深入理解計(jì)算機(jī)系統(tǒng)（原書(shū)第3版）- 第2章信息的表示和處理筆記

2.1 信息存儲(chǔ)

1字節(jié)（byte）= 8位（bit）

2.1.1 十六進(jìn)制表示法

十六進(jìn)制（簡(jiǎn)寫(xiě)為"hex"）使用數(shù)字 '0' ~ '9' 以及字符 'A' ~ 'F' 來(lái)表示芽偏。
1 個(gè)十六進(jìn)制數(shù)表示 4 個(gè)二進(jìn)制數(shù)航棱。
當(dāng) x=2ⁿ 時(shí)回懦，很容易將 x 寫(xiě)成十六進(jìn)制形式端辱，x 的二進(jìn)制表示就是 1 后面跟 n 個(gè) 0 。十六進(jìn)制數(shù)字 0 代表 4 個(gè)二進(jìn)制 0。所以想罕，當(dāng) n 表示成 i+4j 的形式疚漆，其中 0 ≦ i ≦ 3，x 開(kāi)頭十六進(jìn)制為1(i=0)僵腺、2(i=1)、4(i=2)、8(i=3)矾芙，后面跟隨 j 個(gè)十六進(jìn)制的 0。

2.1.2 字?jǐn)?shù)據(jù)大小

C聲明	C聲明	字節(jié)數(shù)	字節(jié)數(shù)
有符號(hào)	無(wú)符號(hào)	32位	64位
[signed] char	unsigned char	1	1
short	unsigned short	2	2
int	unsigned	4	4
long	unsigned long	4	8
int32_t	uint32_t	4	4
int64_t	uint64_t	8	8
char *		4	8
float		4	4
double		8	8

2.1.3 尋址和字節(jié)順序

最低有效字節(jié)在最前面的方式近上，為小端法(little endian)剔宪。
最高有效字節(jié)在最前面的方式，為大端法(big endian)——與書(shū)寫(xiě)習(xí)慣一致壹无。

假設(shè)變量 x 的類(lèi)型為 int葱绒，位于地址 0x100 處，它的十六進(jìn)制值為 0x01234567斗锭。地址范圍 0x100?0x103 的字節(jié)順序依賴于機(jī)器的類(lèi)型：
注意地淀，在字 0x01234567 中，高位字節(jié)的十六進(jìn)制值為 0x01岖是，而低位字節(jié)值為 0x67帮毁。

// 判斷大小端
int is_little_endian(void) {
    int i = 0xff;
    unsigned char *p = &i;
    return p[0] == 0xff;
}

2.1.4 表示字符串

C語(yǔ)言中字符串被編碼為一個(gè)以null（其值為0）字符結(jié)尾的字符數(shù)組。
字母 'a' ~ 'z' 的 ASCII 碼為 0x61 ~ 0x7A豺撑。

2.1.5 表示代碼

不同的機(jī)器類(lèi)型使用不同的且不兼容的指令和編碼方式烈疚。

2.1.6 布爾代數(shù)簡(jiǎn)介

1 為 true（真）
0 為 false（假）
圖2-7↓ 布爾代數(shù)的運(yùn)算。二進(jìn)制值 1 和 0 表示邏輯值 TRUE 或者 FALSE 聪轿，而運(yùn)算符 ?爷肝、&、丨和 ^ 分別表示邏輯運(yùn)算 NOT屹电、 AND阶剑、OR 和 EXCLUSIVE-OR

可以將上述 4 個(gè)布爾運(yùn)算擴(kuò)展到位向量的運(yùn)算，位向量就是固定長(zhǎng)度為 W 危号、由 0 和 1 組成的串牧愁。位向量的運(yùn)算可以定義成參數(shù)的每個(gè)對(duì)應(yīng)元素之間的運(yùn)算。
舉個(gè)例子外莲，假設(shè) w=4 猪半，參數(shù) a = [0110] 兔朦，b=[1100]。那么 4 種運(yùn)算a&b磨确、a|b沽甥、a^b 和?b 分別得到以下結(jié)果：

2.1.7 C語(yǔ)言中的位級(jí)運(yùn)算

C的表達(dá)式	二進(jìn)制表達(dá)式	二進(jìn)制結(jié)果	十六進(jìn)制結(jié)果
~0x41	~[0100 0001]	[1011 1110]	0xBE
~0x00	~[0000 0000]	[1111 1111]	0xFF
0x69&0x55	[0110 1001]&[0101 0101]	[0100 0001]	0x41
0x69\|0x55	[0110 1001]\|[0101 0101]	[0111 1101]	0x7D

位級(jí)運(yùn)算的一個(gè)常見(jiàn)用法就是實(shí)現(xiàn)掩碼運(yùn)算骗炉，這里掩碼是一個(gè)為模式照宝，表示從一個(gè)字中選出的位的集合。
如：x = 0x89ABCDEF句葵，x&0xFF = 0x000000EF
表達(dá)式 ~0 將生成一個(gè)全 1 的掩碼厕鹃，不管機(jī)器的字大小是多少。

2.1.8 C語(yǔ)言中的邏輯運(yùn)算

|| OR 或
&& AND 與
! NOT 非

表達(dá)式	結(jié)果
!0x41	0x00
!0x00	0x01
!!0x41	0x01
0x69&&0x55	0x01
0x69\|\|0x55	0x01

如果對(duì)第一個(gè)參數(shù)求值就能確定表達(dá)式的結(jié)果乍丈，那么邏輯運(yùn)算符就不會(huì)對(duì)第二個(gè)參數(shù)求值剂碴。

2.1.9 C語(yǔ)言中的位移運(yùn)算

左移：x<<k，x向左移動(dòng)k位诗赌，丟棄最高的k位汗茄，并在右端補(bǔ)k個(gè)0。移位量應(yīng)該是一個(gè)0~w-1之間的值铭若。
邏輯右移：x>>k洪碳，在左端補(bǔ)k個(gè)0。
算術(shù)右移：x>>k叼屠，在左端補(bǔ)k個(gè)最高有效位的值瞳腌。

2.2 整數(shù)表示

數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)
下標(biāo)w表示數(shù)據(jù)表示中的位數(shù)

符號(hào)	類(lèi)型	含義
$B2T_w$	函數(shù)	二進(jìn)制轉(zhuǎn)補(bǔ)碼
$B2U_w$	函數(shù)	二進(jìn)制轉(zhuǎn)無(wú)符號(hào)數(shù)
$U2B_w$	函數(shù)	無(wú)符號(hào)數(shù)轉(zhuǎn)二進(jìn)制
$U2T_w$	函數(shù)	無(wú)符號(hào)轉(zhuǎn)補(bǔ)碼
$T2B_w$	函數(shù)	補(bǔ)碼轉(zhuǎn)二進(jìn)制
$T2U_w$	函數(shù)	補(bǔ)碼轉(zhuǎn)無(wú)符號(hào)數(shù)
$TMin_w$	常數(shù)	最小補(bǔ)碼值
$TMax_w$	常數(shù)	最大補(bǔ)碼值
$UMax_w$	常數(shù)	最大無(wú)符號(hào)數(shù)
$+_w^t$	操作	補(bǔ)碼加法
$+_w^u$	操作	無(wú)符號(hào)數(shù)加法
$*_w^t$	操作	補(bǔ)碼乘法
$*_w^u$	操作	無(wú)符號(hào)數(shù)乘法
$-_w^t$	操作	補(bǔ)碼取反
$-_w^u$	操作	無(wú)符號(hào)數(shù)取反

2.2.1 整型數(shù)據(jù)類(lèi)型

32位程序上C語(yǔ)言整型數(shù)據(jù)類(lèi)型的典型取值范圍

C數(shù)據(jù)類(lèi)型	最小值	最大值
[signed]char	-128	127
unsigned char	0	255
short	-32 768	32 767
unsigned short	0	65 535
int	-2 147 483 648	2 147 483 647
unsigned	0	4 294 967 295
long	-2 147 483 648	2 147 483 647
unsigned long	0	4 294 967 295
int32_t	-2 147 483 648	2 147 483 647
uint32_t	0	4 294 967 295
int64_t	-9 223 372 036 854 775 808	9 223 372 036 854 775 807
uint_64_t	0	18 446 744 073 709 551 615

64位程序上C語(yǔ)言整型數(shù)據(jù)類(lèi)型的典型取值范圍

C數(shù)據(jù)類(lèi)型	最小值	最大值
[signed]char	-128	127
unsigned char	0	255
short	-32 768	32 767
unsigned short	0	65 535
int	-2 147 483 648	2 147 483 647
unsigned	0	4 294 967 295
long	-9 223 372 036 854 775 808	9 223 372 036 854 775 807
unsigned long	0	18 446 744 073 709 551 615
int32_t	-2 147 483 648	2 147 483 647
uint32_t	0	4 294 967 295
int64_t	-9 223 372 036 854 775 808	9 223 372 036 854 775 807
uint_64_t	0	18 446 744 073 709 551 615

C語(yǔ)言的整型數(shù)據(jù)類(lèi)型的保證的取值范圍

C數(shù)據(jù)類(lèi)型	最小值	最大值
[signed]char	-127	127
unsigned char	0	255
short	-32 767	32 767
unsigned short	0	65 535
int	-32 767	32 767
unsigned	0	65 535
long	-2 147 483 647	2 147 483 647
unsigned long	0	4 294 967 295
int32_t	-2 147 483 648	2 147 483 647
uint32_t	0	4 294 967 295
int64_t	-9 223 372 036 854 775 808	9 223 372 036 854 775 807
uint_64_t	0	18 446 744 073 709 551 615

2.2.2 無(wú)符號(hào)數(shù)的編碼

無(wú)符號(hào)數(shù)編碼的定義
對(duì)向量 $\vec{x}=[x_{w-1},x_{w-2},...,x_0]:$
$B2U_w(\vec{x}) \doteq \sum_{i=0}^{w-1}x_i2^i$

$B2U_4([0001]) = 0 · 2^3 + 0 · 2^2 + 0 · 2^1 + 1 · 2^0 = 0 + 0 + 0 + 1 = 1$
$B2U_4([0101]) = 0 · 2^3 + 1 · 2^2 + 0 · 2^1 + 1 · 2^0 = 0 + 4 + 0 + 1 = 5$
$B2U_4([1011]) = 1 · 2^3 + 0 · 2^2 + 1 · 2^1 + 1 · 2^0 = 8 + 0 + 2 + 1 = 11$
$B2U_4([1111]) = 1 · 2^3 + 1 · 2^2 + 1 · 2^1 + 1 · 2^0 = 8 + 4 + 2 + 1 = 15$

最大值是用位向量[11...1]表示
$UMax_w \doteq \sum_{i=0}^{w-1}2^i = 2^w - 1$
以4位情況為例，
$UMax_4 = B2U_4([1111]) = 2^4 - 1 = 15$

2.2.3 補(bǔ)碼編碼

補(bǔ)碼編碼的定義
對(duì)向量 $\vec{x}=[x_{w-1},x_{w-2},...,x_0]:$
$B2T_w(\vec{x}) \doteq -x_{w-1}2^{w-1}+ \sum_{i=0}^{w-2}x_i2^i$

$B2T_4([0001]) = - 0 · 2^3 + 0 · 2^2 + 0 · 2^1 + 1 · 2^0 = 0 + 0 + 0 + 1 = 1$
$B2T_4([0101]) = - 0 · 2^3 + 1 · 2^2 + 0 · 2^1 + 1 · 2^0 = 0 + 4 + 0 + 1 = 5$
$B2T_4([1011]) = - 1 · 2^3 + 0 · 2^2 + 1 · 2^1 + 1 · 2^0 = - 8 + 0 + 2 + 1 = - 5$
$B2T_4([1111]) = - 1 · 2^3 + 1 · 2^2 + 1 · 2^1 + 1 · 2^0 = - 8 + 4 + 2 + 1 = - 1$

最小值是用位向量[10...0]表示
（也就是設(shè)置這個(gè)位為負(fù)權(quán)镜雨，但是清除其他所有的位）
$TMin_w \doteq -2^{w-1}$
以4位情況為例嫂侍，
$TMin_4 = B2T_4([1000]) = -2^3 = -8$

最大值是用位向量[01...1]表示
（清除具有負(fù)權(quán)的位，而設(shè)置其他所有的位）
$TMax_w \doteq \sum_{i=0}^{w-2}2^i = 2^{w-1} - 1$
以4位情況為例荚坞，
$TMax_4 = B2T_4([0111]) = 2^2 + 2^1 + 2^0 = 4 + 2 + 1 = 7$

注意：
1挑宠、補(bǔ)碼的范圍是不對(duì)稱的：|TMin| = |TMax| + 1 ，也就是說(shuō)颓影，TMin沒(méi)有與之對(duì)應(yīng)的正數(shù)各淀。
2、最大的無(wú)符號(hào)數(shù)值剛好比補(bǔ)碼的最大值的兩倍大一點(diǎn)： $UMax_w = 2TMax_w + 1$
3诡挂、-1 和 UMax 有同樣的位表示——一個(gè)全 1 的串碎浇，數(shù)值 0 在兩種表示方式中都是全 0 的串临谱。

2.2.4 有符號(hào)數(shù)和無(wú)符號(hào)數(shù)之間的轉(zhuǎn)換

補(bǔ)碼轉(zhuǎn)換為無(wú)符號(hào)數(shù)

對(duì)滿足 $TMin_w \leq x \leq TMax_w$ 的 $x$ 有：
$T2U_w (x)=\begin{cases} x + 2^w ,\quad x < 0 \\ x,\qquad\quad\ x \geq 0 \end{cases}$
比如， $T2U_w(-12345)=-12345+2^{16}=53191$ 奴璃，同時(shí) $T2U_w(-1)=-1+2^w=UMax_w$

推導(dǎo)：補(bǔ)碼轉(zhuǎn)換為無(wú)符號(hào)數(shù)
$B2U_w(T2B_w(x))=T2U_w(x)=x+x_{w-1}2^w$
根據(jù)上個(gè)公式的兩種情況悉默，在 $x$ 的補(bǔ)碼表示中，位 $x_{w-1}$ 決定了 $x$ 是否為負(fù)苟穆。

無(wú)符號(hào)數(shù)轉(zhuǎn)換為補(bǔ)碼
對(duì)滿足 $0 \leq x \leq UMax_w$ 的 $\ u\$ 有：
$U2T_w (u)=\begin{cases} u ,\qquad\quad\ u \leq TMax_w \\ u-2^w ,\quad u > TMax_w \end{cases}$

推導(dǎo)：無(wú)符號(hào)數(shù)轉(zhuǎn)換為補(bǔ)碼
$U2T_w(u)=-u_{w-1}2^w+u$
在u的無(wú)符號(hào)表示中抄课，對(duì)上個(gè)公式的兩種情況來(lái)說(shuō)，位 $u_{w-1}$ 決定了 u 是否大于 $TMax_w=2^{w-1}-1$

2.2.5 C語(yǔ)言中的有符號(hào)數(shù)與無(wú)符號(hào)數(shù)

C語(yǔ)言支持所有整型數(shù)據(jù)類(lèi)型的有符號(hào)和無(wú)符號(hào)運(yùn)算雳旅。盡管C語(yǔ)言標(biāo)準(zhǔn)沒(méi)有指定有符號(hào)數(shù)要采用某種表示，但是幾乎所有機(jī)器都使用補(bǔ)碼岭辣。通常，大多數(shù)數(shù)字都默認(rèn)為是有符號(hào)的甸饱。要?jiǎng)?chuàng)建一個(gè)無(wú)符號(hào)常量沦童，必須加上后綴字符 'U' 或者 'u' 。
C語(yǔ)言無(wú)符號(hào)數(shù)和有符號(hào)數(shù)之間的轉(zhuǎn)換叹话，一般原則是底層的位表示保持不變偷遗。
當(dāng)執(zhí)行一個(gè)運(yùn)算時(shí)，如果它的一個(gè)運(yùn)算數(shù)是有符號(hào)的而另一個(gè)是無(wú)符號(hào)的驼壶，那么C語(yǔ)言會(huì)隱式地將有符號(hào)參數(shù)強(qiáng)制類(lèi)型轉(zhuǎn)換為無(wú)符號(hào)數(shù)氏豌，并假設(shè)這兩個(gè)數(shù)都是非負(fù)的，來(lái)執(zhí)行這個(gè)運(yùn)算热凹。
C語(yǔ)言中TMin的寫(xiě)法
定義在頭文件 limits.h 中

#define INT_MAX 2147483647
#define INT_MIN (-INT_MAX - 1)

2.2.6 擴(kuò)展一個(gè)數(shù)字的位表示

要將一個(gè)無(wú)符號(hào)數(shù)轉(zhuǎn)換為一個(gè)更大的數(shù)據(jù)類(lèi)型泵喘，在開(kāi)頭添加0，這種運(yùn)算被稱為零擴(kuò)展(zero extension)般妙。
要將一個(gè)補(bǔ)碼數(shù)字轉(zhuǎn)換為一個(gè)更大的數(shù)據(jù)類(lèi)型纪铺，可以執(zhí)行一個(gè)符號(hào)擴(kuò)展(sign extension)，在表示中添加最高有效位的值碟渺。

2.2.7 截?cái)鄶?shù)字

無(wú)符號(hào)數(shù)的截?cái)嘟Y(jié)果是：
$B2U_k[x_{k-1},x_{k-2},...,x_0]=B2U_w([x_{w-1},x_{w-2},...,x_0])\ mod\ 2^k$
補(bǔ)碼數(shù)字的截?cái)嘟Y(jié)果是：
$B2T_k[x_{k-1},x_{k-2},...,x_0]=U2T_k(B2U_w([x_{w-1},x_{w-2},...,x_0]))\ mod\ 2^k$

2.2.8 關(guān)于有符號(hào)數(shù)與無(wú)符號(hào)數(shù)的建議

有符號(hào)數(shù)到無(wú)符號(hào)數(shù)的隱式轉(zhuǎn)換鲜锚，是會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤或者漏洞的方式，避免這類(lèi)錯(cuò)誤的一種方法就是絕不使用無(wú)符號(hào)數(shù)苫拍。

2.3 整數(shù)運(yùn)算

2.3.1 無(wú)符號(hào)加法

將操作 $+_w^u$ 描述為無(wú)符號(hào)數(shù)加法
對(duì)滿足 $0 \leq x芜繁，y \leq 2^w$ 的 $\ x\$ 和 $\ y\$ 有：
$x+_w^uy=\begin{cases} x+y ,\qquad\quad\ x+y<2^w \qquad\qquad\ 正常 \\ x+y-2^w ,\quad 2^w \leq x+y \leq 2^{w+1} \quad 溢出 \end{cases}$

檢測(cè)無(wú)符號(hào)數(shù)加法中的溢出
對(duì)在范圍 $0 \leq x，y \leq UMax_w$ 中的 $\ x\$ 和 $\ y\$ 绒极，令 $s \doteq x+_w^uy$ 骏令。則對(duì)計(jì)算 $s$ ，當(dāng)且僅當(dāng) $s < x$ （或者等價(jià)地 $s < y$ ）時(shí),發(fā)生了溢出集峦。

阿貝爾群
每個(gè)元素有一個(gè)加法逆元伏社】俅蹋考慮 w 位的無(wú)符號(hào)數(shù)的集合，執(zhí)行加法運(yùn)算 $+_w^u$ 摘昌。對(duì)于每個(gè)值 x速妖，必然有某個(gè)值 $-_w^ux$ 滿足 $-_w^ux+_w^ux=0$ 。
無(wú)符號(hào)數(shù)求反
對(duì)滿足 $0 \leq x < 2^w$ 的任意 $x$ 聪黎，其 $w$ 位的無(wú)符號(hào)逆元 $-_w^ux$ 由下式給出：
$-_w^ux =\begin{cases} x ,\qquad\quad\ x=0 \\ 2^w - x ,\quad x>0 \end{cases}$

2.3.2 補(bǔ)碼加法

對(duì)滿足 $-2^{w-1} \leq x,y \leq 2^{w-1}-1$ 之內(nèi)的整數(shù) $x$ 和 $y$ 罕容，有：
$x+_w^ty =\begin{cases} x + y - 2^w ,\quad 2^{w-1} \leq x + y \qquad\qquad\ \ \ 正溢出 \\ x + y ,\qquad\quad -2^{w-1} \leq x + y \leq 2^{w-1} \quad 正常 \\ x + y + 2^w ,\quad x + y < -2^{w-1} \qquad\qquad 負(fù)溢出 \end{cases}$

兩個(gè)數(shù)的 $w$ 位補(bǔ)碼之和有完全相同的位級(jí)表示。我們可以按如下步驟表示運(yùn)算 $+_w^t$ ：將其參數(shù)轉(zhuǎn)換為無(wú)符號(hào)數(shù)稿饰，執(zhí)行無(wú)符號(hào)數(shù)加法锦秒，再將結(jié)果轉(zhuǎn)換為補(bǔ)碼：
$x+_w^ty \doteq U2T_w(T2U_w(x)+_w^uT2U_w(y))$

檢測(cè)補(bǔ)碼加法中的溢出
對(duì)滿足 $TMin_w \leq x，y \leq TMax_w$ 的 $x$ 和 $y$ 喉镰，令 $s \doteq x +_w^t y$ 旅择。當(dāng)且僅當(dāng) $x>0，y>0$ 侣姆，但 $s \leq 0$ 時(shí)生真，計(jì)算 $s$ 發(fā)生了正溢出。當(dāng)且僅當(dāng) $x<0捺宗，y<0$ 柱蟀，但 $s \geq 0$ 時(shí)，計(jì)算 $s$ 發(fā)生了負(fù)溢出蚜厉。

2.3.3 補(bǔ)碼的非

可以看到范圍在 $TMin_w \leq x \leq TMax_w$ 中的每個(gè)數(shù)字 $x$ 都有 $+_w^t$ 下的加法逆元长已，我們將 $-_w^tx$ 表示如下：
對(duì)滿足 $TMin_w \leq x \leq TMax_w$ 的 $x$ ，其補(bǔ)碼的非 $-_w^t$ 由下式給出
$-_w^tx =\begin{cases} TMin_w ,\quad x=TMin_w \\ -x ,\qquad\quad x>TMin_w \end{cases}$
也就是說(shuō)昼牛，對(duì) $w$ 位的補(bǔ)碼加法來(lái)說(shuō)术瓮， $TMin_w$ 是自己的加法的逆，而對(duì)其他任何數(shù)值 $x$ 都有 $-x$ 作為其加法的逆贰健。

補(bǔ)碼非的位級(jí)表示
計(jì)算一個(gè)位級(jí)表示的值的補(bǔ)碼非有幾種聰明的方法斤斧。
1、執(zhí)行位級(jí)補(bǔ)碼非的第一種方法是對(duì)每一位求補(bǔ)霎烙，再對(duì)結(jié)果加1撬讽。在C語(yǔ)言中，我們可以說(shuō)悬垃，對(duì)于任意整數(shù)值 x 游昼，計(jì)算表達(dá)式 -x 和 ~x+1 得到的結(jié)果完全一樣。
2尝蠕、計(jì)算一個(gè)數(shù) x 的補(bǔ)碼非的第二種方法是建立在將位向量分為兩部分的基礎(chǔ)之上的烘豌。假設(shè) $k$ 是最右邊的 1 的位置，因而 $x$ 的位級(jí)表示形如 $[x_{w-1},x_{w-2},...,x_{k+1},1,0,...,0]$ 看彼。(只要 $x \ne 0$ 就能夠找到這樣的 $k$ 廊佩。）這個(gè)值的非寫(xiě)成二進(jìn)制格式就是 $[~x_{w-1},~x_{w-2},...,~x_{k+1},1,0,...,0]$ 囚聚。也就是，我們對(duì)位 $k$ 左邊的所有位取反标锄。

2.3.4 無(wú)符號(hào)乘法

對(duì)滿足 $0 \leq x,y \leq UMax_w$ 的 $x$ 和 $y$ 有：
$x *_w^u y = (x \cdot y) \ mod\ 2^w$

2.3.5 補(bǔ)碼乘法

對(duì)滿足 $TMin_w \leq x,y \leq TMax_w$ 的 $x$ 和 $y$ 有：
$x *_w^t y = U2T_w((x \cdot y) \ mod\ 2^w)$
對(duì)于無(wú)符號(hào)和補(bǔ)碼乘法來(lái)說(shuō)顽铸，乘法運(yùn)算的位級(jí)表示都是一樣的。

2.3.6 乘以常數(shù)

乘以 2 的冪
設(shè) $x$ 為位模式 $[x_{w-1},x_{w-2},...,x_0]$ 表示的無(wú)符號(hào)整數(shù)料皇。那么谓松，對(duì)于任何 $k \geq 0$ ，我們都認(rèn)為 $[x_{w-1},x_{w-2},...,x_0,0,...,0]$ 給出了 $x2^k$ 的 $w + k$ 位的無(wú)符號(hào)表示践剂，這里右邊增加了 $k$ 個(gè) 0 鬼譬。

與 2 的冪相乘的無(wú)符號(hào)乘法
C 變量 x 和 k 有無(wú)符號(hào)數(shù)值 $x$ 和 $k$ ，且 $0 \leq k < w$ 逊脯，則 C 表達(dá)式 x<<k 產(chǎn)生數(shù)值 $x *_w^u 2^k$ 优质。

與 2 的冪相乘的補(bǔ)碼乘法
C 變量 x 和 k 有補(bǔ)碼值 $x$ 和無(wú)符號(hào)數(shù)值 $k$ ，且 $0 \leq k < w$ 军洼，則 C 表達(dá)式 x<<k 產(chǎn)生數(shù)值 $x *_w^t 2^k$ 盆赤。

由于整數(shù)乘法比移位和加法的代價(jià)要大得多，許多 C 語(yǔ)言編譯器試圖以移位歉眷、加法和減法的組合來(lái)消除很多整數(shù)乘以常數(shù)的情況。
對(duì)于某個(gè)常數(shù) K 的表達(dá)式 x * K 生成代碼颤枪。編譯器會(huì)將 K 的二進(jìn)制表示表達(dá)為一組 0 和 1 交替的序列：
$[(0...0)(1...1)(0...0)...(1...1)]$
考慮一組從位位置 n 到位位置 m 的連續(xù)的 1(n $\geq$ m)汗捡。我們可以用下面兩種不同形式中的一種來(lái)計(jì)算這些位對(duì)乘積的影響：
形式A：(x<<n)+(x<<(n-1)+...+(x<<m)
形式B：(x<<(n+1))-(x<<m)
把每個(gè)這樣連續(xù)的 1 的結(jié)果加起來(lái)，不用做任何乘法畏纲，我們就能計(jì)算出 x * K 扇住。

2.3.7 除以 2 的冪

整數(shù)除法要比整數(shù)乘法更慢。除以 2 的冪也可以用移位運(yùn)算來(lái)實(shí)現(xiàn)盗胀。無(wú)符號(hào)和補(bǔ)碼數(shù)分別使用邏輯移位和算術(shù)移位來(lái)達(dá)到目的艘蹋。
整數(shù)除法總是舍入到零。它將 $\lfloor$ 向下 $\rfloor$ 舍入一個(gè)正值票灰，而 $\lceil$ 向上 $\rceil$ 舍入一個(gè)負(fù)值女阀。
除以 2 的冪的無(wú)符號(hào)除法
C 變量 x 和 k 有無(wú)符號(hào)數(shù)值 $x$ 和 $k$ ，且 $0 \leq k < w$ 屑迂，則 C 表達(dá)式 x >> k 產(chǎn)生數(shù)值 $\lfloor x/2^k \rfloor$ 浸策。

除以 2 的冪的補(bǔ)碼除法，向下舍入
C 變量 x 和 k 有補(bǔ)碼值 $x$ 和無(wú)符號(hào)數(shù)值 $k$ 惹盼，且 $0 \leq k < w$ 庸汗，則當(dāng)執(zhí)行算術(shù)位移時(shí)， C 表達(dá)式 x >> k 產(chǎn)生數(shù)值 $\lfloor x/2^k \rfloor$ 手报。
對(duì)于負(fù)數(shù)來(lái)說(shuō)蚯舱，向下舍入結(jié)果會(huì)有偏差改化。

除以 2 的冪的補(bǔ)碼除法，向上舍入
C 變量 x 和 k 有補(bǔ)碼值 $x$ 和無(wú)符號(hào)數(shù)值 $k$ 枉昏，且 $0 \leq k < w$ 陈肛，則當(dāng)執(zhí)行算術(shù)位移時(shí)， C 表達(dá)式 (x+(1<<k)-1) >> k 產(chǎn)生數(shù)值 $\lfloor x/2^k \rfloor$ 凶掰。

2.3.8 關(guān)于整數(shù)運(yùn)算的最后思考

計(jì)算機(jī)執(zhí)行的“整數(shù)”運(yùn)算實(shí)際上是一種模運(yùn)算形式燥爷。
表示數(shù)字的有限字長(zhǎng)限制了可能的值的取值范圍，結(jié)果運(yùn)算可能溢出懦窘。
補(bǔ)碼表示提供了一種既能表示負(fù)數(shù)也能表示正數(shù)的靈活方法前翎，同時(shí)使用了與執(zhí)行無(wú)符號(hào)算術(shù)相同的位級(jí)實(shí)現(xiàn)。
無(wú)論運(yùn)算數(shù)是以無(wú)符號(hào)形式還是以補(bǔ)碼形式表示的畅涂，都有完全一樣或者類(lèi)似的位級(jí)行為港华。

2.4 浮點(diǎn)數(shù)

浮點(diǎn)表示對(duì)形如 $V = x \times 2^y$ 的有理數(shù)進(jìn)行編碼。它對(duì)執(zhí)行涉及非常大的數(shù)字(|V|>>0)午衰、非常接近于0(|V|<<1)的數(shù)字立宜，以及更普遍地作為實(shí)數(shù)運(yùn)算的近似值的計(jì)算，是很有用的臊岸。

2.4.1 二進(jìn)制小數(shù)

形如 $b_mb_{m-1}...b_1b_0.b_{-1}b_{-2}...b_{-n+1}b_{-n}$ 的表示法橙数，其中每個(gè)二進(jìn)制數(shù)字滥朱，或者稱為位衡招， $b_i$ 的取值范圍是 0 和 1 ，這種表示方法表示的數(shù) b 定義如下：
$b = \sum_{i=-n}^{m}s^i \times b_i$
點(diǎn)左邊的位的權(quán)是 2 的正冪擎椰，點(diǎn)右邊的位的權(quán)是 2 的負(fù)冪逻住。
例如钟哥， $101.11_2$ 表示數(shù)字 $1 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 1 \times 2^0 + 1 \times 2^{-1} + 1 \times 2^{-2}$ = $4 + 0 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = 5 \frac{3}{4}$
形如 $0.11...1_2$ 的數(shù)表示的是剛好小于 1 的數(shù)。例如瞎访， $0.111111_2$ 表示 $\frac{63}{64}$ 腻贰，我們將用簡(jiǎn)單的表達(dá)法 $1.0-\varepsilon$ 來(lái)表示這樣的數(shù)值。
定點(diǎn)表示法不能很有效的表示非常大的數(shù)字扒秸。

2.4.2 IEEE 浮點(diǎn)表示

IEEE浮點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)用 $V = (-1)^s \times M \times 2^E$ 的形式來(lái)表示一個(gè)數(shù)：

符號(hào)（sign） $s$ 決定這數(shù)是負(fù)數(shù)（ $s=1$ ）還是正數(shù)（ $s=0$ ）播演，而對(duì)于數(shù)值 $0$ 的符號(hào)位解釋作為特殊情況處理。
尾數(shù)（significand） $M$ 是一個(gè)二進(jìn)制小數(shù)伴奥，它的范圍是 $1 \sim 2-\varepsilon$ 宾巍，或者是 $0 \sim 1-\varepsilon$ 。
階碼（exponent） $E$ 的作用是對(duì)浮點(diǎn)數(shù)加權(quán)渔伯，這個(gè)權(quán)重是 $2$ 的 $E$ 次冪（可能是負(fù)數(shù)）顶霞。

將浮點(diǎn)數(shù)的位表示劃分為三個(gè)字段，分別對(duì)這些值進(jìn)行編碼：

一個(gè)單獨(dú)的符號(hào)位 $s$ 直接編碼符號(hào) $s$ 。
$k$ 位的階碼字段 $exp = e_{k-1}...e_1e_0$ 編碼階碼 $E$ 选浑。
$n$ 位小數(shù)字段 $frac = f_{n-1}...f_1f_0$ 編碼尾數(shù) $M$ 蓝厌，但是編碼出來(lái)的值也依賴于階碼字段的值是否等于 0 。

在單精度浮點(diǎn)格式（C 語(yǔ)言中的 float）中古徒，s拓提、exp 和 frac 字段分別為 $1$ 位、 $k=8$ 位和 $n=23$ 位隧膘，得到一個(gè) 32 位的表示代态。
在雙精度浮點(diǎn)格式（C 語(yǔ)言中的 double）中，s疹吃、exp 和 frac 字段分別為 $1$ 位蹦疑、 $k=11$ 位和 $n=52$ 位，得到一個(gè) 64 位的表示萨驶。

給定位表示歉摧，根據(jù) exp 的值，被編碼的值可以分成三種不同的情況（最后一種情況有兩個(gè)變種）腔呜。圖 2-33 說(shuō)明了對(duì)單精度格式的情況叁温。

情況1：規(guī)格化的值
當(dāng) exp 階碼域的位模式既不全為 0，也不全為 1 時(shí)核畴。
階碼字段被解釋為以偏置（biased）形式表示的有符號(hào)整數(shù)膝但。階碼的值是，其中 e 是無(wú)符號(hào)數(shù)谤草，Bias 是一個(gè)等于（單精度是127跟束，雙精度是1023）的偏置值。
小數(shù)字段 frac 被解釋為描述小數(shù)值咖刃，其中，其二進(jìn)制表示為憾筏，也就是二進(jìn)制小數(shù)點(diǎn)在最高有效位的左邊嚎杨。
尾數(shù)定義為。這種方式叫做隱含的以 1 開(kāi)頭的（implied leading 1）表示氧腰，因?yàn)榭梢园? 看成一個(gè)二進(jìn)制表達(dá)式為的數(shù)字枫浙。

情況2：非規(guī)格化的值
當(dāng) exp 階碼域?yàn)槿?0 時(shí)，所表示的數(shù)是非規(guī)格化形式古拴。
階碼值是 $E = 1 - Bias$
尾數(shù)的值是 $M = f$ 箩帚，也就是小數(shù)字段的值，不包含隱含的開(kāi)頭的1黄痪。
非規(guī)格化數(shù)有兩個(gè)用途：
1.提供了一種表示數(shù)值 0 的方法紧帕。
2.表示那些非常接近于 0.0 的數(shù)。

情況3：特殊值
當(dāng) exp 階碼域全為 1時(shí)，表示特殊值是嗜。
當(dāng)小數(shù)域全為 0 時(shí)愈案，得到的值表示無(wú)窮。當(dāng) s=0 時(shí)是 $+\infty$ 鹅搪，或者當(dāng) s=1 時(shí)是 $-\infty$ 站绪。
當(dāng)小數(shù)域?yàn)榉橇銜r(shí)，結(jié)果值被稱為 “NaN”丽柿，即“不是一個(gè)數(shù)（Not a Number）”的縮寫(xiě)恢准。

2.4.3 數(shù)字示例

圖 2-35 展示了假定的 8 位浮點(diǎn)格式的示例，其中有 $k=4$ 的階碼位和 $n=3$ 的小數(shù)位甫题。偏置量是 $2^{4-1}-1=7$ 馁筐。

可以觀察到最大非規(guī)格化數(shù) 和最小規(guī)格化數(shù) 之間的平滑轉(zhuǎn)變。這種平滑性歸功于我們對(duì)非規(guī)格化數(shù)的 E 的定義幔睬。通過(guò)將 E 定義為 1 - Bias 眯漩，而不是 -Bias ，我們可以補(bǔ)償非規(guī)格化數(shù)的尾數(shù)沒(méi)有隱含的開(kāi)頭的 1麻顶。
假如我們將圖 2-35 中的值的位表達(dá)式解釋為無(wú)符號(hào)整數(shù)赦抖，它們就是按升序排列的，就像它們表示的浮點(diǎn)數(shù)一樣辅肾。這不是偶然的——IEEE格式如此設(shè)計(jì)就是為了浮點(diǎn)數(shù)能夠使用整數(shù)排序函數(shù)來(lái)進(jìn)行排序队萤。

圖 2-36 展示了一些重要的單精度和雙精度浮點(diǎn)數(shù)的表示和數(shù)字值。依據(jù)圖 2-35 中展示的 8 位格式矫钓，我們能夠看出有 k 位階碼和 n 位小數(shù)的浮點(diǎn)表示的一般屬性要尔。

值 +0.0 總有一個(gè)全為 0 的位表示。
最小的正非規(guī)格化值的位表示新娜，是由最低有效位為 1 而其他所有位為 0 構(gòu)成的赵辕。它具有小數(shù)（和尾數(shù)）值 $M = f = 2^{-n}$ 和階碼值 $E = -2^{k-1} + 2$ 。因此它的數(shù)字值是 $V = 2^{-n-2^{k-1}+2}$ 概龄。
最大的非規(guī)格化值的位模式是由全為 0 的階碼字段和全為 1 的小數(shù)字段組成的还惠。它有小數(shù)（和尾數(shù)）值 $M = f = 1 - 2^{-n}$ （我們寫(xiě)成 $1 - \varepsilon$ ）和階碼值 $E = -2^{k-1}+2$ 。因此私杜，數(shù)值 $V = (1 - 2^{-n}) \times 2^{-2^{k-1}+2}$ 蚕键，這僅比最小的規(guī)格化值小一點(diǎn)。
最小的正規(guī)格化值的位模式的階碼字段的最低有效位為 1 衰粹，其他位全為 0 锣光。它的尾數(shù)值 $M=1$ ，而階碼值 $E=-2^{k-1}+2$ 铝耻。因此誊爹，數(shù)值 $V = 2^{-2^{k-1}+2}$ 。
值 1.0 的位表示的階碼字段除了最高有效位等于 0 以外，其他位都等于 1替废。它的尾數(shù)值是 $M=1$ 箍铭，而它的階碼值是 $E=0$ 。
最大的規(guī)格化值的位表示的符號(hào)位為 0椎镣，階碼的最低有效位等于 0诈火，其他位等于 1。它的小數(shù)值 $f=1-2^{-n}$ 状答，尾數(shù) $M=2-2^{-n}$ （我們寫(xiě)作 $2-\varepsilon$ ）冷守。它的階碼值 $E=2^{k-1}-1$ ，得到數(shù)值 $V=(2-2^{-n}) \times 2^{2^{k-1}-1} = (1-2^{-n-1} \times 2^{2^{k-1}})$

整數(shù)值轉(zhuǎn)換成浮點(diǎn)形式惊科，相關(guān)的區(qū)域?qū)?yīng)于整數(shù)的低位拍摇，剛好在等于 1 的最高有效位之前停止（這個(gè)位就是隱含的開(kāi)頭的位 1），和浮點(diǎn)表示的小數(shù)部分的高位是相匹配的馆截。

2.4.4 舍入

因?yàn)楸硎痉椒ㄏ拗屏烁↑c(diǎn)數(shù)的范圍和精度充活，所以浮點(diǎn)運(yùn)算只能近似地表示實(shí)數(shù)運(yùn)算。因此蜡娶，對(duì)于值x混卵，能夠找到“最接近的”匹配值x'，它可以用期望的浮點(diǎn)形式表示出來(lái)窖张。這就是舍入（rounding）運(yùn)算的任務(wù)幕随。

舍入方式有四種：

方式	1.40	1.60	1.50	2.50	-1.50
向偶數(shù)舍入	1	2	2	2	-2
向零舍入	1	1	1	2	-1
向下舍入	1	1	1	2	-2
向上舍入	2	2	2	3	-1

向偶數(shù)舍入是舍入到一個(gè)最接近的值。

2.4.5 浮點(diǎn)運(yùn)算

浮點(diǎn)加法不具有結(jié)合性宿接，例如赘淮，使用單精度浮點(diǎn)，表達(dá)式 (3.14+1e10)-1e10 求值得到 0.0 —— 因?yàn)樯崛肽丽?3.14 會(huì)丟失梢卸。表達(dá)式 3.14+(1e10-1e10) 得出值 3.14。
浮點(diǎn)加法滿足了單調(diào)性屬性：如果 $a \geq b$ 副女，那么對(duì)于任何 a蛤高、b 以及 x 的值，除了 NaN肮塞，都有 $x+a \geq x+b$ 襟齿。無(wú)符號(hào)或補(bǔ)碼加法不具有這個(gè)實(shí)數(shù)（和整數(shù)）加法的屬性姻锁。
浮點(diǎn)乘法不具有結(jié)合性枕赵。例如，單精度浮點(diǎn)情況下位隶，表達(dá)式 (1e201e20)1e-20 求值為 $+\infty$ 拷窜，而 1e20(1e201e-20) 將得出 1e20。
浮點(diǎn)乘法在加法上不具備分配性。例如篮昧，單精度浮點(diǎn)情況下赋荆，表達(dá)式 1e20(1e20-1e20)求值為 0.0，而 1e201e20-1e20*1e20 會(huì)得出 NaN懊昨。
對(duì)于任何a窄潭、b和c，并且a酵颁、b和c都不等于 NaN嫉你，浮點(diǎn)乘法滿足下列單調(diào)性：
$a \geq b \ 且\ c \geq 0 \Rightarrow a *\ ^fc \geq b *\ ^fc$
$a \geq b \ 且\ c \leq 0 \Rightarrow a *\ ^fc \leq b *\ ^fc$
只要 $a \neq NaN$ ，就有 $a * \ ^fc \geq 0$

2.4.6 C 語(yǔ)言中的浮點(diǎn)數(shù)

所有的 C 語(yǔ)言版本提供了兩種不同的浮點(diǎn)數(shù)據(jù)類(lèi)型：float 和 double躏惋。
當(dāng)程序文件中出現(xiàn)下列句子時(shí)幽污，GUN 編譯器 GCC 會(huì)定義程序常數(shù) INFINITY(表示 $+ \infty$ )和 NAN(表示 NaN)：

#define _GUN_SOURCE 1
#include <math.h>

當(dāng)在 int、float 和 double 格式之間進(jìn)行強(qiáng)制類(lèi)型轉(zhuǎn)換時(shí)簿姨，程序改變數(shù)值和位模式的原則如下（假設(shè) int 是 32 位的）：

從 int 轉(zhuǎn)換成 float距误，數(shù)字不會(huì)溢出，但是可能被舍入扁位。
從 int 或 float 轉(zhuǎn)換成 double准潭，因?yàn)?double 有更大的范圍（也就是可表示值的范圍），也有更高的精度（也就是有效位數(shù)）贤牛，所以能夠保留精確的數(shù)值惋鹅。
從 double 轉(zhuǎn)換成 float，因?yàn)榉秶∫恍┭臭ぃ灾悼赡芤绯龀? $+\infty$ 或 $-\infty$ 闰集。另外，由于精確度較小般卑，它還可能被舍入武鲁。
從 float 或者 double 轉(zhuǎn)換成 int，值將會(huì)向零舍入蝠检。例如沐鼠，1.999 將被轉(zhuǎn)換成 1，而 -1.999 將被轉(zhuǎn)換成 -1叹谁。

最后編輯于：2019.07.13 22:27:28

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正文獨(dú)居荒郊野嶺守林人離奇死亡吏夯，尸身上長(zhǎng)有42處帶血的膿包…… 初始之章·張勛以下內(nèi)容為張勛視角年9月15日...
茶點(diǎn)故事閱讀 38,369評(píng)論 3贊 340
?白月光啟示錄
正文我和宋清朗相戀三年，在試婚紗的時(shí)候發(fā)現(xiàn)自己被綠了即横。大學(xué)時(shí)的朋友給我發(fā)了我未婚夫和他白月光在一起吃飯的照片噪生。...
茶點(diǎn)故事閱讀 40,503評(píng)論 1贊 352
活死人
序言：一個(gè)原本活蹦亂跳的男人離奇死亡，死狀恐怖东囚，靈堂內(nèi)的尸體忽然破棺而出跺嗽，到底是詐尸還是另有隱情，我是刑警寧澤页藻，帶...
沈念sama閱讀 36,185評(píng)論 5贊 350
?日本核電站爆炸內(nèi)幕
正文年R本政府宣布桨嫁，位于F島的核電站，受9級(jí)特大地震影響份帐，放射性物質(zhì)發(fā)生泄漏璃吧。R本人自食惡果不足惜，卻給世界環(huán)境...
茶點(diǎn)故事閱讀 41,870評(píng)論 3贊 333
男人毒藥：我在死后第九天來(lái)索命
文/蒙蒙一废境、第九天我趴在偏房一處隱蔽的房頂上張望畜挨。院中可真熱鬧，春花似錦噩凹、人聲如沸巴元。這莊子的主人今日做“春日...
開(kāi)封第一講書(shū)人閱讀 32,340評(píng)論 0贊 24
一樁弒父案驮宴，背后竟有這般陰謀
文/蒼蘭香墨我抬頭看了看天上的太陽(yáng)逮刨。三九已至，卻和暖如春堵泽，著一層夾襖步出監(jiān)牢的瞬間修己，已是汗流浹背。一陣腳步聲響...
開(kāi)封第一講書(shū)人閱讀 33,460評(píng)論 1贊 272
情欲美人皮
我被黑心中介騙來(lái)泰國(guó)打工迎罗，沒(méi)想到剛下飛機(jī)就差點(diǎn)兒被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留箩退，地道東北人。一個(gè)月前我還...
沈念sama閱讀 48,909評(píng)論 3贊 376
代替公主和親
正文我出身青樓佳谦，卻偏偏與公主長(zhǎng)得像戴涝，于是被迫代替她去往敵國(guó)和親。傳聞我的和親對(duì)象是個(gè)殘疾皇子钻蔑，可洞房花燭夜當(dāng)晚...
茶點(diǎn)故事閱讀 45,512評(píng)論 2贊 359

深入理解計(jì)算機(jī)系統(tǒng)（原書(shū)第3版）- 第2章 信息的表示和處理 筆記