5.對流換熱微分方程組推導(dǎo)

對流換熱微分方程組

標(biāo)簽（空格分隔）：未分類

1.在導(dǎo)熱階段撇吞，我們利用封閉系統(tǒng)的能量守恒(這里的大Q單位為焦耳分尸，熱流密度的小q單位為瓦特每單位面積)

$Q=\Delta E+W\text{（做功）}$

2.對流不封閉攻礼，區(qū)分當(dāng)?shù)氐牧黧w+溜出去的流體

3.[導(dǎo)入與導(dǎo)出的凈熱量]+[熱對流傳遞的凈熱量]+[內(nèi)熱源發(fā)熱量]=[當(dāng)?shù)叵到y(tǒng)能量的增量]+[對外做體積功]

也就是[擴(kuò)散項(xiàng)]+[對流項(xiàng)]+[源項(xiàng)]=[非穩(wěn)項(xiàng)/時間項(xiàng)]+[做功]

$Q=Q_{導(dǎo)熱}+Q_{對流}+Q_{內(nèi)熱源}$
$\Delta E=\Delta U_{熱力學(xué)能}+\Delta U_{K(動能)}$

區(qū)別與聯(lián)系

(回顧導(dǎo)熱微分方程式的推導(dǎo)睡互， $Q=\Delta U+W\text{（體積功）}$ ,是因?yàn)閷?dǎo)熱無運(yùn)動肠套，這里改寫為 $Q=\Delta E+W$ ,是因?yàn)閷α饔羞\(yùn)動舰涌，包含了運(yùn)動中動量動能的改變，多了一項(xiàng)動能變化;而W中的體積功你稚，導(dǎo)熱只會有可能膨脹做體積功瓷耙，對流有運(yùn)動，體積力做功與表面力做功)

$力=體積力（重力入宦、電磁力）+表面力(壓力_{作用在法線,靜態(tài)液體也有壓力}、切向應(yīng)力_{流體流動產(chǎn)生動能+粘性耗散發(fā)熱 \mu \Phi})$

壓力做的功：①變形功室琢；②推動功

熱流密度×面積(dydz)×單位時間

$dQ=q_x\cdot dydz\cdot d\tau \tag{1}$

其中熱流密度的單位是W每平方米乾闰，熱力學(xué)的單位是焦耳，所以熱流密度乘以面積乘以時間是功的單位

那么 $dQ_{x+dx}=q_{x+dx}\cdot dy\cdot dz \cdot d\tau \text{(單位為焦耳)} \tag{2}$

為了簡化盈滴，做一下假設(shè)

(1)流體熱物性為常量涯肩；

(2)流體不可壓縮轿钠，一般工質(zhì)可忽略壓縮(空氣小于66米/秒的時候認(rèn)為不可壓縮)

$\require{cancel} 壓力做的功：\cancel{①變形功}；②推動功$

(3)一般工程問題流速低,動能的變化=0病苗，耗散熱=0(航空航天無法忽略)

$\require{cancel} \Delta E=\Delta U_{熱力學(xué)能}+\cancel{\Delta U_{K(動能)}}\\ \cancel{\mu \Phi耗散熱=0}$

(4)無內(nèi)熱源

$\require{cancel} Q=Q_{導(dǎo)熱}+Q_{對流}+\cancel{Q_{內(nèi)熱源}}$

簡化后疗垛， Q只有導(dǎo)熱+對流的熱能變化， $\Delta E$ 為熱力學(xué)內(nèi)能+推動功（熱力學(xué)能+推動功就是焓）

$Q_{導(dǎo)熱}+Q_{對流}=\Delta_{熱力學(xué)能}+推動功=\Delta H\tag{1}$

4.能量核算硫朦，(導(dǎo)進(jìn)入-導(dǎo)出去=導(dǎo)熱的凈熱量)+（流進(jìn)-流出=對流的凈熱量）=（當(dāng)?shù)乜刂企w的焓變）

以二維對象為例子贷腕，我們已經(jīng)熟悉了導(dǎo)熱的推導(dǎo)，單位時間所以用 $\Phi$ (瓦特)代替Q(焦耳)作為熱流量

用熱流量 $\Phi '$ 的代替 $Q_{導(dǎo)熱}$ ,用 $\Phi ''$ 代替 $Q_{對流}$

4.1導(dǎo)熱

單位時間內(nèi)咬展、沿x方向?qū)肱c導(dǎo)出微元體的凈熱量

$\Phi '_x-\Phi '_{x+dx}=\Phi '_x-(\Phi '_x+\frac{\partial \Phi'_x}{\partial x}\cdot dx)\text{泰勒展開}=-\frac{\partial \Phi'_x}{\partial x}\cdot dx=\lambda\frac{\partial ^2t}{\partial x^2}dxdy \text{(熱導(dǎo)率為常物性)}\tag{2}$

單位時間內(nèi)泽裳、沿y方向?qū)肱c導(dǎo)出微元體的凈熱量(同樣的，就改變一下符號)

$\Phi '_y-\Phi '_{y+dy}=\Phi '_y-(\Phi '_y+\frac{\partial \Phi'_y}{\partial y}\cdot dy)=-\frac{\partial \Phi'_y}{\partial y}\cdot dy=\lambda\frac{\partial ^2t}{\partial y^2}dydx \tag{3}$

x方向和y方向的導(dǎo)熱凈熱量加起來(2)+(3)=(4)

$\Phi_{導(dǎo)熱}=\lambda\frac{\partial ^2t}{\partial x^2}dxdy+\lambda\frac{\partial ^2t}{\partial y^2}dydx\tag{4}$

4.2對流,規(guī)定x方向流速為u破婆，y方向上位v [其中u,v都為(x,y)的函數(shù),為什么涮总？]

001.png

單位時間內(nèi)、沿x方向熱對流傳遞到微元體的凈熱量（傳遞）：

流體進(jìn)來的能量或者是焓變=質(zhì)量流量×熱容×溫度(以絕對零度為基準(zhǔn))
$微元體質(zhì)量流量=密度×體積流量=密度×流速×截面積\\ \therefore M_x=\rho u\cdot dy\cdot 1\\$
$\Phi ''_x=C_p\cdot M_x\cdot t=C_p t\rho udy=\rho C_p(ut)dy\text{(速度場與溫度場耦合)}\tag{5}$
帶出去的,可以用泰勒公式微分表達(dá)
$\Phi ''_{x+dx}=\Phi ''_x+\frac{\partial \Phi''_x}{\partial x}\cdot dx$

流進(jìn)-流出,(5)式帶入上式

$\Phi ''_x-\Phi ''_{x+dx}=\Phi ''_x-(\Phi ''_x+\frac{\partial \Phi''_x}{\partial x}\cdot dx)=-\frac{\partial \Phi''_x}{\partial x}\cdot dx=-\rho C_p\frac{\partial(ut)}{\partial x}dxdy-\tag{6}\text{(密度和比熱是常數(shù))}$

同樣道理祷舀，單位時間內(nèi)瀑梗、沿x方向熱對流傳遞到微元體的凈熱量（傳遞）：

$\Phi ''_y-\Phi ''_{y+dy}=\Phi ''_y-(\Phi ''_y+\frac{\partial \Phi''_y}{\partial y}\cdot dy)=-\frac{\partial \Phi''_y}{\partial y}\cdot dy=-\rho C_p\frac{\partial(vt)}{\partial y}dydx\tag{7}\text{(速度場u替換為v)}$

(6)+(7)就是兩個方向?qū)α鲗?dǎo)入的凈熱量總和

$\Phi_{對流}=-\rho C_p\frac{\partial(ut)}{\partial x}dxdy-\rho C_p\frac{\partial(vt)}{\partial y}dydx\tag{8}$

對比一下(4)式,可以發(fā)現(xiàn)導(dǎo)熱的二階偏導(dǎo)項(xiàng)前面沒有負(fù)號，對流的一階偏導(dǎo)項(xiàng)有負(fù)號,為什么裳扯？

導(dǎo)熱的凈熱量被出去的流體帶走了（假設(shè)是穩(wěn)態(tài)抛丽，沒有非穩(wěn)項(xiàng)與內(nèi)熱源）

$\Phi_{導(dǎo)熱}=\lambda\frac{\partial ^2t}{\partial x^2}dxdy+\lambda\frac{\partial ^2t}{\partial y^2}dydx\tag{4}$

4.3假設(shè)非穩(wěn)，是該控制體嚎朽，單位時間內(nèi)微元體內(nèi)的焓增量 $\Delta H'$ :

質(zhì)量=密度×體積
焓=質(zhì)量×比熱= $\rho \cdot dxdy\cdot C_p \cdot t$
單位時間的變化量
$\frac{\partial(\rho \cdot dxdy\cdot C_p \cdot t)}{\partial \tau}=\rho C_p\frac{\partial t}{\partial \tau}dxdy$
另外一種方式:
$mC_p\frac{\partial t}{\partial \tau}=\rho dxdyC_p\frac{\partial t}{\partial \tau}=\rho C_p\frac{\partial t}{\partial \tau}dxdy\tag{9}$

4.4微元體能力守恒 $\Phi_{導(dǎo)熱}+\Phi_{對流}=\Delta H'$ ,(4)+(8)=(9)

$\require{cancel} \lambda\frac{\partial ^2t}{\partial x^2}\cancel{dxdy}+\lambda\frac{\partial ^2t}{\partial y^2}\cancel{dydx}-\rho C_p\frac{\partial(ut)}{\partial x}\cancel{dxdy}-\rho C_p\frac{\partial(vt)}{\partial y}\cancel{dydx}=\rho C_p\frac{\partial t}{\partial \tau}\cancel{dxdy}$
變形,正負(fù)號移動
$\lambda\frac{\partial ^2t}{\partial x^2}+\lambda\frac{\partial ^2t}{\partial y^2}=\rho C_p\frac{\partial t}{\partial \tau}+\rho C_p\frac{\partial(ut)}{\partial x}+\rho C_p\frac{\partial(vt)}{\partial y}\tag{10}$

4.5微分方程式展開

$\frac{\partial(ut)}{\partial x}+\frac{\partial(vt)}{\partial y}=u\frac{\partial t}{\partial x}+t\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial t}{\partial y}+t\frac{\partial v}{\partial y}\tag{11}$

質(zhì)量流量方程式為 $\frac{\partial \rho}{\partial \tau}+\frac{\partial (\rho u)}{\partial x}+\frac{\partial (\rho v)}{\partial y}=0$

①假設(shè)穩(wěn)態(tài)流動IG $（\frac{\partial \rho}{\partial \tau}=0）$

②連續(xù)性方程铺纽，并且密度不隨空間坐標(biāo)變化

$\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0\tag{12}$

(12)帶入(11)約去兩項(xiàng),將(10)變?yōu)槿缦?/h2>
$\lambda\frac{\partial ^2t}{\partial x^2}+\lambda\frac{\partial ^2t}{\partial y^2}=\rho C_p(\frac{\partial t}{\partial \tau}+u\frac{\partial t}{\partial x}+v\frac{\partial t}{\partial y})\tag{13}$

可以發(fā)現(xiàn)，溫度場的偏微分與速度場耦合!

解動溫度場需要解動量場哟忍，動量場為N-S方程狡门、連續(xù)性方程，在加上對流換熱的偏微分方程锅很，組合如下,done!

5.對流換熱微分方程組

$\begin{cases} \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0\\ F_x-\frac{\partial p}{\partial x}+\eta(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2})=\rho(\frac{\partial u}{\partial \tau}+u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y})\\ F_y-\frac{\partial p}{\partial y}+\eta(\frac{\partial^2 v}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 v}{\partial y^2})=\rho(\frac{\partial v}{\partial \tau}+u\frac{\partial v}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial y})\\ \lambda\frac{\partial ^2t}{\partial x^2}+\lambda\frac{\partial ^2t}{\partial y^2}=\rho C_p(\frac{\partial t}{\partial \tau}+u\frac{\partial t}{\partial x}+v\frac{\partial t}{\partial y})\\ h_x=-\frac{\lambda}{t_w-t_\infty}(\frac{\partial t}{\partial y})_{w,x}\text{(解流場其馏，得到溫度場，得到局部對流換熱系數(shù))} \end{cases}\tag{微分方程組完全體}$

對于體積力爆安，一般為重力場 $F_x=\rho g_x,F_y=\rho g_y$ 一般情況下叛复，沒有電磁力

6.5個方程，5個未知數(shù) $u,v,t,h,p$

方程組僅存在理論可解的可能性扔仓，需要18個定解條件(對于湍流來說褐奥，條件可能不封閉)

最后編輯于：2024.11.12 09:21:00

?著作權(quán)歸作者所有,轉(zhuǎn)載或內(nèi)容合作請聯(lián)系作者

人面猴
序言：七十年代末，一起剝皮案震驚了整個濱河市翘簇，隨后出現(xiàn)的幾起案子撬码，更是在濱河造成了極大的恐慌，老刑警劉巖版保，帶你破解...
沈念sama閱讀 211,639評論 6贊 492
死咒
序言：濱河連續(xù)發(fā)生了三起死亡事件呜笑，死亡現(xiàn)場離奇詭異夫否，居然都是意外死亡，警方通過查閱死者的電腦和手機(jī)叫胁，發(fā)現(xiàn)死者居然都...
沈念sama閱讀 90,277評論 3贊 385
救了他兩次的神仙讓他今天三更去死
文/潘曉璐我一進(jìn)店門凰慈，熙熙樓的掌柜王于貴愁眉苦臉地迎上來，“玉大人驼鹅，你說我怎么就攤上這事微谓。” “怎么了谤民？”我有些...
開封第一講書人閱讀 157,221評論 0贊 348
道士緝兇錄：失蹤的賣姜人
文/不壞的土叔我叫張陵堰酿，是天一觀的道長。經(jīng)常有香客問我张足，道長触创，這世上最難降的妖魔是什么？我笑而不...
開封第一講書人閱讀 56,474評論 1贊 283
?港島之戀（遺憾婚禮）
正文為了忘掉前任为牍，我火速辦了婚禮哼绑，結(jié)果婚禮上，老公的妹妹穿的比我還像新娘碉咆。我一直安慰自己抖韩，他們只是感情好，可當(dāng)我...
茶點(diǎn)故事閱讀 65,570評論 6贊 386
惡毒庶女頂嫁案：這布局不是一般人想出來的
文/花漫我一把揭開白布疫铜。她就那樣靜靜地躺著茂浮，像睡著了一般。火紅的嫁衣襯著肌膚如雪壳咕。梳的紋絲不亂的頭發(fā)上席揽，一...
開封第一講書人閱讀 49,816評論 1贊 290
城市分裂傳說
那天，我揣著相機(jī)與錄音谓厘，去河邊找鬼幌羞。笑死，一個胖子當(dāng)著我的面吹牛竟稳，可吹牛的內(nèi)容都是我干的属桦。我是一名探鬼主播，決...
沈念sama閱讀 38,957評論 3贊 408
雙鴛鴦連環(huán)套：你想象不到人心有多黑
文/蒼蘭香墨我猛地睜開眼他爸，長吁一口氣：“原來是場噩夢啊……” “哼聂宾！你這毒婦竟也來了？” 一聲冷哼從身側(cè)響起诊笤，我...
開封第一講書人閱讀 37,718評論 0贊 266
萬榮殺人案實(shí)錄
序言：老撾萬榮一對情侶失蹤系谐，失蹤者是張志新（化名）和其女友劉穎，沒想到半個月后盏混，有當(dāng)?shù)厝嗽跇淞掷锇l(fā)現(xiàn)了一具尸體蔚鸥，經(jīng)...
沈念sama閱讀 44,176評論 1贊 303
?護(hù)林員之死
正文獨(dú)居荒郊野嶺守林人離奇死亡，尸身上長有42處帶血的膿包…… 初始之章·張勛以下內(nèi)容為張勛視角年9月15日...
茶點(diǎn)故事閱讀 36,511評論 2贊 327
?白月光啟示錄
正文我和宋清朗相戀三年许赃，在試婚紗的時候發(fā)現(xiàn)自己被綠了止喷。大學(xué)時的朋友給我發(fā)了我未婚夫和他白月光在一起吃飯的照片。...
茶點(diǎn)故事閱讀 38,646評論 1贊 340
活死人
序言：一個原本活蹦亂跳的男人離奇死亡混聊，死狀恐怖弹谁，靈堂內(nèi)的尸體忽然破棺而出，到底是詐尸還是另有隱情句喜，我是刑警寧澤预愤，帶...
沈念sama閱讀 34,322評論 4贊 330
?日本核電站爆炸內(nèi)幕
正文年R本政府宣布，位于F島的核電站咳胃，受9級特大地震影響植康，放射性物質(zhì)發(fā)生泄漏。R本人自食惡果不足惜展懈，卻給世界環(huán)境...
茶點(diǎn)故事閱讀 39,934評論 3贊 313
男人毒藥：我在死后第九天來索命
文/蒙蒙一销睁、第九天我趴在偏房一處隱蔽的房頂上張望。院中可真熱鬧存崖，春花似錦冻记、人聲如沸。這莊子的主人今日做“春日...
開封第一講書人閱讀 30,755評論 0贊 21
一樁弒父案冗栗，背后竟有這般陰謀
文/蒼蘭香墨我抬頭看了看天上的太陽。三九已至供搀，卻和暖如春隅居，著一層夾襖步出監(jiān)牢的瞬間，已是汗流浹背趁曼。一陣腳步聲響...
開封第一講書人閱讀 31,987評論 1贊 266
情欲美人皮
我被黑心中介騙來泰國打工军浆，沒想到剛下飛機(jī)就差點(diǎn)兒被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留，地道東北人挡闰。一個月前我還...
沈念sama閱讀 46,358評論 2贊 360
代替公主和親
正文我出身青樓乒融，卻偏偏與公主長得像，于是被迫代替她去往敵國和親摄悯。傳聞我的和親對象是個殘疾皇子赞季，可洞房花燭夜當(dāng)晚...
茶點(diǎn)故事閱讀 43,514評論 2贊 348