【9】圓錐曲線

定義9.1 到定點(diǎn)的距離 $F$ 與到定直線 $l$ 的距離相等的點(diǎn)的軌跡，稱為拋物線(Parabola)劫侧。稱點(diǎn) $F$ 為拋物線的焦點(diǎn)埋酬，直線 $l$ 為拋物線的準(zhǔn)線。
(1) 如圖9.1.1烧栋，取定點(diǎn)為 $F\left(\frac{p}2,0\right),p>0$ 写妥，直線為 $l:x=-\frac{p}2$ ，求到點(diǎn) $F$ 與到 $l$ 距離相等的點(diǎn)的軌跡方程审姓。

圖9.1.1 拋物線

(2) 設(shè)點(diǎn) $A(x_0,y_0)$ 在圖9.1.1的拋物線上珍特，求經(jīng)過(guò)點(diǎn) $A$ 的切線的方程 $l'$ 。并證明： $l'$ 是 $\angle BAF$ 的角平分線魔吐。
(3) 一個(gè)凹鏡面的對(duì)稱軸截面線是焦點(diǎn)為 $F$ 的拋物線扎筒，如圖9.1.2，試證明：平行于對(duì)稱軸的入射光酬姆，被鏡面反射后經(jīng)過(guò)焦點(diǎn) $F$ 嗜桌。

圖9.1.2

題9.2 在平面直角坐標(biāo)系 $xOy$ 中，拋物線 $\Gamma:y^2=2px(p>0)$ 的焦點(diǎn)為 $F$ 辞色，過(guò) $\Gamma$ 上一點(diǎn) $P$ (異于 $O$ )作 $\Gamma$ 的切線骨宠，與 $y$ 軸交于點(diǎn) $Q$ .若 $|FP|=2,|FQ|=1$ ，則向量 $\overrightarrow {OP},\overrightarrow{OO}$ 的數(shù)量積為_(kāi)___________. (2021全國(guó)中學(xué)生數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽初賽第6題)淫僻。

定義9.3 到兩定點(diǎn) $F_1,F_2$ 的距離和等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡诱篷，稱為橢圓， $F_1,F_2$ 稱為焦點(diǎn)雳灵。
(1) 如圖9.3.1，設(shè) $F_1=(-c,0),F_2=(c,0),c>0,P$ 為動(dòng)點(diǎn)且滿足： $|PF_1|+|PF_2|=2a,a>c$ 闸盔。由定義知悯辙，點(diǎn) $P$ 的軌跡是橢圓。
設(shè)圖中的橢圓與 $Ox$ 正軸相交于點(diǎn) $A$ ，則點(diǎn) $A$ 的坐標(biāo)為_(kāi)__________躲撰。
設(shè)圖中的橢圓與 $Oy$ 正軸相交于點(diǎn) $B(0,b),b>0$ 针贬，證明： $c^2+b^2=a^2$ 。

圖9.3.1 橢圓

(2) 依據(jù)(1)拢蛋，定義了點(diǎn)

A(a,0),B(0,b)

桦他，我們以后稱

2a

為橢圓的長(zhǎng)軸，

2b

為橢圓的短軸谆棱，請(qǐng)指出圖中橢圓長(zhǎng)軸與短軸的位置快压，說(shuō)明其幾何性質(zhì)，并證明橢圓的方程為：

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1

垃瞧。

(3) 證明：點(diǎn) $P$ 的法線平分 $\angle F_1 P F_2$ 蔫劣。這說(shuō)明光線從一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)射，經(jīng)橢圓面反射后个从，匯聚到另一個(gè)焦點(diǎn)脉幢。
(1) 解 $A$ 的坐標(biāo)為 $(a,0)$ 。
如圖9.3.2嗦锐，連接 $BF_1,BF_2$ 嫌松，因?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=BF_1%3DBF_2%2CBF_1%2BBF_2%3D2a" alt="BF_1=BF_2,BF_1+BF_2=2a" mathimg="1">，所以 $BF_1=a$ 奕污，在 $\Delta BOF_1$ 中萎羔，利用勾股定理即得結(jié)論。

圖9.3.2

(2) 證明設(shè) $P=(x,y)$ 菊值，依據(jù)題意：
$\sqrt{(x+c)^2+y^2}+\sqrt{(x-c)^2+y^2}=2a$
移項(xiàng)
$\sqrt{(x+c)^2+y^2}=2a-\sqrt{(x-c)^2+y^2}$
兩邊平方
$(x+c)^2+y^2=(x-c)^2+y^2+4a^2-4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}$ 展開(kāi)
$x^2+2cx+c^2+y^2=x^2-2cx+c^2+y^2+4a^2-4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}$
消項(xiàng)外驱、整式、根式分開(kāi)腻窒、整理：
$cx-a^2=-a\sqrt{(x-c)^2+y^2}$ 兩邊平方：
$c^2x^2-2ca^2x+a^4=a^2(x^2-2cx+c^2+y^2)$ 移項(xiàng)整理：
$(a^2-c^2)x^2+a^2y^2=a^4-a^2c^2$ 利用 $a^2-c^2=b^2$ 昵宇，得 $b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2$ ，即：
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

(3) 如圖9.3.4儿子，設(shè)點(diǎn) $P(x_0,y_0),y_0\ne 0$ ( $y_0= 0$ 的情況簡(jiǎn)單)的切線為： $l:y=k(x-x_0)+y_0$
移項(xiàng)得：
$kx-y=kx_0-y_0$ $\tag{9.3.3}$
作點(diǎn) $P$ 的法線與橫坐標(biāo)相交于點(diǎn) $C$ 瓦哎，連接 $PF_1,PF_2$ 。

圖9.3.4

利用(9.3.3)與柯西不等式柔逼，得到：

1=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\frac{(kx)^2}{(ka)^2}+\frac{(-y)^2}{b^2}\\ \ge \frac{(kx-y)^2}{k^2a^2+b^2}=\frac{(kx_0-y_0)^2}{k^2a^2+b^2}

上式等號(hào)成立的幾何條件是

l

與橢圓相切蒋譬，其代數(shù)條件為：

\frac{kx}{k^2a^2}=-\frac{y}{b^2}

，整理得：

k=-\frac{b^2x}{a^2y}

\tag{9.3.5}

此時(shí)愉适，

(x,y)=(x_0,y_9)

犯助，所以橢圓在點(diǎn)

(x_0,y_0)

切線斜率為

k=-\frac{b^2x_0}{a^2y_0}

\tag{9.3.6}

根據(jù)法線的定義，

k_{PC}=\frac{a^2y_0}{b^2x_0}

维咸，所以直線

PC

的方程為：

PC:y-y_0=\frac{a^2y_0}{b^2x_0}(x-x_0)

從而點(diǎn)

C

的坐標(biāo)為

(x_0-\frac{b^2x_0}{a^2},0)=\left(\frac{c^2}{a^2}x_0,0\right)=(e^2x_0,0)

所以：

|F_1C|=c+e^2x_0,|F_2C|=c-e^2x_0

另一方面：

|F_1P|=\sqrt{(x_0+c)^2+y_0^2}=\sqrt{x_0^2+2cx_0+c^2+b^2-\frac{b^2}{a^2}x_0^2}\\ =\sqrt{a^2+\frac{c^2}{a^2}x_0^2+2cx_0}=a+\frac{c}{a}x_0=a+ex_0

同理：

|F_2P|=a-ex_0

最后：

\frac{|F_1C|}{|F_2C|}=\frac{c+e^2x_0}{c-e^2x_0}=\frac{a^2c+c^2x_0}{a^2c-c^2x_0}=\frac{a+ex_0}{a-ex_0}=\frac{|F_1P|}{|F_2P|}

根據(jù)角平分線定理知：

PC

平分

\angle{F_1PF_2}

剂买，命題得證惠爽。

\blacksquare

題9.4 如圖9.4.1， $AB$ 是筆直的公路瞬哼， $V_1,V_2$ 是兩個(gè)村莊婚肆。順豐快遞在高速路建設(shè)一個(gè)快遞站 $S$ ，要求 $S$ 到 $V_1$ 的距離和到 $V_2$ 的距離和最短坐慰。

圖9.4.1

(1) 請(qǐng)使用尺規(guī)作圖法給快遞站選址较性。
(2) 若以

V_1,V_2

為焦點(diǎn)的橢圓與直線

AB

相切，證明：切點(diǎn)為順豐快遞站结胀。

(1)作圖如圖9.4.2赞咙，按如下步驟作圖：
a) 作點(diǎn) $V_1$ 關(guān)于直線 $AB$ 的對(duì)稱點(diǎn) $V_1'$ 。
b) 連接 $V_1'V_2$ 把跨，設(shè)直線 $V_1'V_2$ 與直線 $AB$ 相交于點(diǎn) $S$ 人弓，那么 $S$ 就是要求的快遞站。

圖9.4.2

證明如圖9.4.2着逐，在直線 $AB$ 上取異于點(diǎn) $S$ 的點(diǎn) $S'$ 崔赌，根據(jù)軸對(duì)稱性質(zhì)，有
$S'V_1+S'V_2=S'V_2+S'V_1'>V_1'V_2=SV_1'+SV_2=SV_1+SV_2$
即： $S$ 是到兩個(gè)村莊距離和最小的快遞站耸别。

(2) 設(shè) $SV_1+SV_2=2a$ 健芭，以此作為長(zhǎng)軸作橢圓 $C$ 。根據(jù)橢圓切線的幾何性質(zhì)知秀姐，直線 $AB$ 是橢圓 $C$ 的切線慈迈，其切點(diǎn)為 $S$ 。
$\blacksquare$

題9.5 已知拋物線 $\Gamma:y^2=4x$ 省有，直線 $l$ 過(guò)點(diǎn) $(0,-1)$ 且 $l$ 與 $\Gamma$ 相切痒留，求 $l$ 的方程。
解分兩種情況討論：(1) $l$ 垂直 $OX$ 蠢沿，此時(shí) $l:x=0$ 與 $\Gamma$ 相切伸头。
(2)否則，設(shè) $l$ 的方程為 $y+1=kx,k\ne 0$ 舷蟀，聯(lián)立方程組：
$\begin{equation} \label{eq6} \left\{ \begin{aligned} y^2=4x \\ y+1=kx \end{aligned} \right. \end{equation}$
消去 $x$ 得 $y$ 的二次方程： $ky^2-4y-4=0$ 恤磷，由相切條件得：
$\Delta =16+16k=0$ ，解得 $k=-1$ 野宜，所以扫步，此情況 $l:y=-x-1$ 。
綜上所述匈子， $l$ 的方程為 $x=1$ 或 $y=-x-1$ 河胎。
$\blacksquare$

題9.6 $P$ 是橢圓 $x^2+4 y^2=4$ 上的點(diǎn)， $Q$ 是直線 $y=\frac{1}2x+3$ 上的點(diǎn)虎敦，求線段 $|PQ|$ 的最小值仿粹。

題9.7 如圖9.7.1搁吓，二次曲線 $\Gamma$ 上兩點(diǎn) $A,B$ 及線段 $AB$ 的中點(diǎn)為 $M$ 原茅，過(guò)點(diǎn) $M$ 作直線 $CD,EF$ 與曲線 $\Gamma$ 交于 $C,D,E,F$ 吭历。設(shè) $CE\cap AB=P,DF\cap AB=Q$ ，求證：
$|MP|=|MQ|$

圖9.7.1

證明以

M

為原點(diǎn)擂橘，

\overrightarrow{AB}

為橫坐標(biāo)建立平面直角坐標(biāo)系晌区，并設(shè)

\overrightarrow{MA}=-r\\\overrightarrow{MA}=r

其中

r>0

。

圖9.7.2

不是一般性通贞，設(shè)

\Gamma

的曲線方程為：

\tag{9.7.3}F(x,y)=x^2+ay^2+bxy+cx+dy+e=0

根據(jù)已知條件知朗若，關(guān)于

x

的方程

F(x,0)=0

的兩個(gè)根為

x_1=-r,x_2=r

，即方程：

x^2+cx+e=0\\

的兩根為

x_1=-r,x_2=r

昌罩，根據(jù)韋達(dá)定理哭懈，

c=0

,即

\tag{9.7.4} F(x,y)=x^2+ay^2+bxy+dy+e

兩直線

CD,EF

的方程可以表示為：

\tag{9.7.5}G(x,y)=(x+k_1y)(x+k_2y)=0

它與

\Gamma

的交點(diǎn)為

C,D,E,F

，所以直線

CE,DF

的方程可以表示為：

\alpha G(x,y)+\beta F(x,y)=0

所以茎用，

P,Q

的橫坐標(biāo)為方程：

\tag{9.7.6}G(x,0)+\beta F(x,0)=0

的兩根遣总，

(9.7.6)\Leftrightarrow 2x^2+e=0

根據(jù)韋達(dá)定理知，

PQ

中點(diǎn)為

O

轨功，即得

|MP|=|MQ|

\blacksquare

定義9.8 到兩定點(diǎn) $F_1,F_2$ 的距離差等于定值的點(diǎn)的軌跡旭斥，稱為雙曲線， $F_1,F_2$ 稱為焦點(diǎn)古涧。
(1) 如圖9.8.1垂券，設(shè) $F_1=(-c,0),F_2=(c,0),c>0,P$ 為動(dòng)點(diǎn)且滿足： $\left||PF_1|-|PF_2|\right |=2a,a<c$ 。由定義知羡滑，點(diǎn) $P$ 的軌跡是雙曲線菇爪。
設(shè)圖中的雙曲線與 $Ox$ 正軸相交于點(diǎn) $A$ ，則點(diǎn) $A$ 的坐標(biāo)為_(kāi)__________柒昏。
設(shè)圖中的雙曲線與 $Oy$ 正軸相交于點(diǎn) $B(0,b),b>0$ 凳宙，證明： $c^2=a^2+b^2$ 。

圖9.8.1

(2) 依據(jù)(1)昙楚，定義了點(diǎn)

A(a,0),B(0,b)

近速，我們以后稱

2a

為雙曲線的實(shí)軸，

2b

為雙曲線的虛軸堪旧，請(qǐng)指出圖9.8.1中實(shí)軸與虛軸的位置削葱，說(shuō)明其幾何性質(zhì)，并證明雙曲線的方程為：

\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1

淳梦。

(3) $P$ 為雙曲線上的點(diǎn)析砸，證明：點(diǎn) $P$ 的切線平分 $\angle F_1 P F_2$ 。這說(shuō)明光線從一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)射爆袍，經(jīng)雙曲面反射后首繁，反射光的反向延長(zhǎng)線過(guò)另一個(gè)焦點(diǎn)作郭。

(4) 比較拋物線、橢圓弦疮、雙曲線的光學(xué)性質(zhì)夹攒，總結(jié)其異同。

題9.9 已知直線 $y=kx+1$ 與雙曲線 $3x^2-y^2=1$ 交于不同的兩點(diǎn) $A,B$ 胁塞。
(1) 求參數(shù) $k$ 的取值范圍咏尝。
(2) 若以 $|AB|$ 為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，求該圓的半徑啸罢。

最后編輯于：2022.08.24 17:31:41

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【9】圓錐曲線

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