%d",&k)) && k){
        for(int i=0;i<k;i++)
            scanf("%d",&a[i]);
        dp[0] = a[0];
        choice[0] = 1;
        int maxInd = 0;
        for(int i=1;i<k;i++){
            if(a[i] >= dp[i - 1] + a[i]){
                dp[i] = a[i];
                choice[i] = 1;
            }else{
                dp[i] = dp[i-1] + a[i];
                choice[i] = 2;
            }
            if(dp[i] > dp[maxInd])
                maxInd = i;
        }
        if(dp[maxInd] < 0){
            printf("%d %d %d\n",0,a[0],a[k-1] );
        }else{
            int p = maxInd;
            while(choice[p] == 2)
                p--;
            printf("%d %d %d\n",dp[maxInd],a[p],a[maxInd] );
        }
    }
    return 0;
}

4.最長(zhǎng)不下降子序列(LIS)

問(wèn)題：在一個(gè)數(shù)字序列中，找到一個(gè)最長(zhǎng)的子序列（可以不連續(xù)）沦泌，使得這個(gè)子序列是不下降的糊昙，例如現(xiàn)有序列A={1,2,3,-1,-2,7,9}，其最長(zhǎng)不下降子序列是{1,2,3,7,9}谢谦，長(zhǎng)度為5释牺。
令dp[i]表示以i結(jié)尾的序列當(dāng)前最長(zhǎng)不下降子序列的長(zhǎng)度，則狀態(tài)轉(zhuǎn)移分為兩種情況：

  1. 如果存在A[i]之前的元素Aj回挽，使得A[j]\le A[i]且dp[j] +1>dp[i]没咙，則A[i]可跟在A[j]后形成更長(zhǎng)的序列
  2. 如果不存在，那么A[i]只能自己形成一條LIS千劈，長(zhǎng)度為1

狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：
dp[i]=max(1,dp[j]+1),j=1,2,\cdots,i-1\&\&A[j]<A[i]
初始狀態(tài)：dp[i]=1,i\in\{1,2,\cdots,n\}
程序代碼：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>

using namespace std;

const int maxn = 10010;
int a[maxn];
int dp[maxn];
int choice[maxn];

int main(int argc, char const *argv[])
{
    int k;
    while((scanf("%d",&k)) && k){
        for(int i=0;i<k;i++)
            scanf("%d",&a[i]);
        dp[0] = a[0];
        choice[0] = 1;
        int maxInd = 0;
        for(int i=1;i<k;i++){
            if(a[i] >= dp[i - 1] + a[i]){
                dp[i] = a[i];
                choice[i] = 1;
            }else{
                dp[i] = dp[i-1] + a[i];
                choice[i] = 2;
            }
            if(dp[i] > dp[maxInd])
                maxInd = i;
        }
        if(dp[maxInd] < 0){
            printf("%d %d %d\n",0,a[0],a[k-1] );
        }else{
            int p = maxInd;
            while(choice[p] == 2)
                p--;
            printf("%d %d %d\n",dp[maxInd],a[p],a[maxInd] );
        }
    }
    return 0;
}

5.最長(zhǎng)公共子序列(LCS)

給定兩字符串A祭刚、B，如sadstory和adminsorry墙牌，其最長(zhǎng)公共子序列為adsory涡驮。
令dp[i][j]為A串的第i號(hào)字符和B串的第j號(hào)字符之前的LCS長(zhǎng)度，狀態(tài)轉(zhuǎn)移有以下兩種情況：
1.如果A[i]==B[j],則dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1
2.否則,dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1])
狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：
dp[i][j]= \begin{cases} dp[i-1][j-1]+1,A[i]==B[i] \\ max(dp[i-1][j],dp[i][j-1],A[i]!=A[j]) \end{cases}
邊界：dp[i][0]=dp[0][j]=0(0\le i \le n,0\le j \le m)
注：使用回溯法可求得具體的公共子串（待補(bǔ)）
程序代碼：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>

using namespace std;

const int maxn = 1000;
char A[maxn],B[maxn];
int dp[maxn][maxn];

int main()
{
    gets(A + 1); gets(B + 1); 
    int lenA = strlen(A + 1);
    int lenB = strlen(B + 1);
    for(int i=0;i<= lenA;i++)
        dp[i][0] = 0;
    for(int i=0;i<= lenB;i++)
        dp[0][i] = 0;
    //dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1,A[i] = A[j]
    //dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i][j-1])
    for(int i=1;i<= lenA;i++)
        for(int j=1;j<= lenB;j++)
            if(A[i] == B[j])
                dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;
            else
                dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);
    printf("%d\n",dp[lenA][lenB]);
}

6.最長(zhǎng)回文子串

問(wèn)題：給定一字符串S喜滨，求其最長(zhǎng)回文子串長(zhǎng)度
如PATZJUJZTACCBCC,最長(zhǎng)回文子串為ATZJUJZTA捉捅，長(zhǎng)度為9
令dp[i][j]表示區(qū)間為[i,j]串是否是回文串，狀態(tài)轉(zhuǎn)移分為以下兩種情況：
1.若S[i]==S[j],那么如果區(qū)間[i+1,j-1]內(nèi)的串仍為回文串的話虽风，那么區(qū)間為[i,j]的串即為回文串
2.若S[i]!=S[j]棒口，那么區(qū)間為[i,j]的串肯定不是回文串
狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：
dp[i][j]= \begin{cases} dp[i+1][j-1],S[i]==S[j] \\ 0,S[i]!=S[j] \end{cases}
邊界：dp[i][i]=1,1\le i\le n,dp[i][i+1]=(S[i]==S[i+1]?1:0)
注意：枚舉方法
如果按照i，j從小到大的順序枚舉焰情，無(wú)法保證dp[i+1][j-1]被計(jì)算過(guò)陌凳，因?yàn)橹怀跏蓟碎L(zhǎng)度為1和2的串，因此可以按串長(zhǎng)度即區(qū)間長(zhǎng)度進(jìn)行枚舉内舟。
程序代碼：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>

using namespace std;
int const maxn = 1000;
char A[maxn];
int dp[maxn][maxn];

int main()
{
    gets(A);
    int len = strlen(A);

    for(int i=0;i<len;i++)
    {
        dp[i][i] = 1;
        if(i != len - 1 && A[i] == A[i+1])
            dp[i][i+1] = 1;
            ans = 2;
    }

    int ans = 1;
    for(int L = 3;L<=len;L++)
    {
        for(int i=0;i+L-1<len;i++)
        {
            int j = i+L-1;
            if(A[i] != A[j])
                dp[i][j] = 0;
            else
            {
                if(dp[i+1][j-1] == 1)
                {
                    dp[i][j] = 1;
                    ans = L;
                }
                else dp[i][j] = 0;
            }
        }
    }
    printf("%d\n",ans);
}

7.DAG最長(zhǎng)路（待）

8.0-1背包問(wèn)題

問(wèn)題描述：有n件物品合敦，每件物品的重量為w[i]，價(jià)值為c[i]⊙橛危現(xiàn)有一個(gè)容量為V的背包充岛，問(wèn)如何選取物品放入背包，使得背包內(nèi)物品的總價(jià)值最大耕蝉，其中每種物品只有一件崔梗。
令dp[i][v]表示前i種物品恰好能放入重量為v的背包所能得到的總價(jià)值，狀態(tài)轉(zhuǎn)移有以下兩種情況：
1.選擇第i種物品垒在，那么問(wèn)題轉(zhuǎn)化為前i-1種物品能夠放入重量為v-w[i]的背包所能獲得的最大價(jià)值蒜魄。
2.不選擇第i種物品，那么當(dāng)前最大價(jià)值即等于前i-1種物品能夠放入重量為v的背包所能獲得的最大價(jià)值。
狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：
dp[i][v]=max(dp[i-1][v],dp[i-1][v-w[i]]+c[i]),1\le i\le n,w[i]\le v\le V
邊界狀態(tài)：dp[0][v]=0(0\le v \le V)

空間復(fù)雜度的優(yōu)化：
注意到dp[i][j]的計(jì)算只是依賴于i-1階段的V個(gè)狀態(tài)谈为，而不依賴于i-1之前的狀態(tài)旅挤，因此可以通過(guò)滾動(dòng)數(shù)組策略來(lái)去掉物品的維度，狀態(tài)方程：
dp[v]=max(dp[v],dp[v-w[i]]+c[i])(1 \le i \le n,w[i]\le v \le V)

image.png

當(dāng)前第i階段只依賴i-1階段的值伞鲫，因此在枚舉重量v的時(shí)候只能逆序枚舉粘茄，否則會(huì)當(dāng)前i階段的值會(huì)覆蓋i-1階段的值（后面枚舉需要用到）。
程序代碼：

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>

using namespace std;

const int maxn = 100; //物品最大數(shù)
const int maxv = 1000; //背包最大重量
//每件物品的重量秕脓，每件物品的價(jià)值柒瓣，重量為v的背包所能裝物品的最大價(jià)值
int w[maxn], c[maxn], dp[maxv];
int selected[maxn]; //記錄每個(gè)物品是否被選擇 

int main(int argc, char const *argv[])
{
    int n,V;
    scanf("%d%d",&n,&V);
    for(int i=0;i<n;i++)
        scanf("%d",&w[i]);
    for(int i=0;i<n;i++)
        scanf("%d",&c[i]);
    //初始邊界，當(dāng)i=0時(shí)吠架，dp[v]=0
    for(int v=0;v<=V;v++)
        dp[v] = 0;
    //注意點(diǎn)：
    //1. 滾動(dòng)數(shù)組來(lái)優(yōu)化空間：每次更新時(shí)用到的dp是i-1時(shí)刻的dp值芙贫，更新后變?yōu)閕時(shí)刻的dp值
    //2. 狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程: dp[v] = max(dp[v],dp[v - w[i]] + c[i])
    //3. 逆序更新：保證i-1時(shí)刻的值不被覆蓋
    //4. dp[v]此時(shí)保存的是重量為v恰好裝入物品的最大價(jià)值
    //5. 階段狀態(tài)思想：本階段的所有狀態(tài)可有上一階段的所有狀態(tài)推理可得
    //   階段：可選的不同物品，狀態(tài)：在給定物品下的不同重量
    //6. 無(wú)后效性：第i階段的所有狀態(tài)取值僅取決于i-1階段的狀態(tài)取值
    //   滿足無(wú)后效性的問(wèn)題可用滾動(dòng)數(shù)組來(lái)求解诵肛，不滿足的可以增加維度
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int v = V;v>=w[i];v--){
            dp[v] = max(dp[v],dp[v - w[i]] + c[i]);
        }
    }
    //尋找最大的dp[v]
    int k = 0;
    for(int v=0;v<=V;v++){
        if(dp[v] > dp[k])
            k = v;
    }
    printf("%d\n", dp[k]);
    return 0;
}

9.完全背包問(wèn)題

問(wèn)題描述：有n種物品屹培，每種物品的單件重量為w[i]，價(jià)值為c[i]≌荩現(xiàn)有一個(gè)容量為V的背包，問(wèn)如何選取物品放入背包蓄诽，使得背包內(nèi)物品的總價(jià)值最大薛训，其中每種物品都有無(wú)窮件。
令dp[i][v]表示前i件物品恰好放入容量為v的背包中所能獲得的最大價(jià)值仑氛，和0-1背包的區(qū)別在于：
1.不放第i件物品乙埃，那么dp[i][v]=dp[i-1][v]，同0-1背包
2.放第i件物品锯岖，那么dp[i][v]=dp[i][v-w[i]]+c[i]介袜，這里dp[i][v]依賴階段i的v-w[i]的狀態(tài)，因?yàn)槲锲窋?shù)量無(wú)限出吹，所以可以重復(fù)的放物品i
狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：
dp[i][v]=max(dp[i-1][v],dp[i][v-w[i]]+c[i]),1\le i \le n,w[i]\le v\le V
邊界狀態(tài)：dp[0][v]=0(0\le v \le V)
同樣遇伞，可以用滾動(dòng)數(shù)組來(lái)去掉物品維度，此時(shí)需要正序枚舉背包容量捶牢，因?yàn)殡A段i的值依賴當(dāng)前階段i鸠珠，需要使用覆蓋的數(shù)據(jù)，狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：
dp[v]=max(dp[v],dp[v-w[i]]+c[i])(1\le i \le n,w[i] \le v \le V)

10.完全背包可行方案數(shù)的問(wèn)題

問(wèn)題描述：傳統(tǒng)地秋麸，一個(gè)貨幣系統(tǒng)是由1,5,10,20 或 25,50, 和 100的單位面值組成的渐排，現(xiàn)用這些硬幣支付面值為A的商品，問(wèn)有多少種不同的方案灸蟆，輸出字典順序最小的方案驯耻，這些硬幣無(wú)窮多個(gè)。

問(wèn)題特點(diǎn)：相當(dāng)于求下列方程解的個(gè)數(shù)：
a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots+a_{n}x_{n}=M
其中a_{1},\cdots,a_{n}表示n個(gè)硬幣的面值，x_{1},\cdots,x_{n}表示組合方案可缚。
令dp[i][v]表示前i個(gè)硬幣恰能組成面值為v的方案數(shù)霎迫，則狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：
dp[i][v]=dp[i-1][v]+dp[i][v-w[i]]
初始化：dp[0]=1,其余為0
使用滾動(dòng)數(shù)組，狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程可轉(zhuǎn)化為：
dp[v]=dp[v]+dp[v-w[i]]
進(jìn)行正序枚舉面值v即可
程序代碼：

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <vector>

using namespace std;

/*
    1.此類問(wèn)題為完全背包的可行解個(gè)數(shù)問(wèn)題城看，需要掌握
    2.令dp[i][v]表示前i個(gè)物品恰能裝滿重量為w的方案數(shù)
    3.狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程:dp[i][v] = dp[i-1][v] + dp[i][v-w[i]]女气，dp[:][0] = 1
    4.討論：第一種狀態(tài)轉(zhuǎn)移：不選物品i，狀態(tài)轉(zhuǎn)移取決于i-1階段
    第二種狀態(tài)轉(zhuǎn)移：選擇物品i测柠，由于物品i的個(gè)數(shù)不受限制炼鞠，因此
    狀態(tài)轉(zhuǎn)移取決于第i階段，可以選擇多個(gè)物品i,但會(huì)受到容量v的限制
    5.可以將上述二維狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程利用滾動(dòng)數(shù)組變成一維
    6.進(jìn)行正序dp
*/

const int maxn = 30;
const int maxm = 10010;
long long dp[maxm],w[maxn];

int main(int argc, char const *argv[])
{
    int n,V;
    scanf("%d%d",&n,&V);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%lld",&w[i]);
    //初始化
    dp[0] = 1;
    for(int i=1;i<=V;i++)
        dp[i] = 0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int v=w[i];v<=V;v++)
            dp[v] = dp[v] + dp[v-w[i]];
    }
    printf("%lld\n",dp[V] );
    return 0;
}

11.非完全背包問(wèn)題

問(wèn)題描述：有1元轰胁、5元谒主、50元、100元赃阀、500元的硬幣各1霎肯、5、10榛斯、50观游、100、500枚⊥运祝現(xiàn)在要用這些硬幣來(lái)支付A元懂缕，有多少種支付方案。并且輸出字典順序最小的方案王凑。

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