對流換熱之動量微分方程——by Tangwei
? ? ? ? ?當(dāng)我們在研究物體對流換熱時胳挎，相應(yīng)的控制方程式不可回避的問題饼疙，也是解決對流換熱之分析解的關(guān)鍵所在。對流換熱過程中串远，溫度場和速度場是相關(guān)聯(lián)的宏多，為了求解溫度場，則又必須先求流體內(nèi)的速度場澡罚。那么伸但，速度場的求解就又涉及到動量微分方程（另一個是連續(xù)性方程），所以這里以三維微元體模型為例對流體動量微分方程進(jìn)行討論留搔。
? ? ? ? 流體的流動是非常復(fù)雜的更胖，如何對其進(jìn)行描述尤為重要。現(xiàn)以微元體模型作為研究對象，討論流體邊界層的運動規(guī)律却妨，通過微元體的受力與動量之間的關(guān)系饵逐，建立此控制體的動量微分方程。
? ? ? ? 運用 牛頓第二定律：F=m·a? ? ? ? ? ?（1）
? ? ? ? 作用于下圖的微元體上彪标，建立等量關(guān)系式倍权。圖中可看出u、v捞烟、w分別表示x薄声、y、z上的速度分量
（1）式中F和a均為向量题画，所以此式是向量關(guān)系默辨。這里以x方向為例，則在x方向的分量：
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??=m·
? ? ? ? ? ? ? (2)
? ? ? ?那么在x方向上苍息，作用在微元體上的力包含哪些缩幸？主要是表面力和體積力這兩個力源。前者包含了如作用于微元體表面的壓力分布和以摩擦方式的則更盈利和切應(yīng)力竞思，后者包含了如重力表谊、電場力、磁場力衙四。
x方向上铃肯，作用于微元體的體積力記作Lx，所以在x方向的體積力分量為：
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?ρLx·dxdydz? ? ? ? ? ? ? (3)
x方向上传蹈，表面力包括了六個面的切應(yīng)力代數(shù)和以及x方向的兩個正應(yīng)力代數(shù)和：
作用于微元體x方向總的力為：
微元體質(zhì)量恒定不變：
? ? ? ?微元體的加速度在x方向上的分量記為ax押逼，我們知道微元體的加速度是速度隨時間的變化率，所以速度隨時間的物質(zhì)導(dǎo)數(shù)為：
但是呢惦界，這個微元體是運動的流體微團(tuán)挑格，所以這里的導(dǎo)數(shù)并不代表空間固定點的流體速度變化，而是代表一個空間中運動的給定的流體微元體之速度變化沾歪。因此這個導(dǎo)數(shù)必與空間固定點有關(guān)漂彤。一個給定的流體微元在 dt 時間內(nèi)的速度變化 du 由兩部分組成：一部分是該空間固定點的流體速度在 dt 時間內(nèi)的變化；另一部分是（在同一瞬間）相距 ds 的兩點的流體速度之差灾搏，這里的 ds是給定流體微元在 dt 時間內(nèi)的位移挫望。
因此，上述前者為：
而后者表示速度變化的那部分為：
由此可知狂窑，微元體的在x方向上的速度物質(zhì)導(dǎo)數(shù)為：
兩邊同除以dt媳板，得到：
由此，我們根據(jù)牛頓第二定律（2）式泉哈，結(jié)合（5）（6）（7）（11）蛉幸，得到：
又因為剪切力等于
其中破讨，λ為第二粘性系數(shù)，等于-μ·2/3
所以最終在x方向的微元體動量微分方程為：
