1挖帘、投影重建概述
1.1、投影重建方式
1、投射斷層成像
在投射斷層成像（TCT簡(jiǎn)稱CT）系統(tǒng)中，從發(fā)射源射出的射線穿透物體到達(dá)接收器。射線在通過物體時(shí)被物體吸收一部分烤送，余下部分被接收器接受。由于物體各部分對(duì)射線的吸收程度不同糠悯，所以接受器獲得的射線強(qiáng)度實(shí)際上反應(yīng)了物體各部分對(duì)射線的吸收情況帮坚。
如果代表射線源的強(qiáng)度，
代表在沿射線方向物體點(diǎn)
的線性衰減系數(shù)/因子互艾，
代表輻射的射線试和，
代表穿透物體射線的強(qiáng)度那么
2、發(fā)射斷層成像
在發(fā)射斷層成像（ETC）系統(tǒng)中纫普，發(fā)射源在發(fā)射物體的內(nèi)部阅悍。一般是將具有放射性的離子注入物體內(nèi)部，從物體外檢測(cè)其放射出來(lái)的量昨稼。通過這種方法可以了解離子在物體內(nèi)的運(yùn)動(dòng)情況和分布节视。
3、反射對(duì)策成像
反射斷層成像（RCT）也是利用投影重建的原理工作的假栓。常見的一個(gè)例子是雷達(dá)系統(tǒng)寻行，其中的雷達(dá)圖是物體反射的回波所產(chǎn)生的。
4匾荆、磁共振成像
磁共振成像（MRI）在早期稱為核磁共振（NMR）拌蜘。工作原理：氫核以及其他具有基數(shù)個(gè)質(zhì)子或中子的核杆烁，包含具有一定磁動(dòng)量或旋量的質(zhì)子。如果把他們放在磁場(chǎng)中简卧，他們就會(huì)像陀螺在重力場(chǎng)中一樣的磁場(chǎng)中進(jìn)動(dòng)兔魂。一般情況下質(zhì)子在磁場(chǎng)中是隨意排列的，當(dāng)一個(gè)適當(dāng)強(qiáng)度和頻率的共振場(chǎng)信號(hào)作用于物體時(shí)举娩，質(zhì)子吸收能量并轉(zhuǎn)向與磁場(chǎng)相交的朝向析校。如果此時(shí)將共振場(chǎng)信號(hào)去除，質(zhì)子吸收的能量將釋放并可被接收器檢測(cè)到晓铆。根據(jù)檢查到的信號(hào)就可以確定質(zhì)子的密度勺良。通過控制所用的共振場(chǎng)信號(hào)和磁場(chǎng)強(qiáng)度绰播，可每次檢測(cè)到沿通過目標(biāo)中一條線的信號(hào)骄噪。換句話說，檢查到的信號(hào)是MRI信號(hào)沿直線的積分蠢箩。
5链蕊、電阻抗斷層成像
電阻抗斷層成像（EIT）采用交流電場(chǎng)對(duì)物體進(jìn)行激勵(lì)檢查。這種方法對(duì)電導(dǎo)和電抗的改變比較敏感谬泌。通過使用低頻率的電流注入物體內(nèi)部并測(cè)量在物體外表處的電勢(shì)場(chǎng)滔韵，在采用圖像重建算法就可以重建出物體內(nèi)部區(qū)域的電導(dǎo)和電抗的分布或變化的圖像。
2掌实、傅里葉反變換重建
2.1陪蜻、基本步驟和定義
傅里葉反變換重建法是一種變換重建法。有以下三個(gè)步驟
1贱鼻、建立數(shù)學(xué)模型宴卖，其中已知量和未知量都是連續(xù)實(shí)數(shù)的函數(shù)
2、利用反變換公式解未知量
3邻悬、調(diào)節(jié)反變換公式以適應(yīng)離散症昏、有噪聲應(yīng)用的需求。
2.2父丰、傅里葉變換投影定理
變換方法的基礎(chǔ)是傅里葉變換投影定理肝谭。設(shè)是
對(duì)應(yīng)定一個(gè)變量
的一維傅里葉變換
是
的二維傅里葉變換
那么可以證明如下投影定理：
即以θ角進(jìn)行投影的傅里葉變換等于
的傅里葉變換在傅里葉空間(R,θ)處的值，換句話說蛾扇，
在
軸成θ角的直線上投影的傅里葉變換是
的傅里葉變換在朝向角θ上的一個(gè)截面攘烛。
2.3、傅里葉反變換重建公式
傅里葉反變換重建主要有三個(gè)步驟：
1镀首、對(duì)以角的投影進(jìn)行一維傅里葉變換医寿。
2、在傅里葉空間從極坐標(biāo)向直角坐標(biāo)插值蘑斧。
3靖秩、進(jìn)行二維傅里葉反變換以得到重建圖像
3须眷、逆投影重建
逆投影的原理是將從各個(gè)方向得到的投影返回到該方向的各個(gè)位置，如果對(duì)多個(gè)投影方向中的每個(gè)方向都進(jìn)行這樣的逆投影沟突，就有可能建立平面上的一個(gè)分布花颗。逆投影重建中最典型的是卷積投影重建。
3.1惠拭、卷積逆投影重建
3.1.1扩劝、連續(xù)公式推導(dǎo)
卷積逆投影重建法也是一種變化重建方法，可以由傅里葉變換推導(dǎo)出
在上式 (2.2.1)極坐標(biāo)中的反變換
最終得到
也可以將上式分解成以下兩個(gè)順序的操作來(lái)完成：
3.1.2职辅、離散計(jì)算
3.1.3棒呛、扇束投影重建
在實(shí)際應(yīng)用中常需要盡量縮短投影的時(shí)間。一種有效的方法是使用一個(gè)發(fā)射器和一組接受器域携，這樣就可以同時(shí)獲得多條投影線簇秒。
3.2、其他投影重建
3.2.1秀鞭、逆投影濾波
3.2.1趋观、濾波反投影
1、原理：
濾波反投影重建算法常用在CT成像重建中锋边，背后的數(shù)學(xué)原理是傅立葉變換：對(duì)投影的一維傅立葉變換等效于對(duì)原圖像進(jìn)行二維的傅立葉變換皱坛。（傅立葉中心切片定理）
CT重建算法大致分為解析重建算法和迭代重建算法，隨著CT技術(shù)的發(fā)展豆巨，重建算法也變得多種多樣剩辟，各有各的有特點(diǎn)。濾波反投影算法（FBP）算法是在傅立葉變換理論基礎(chǔ)之上的一種空域處理技術(shù)往扔。它的特點(diǎn)是在反投影前將每一個(gè)采集投影角度下的投影進(jìn)行卷積處理贩猎，從而改善點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)引起的形狀偽影，重建的圖像質(zhì)量較好瓤球。
