? ? ? 2+2=4 需要證明嗎即彪？可以用計(jì)算的方式證明素?cái)?shù)有無窮多個(gè)嗎紧唱？計(jì)算機(jī)可以代替人進(jìn)行所有的數(shù)學(xué)證明嗎活尊？如果你思考過這些問題又沒有明確的答案，那么可以看看這本《計(jì)算進(jìn)化史》漏益。
數(shù)學(xué)與算術(shù)的關(guān)系
? ? ? 數(shù)學(xué)與計(jì)算到底是什么關(guān)系蛹锰？對于不同的人，可能答案會不一樣绰疤。小學(xué)的時(shí)候铜犬，數(shù)學(xué)對我來說就是算術(shù)（計(jì)算），加減乘除、乘法口訣表到混合運(yùn)算到簡單的解方程癣猾，所有的東西都是算算算……敛劝；到了初中開始學(xué)習(xí)幾何，才開始接觸簡單的公理纷宇、推理夸盟、證明；高中時(shí)代演繹像捶、歸納成為挑戰(zhàn)上陕，而對計(jì)算的能力要求已然退居幕后；大學(xué)伊始拓春，高數(shù)里的無窮∞ 释簿、連續(xù)、斷點(diǎn)硼莽、微分庶溶、積分對于沒有準(zhǔn)備的新生而言大多是揮之不去的夢魘。
? ? ? 為什么我們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)生涯要這么設(shè)計(jì)沉删？大概與人對數(shù)學(xué)的認(rèn)知過程和方式有關(guān)吧渐尿。媽媽教我數(shù)數(shù)是從掰手指頭開始的。美索不達(dá)米亞人的原始數(shù)學(xué)考慮的是：如果要把1152000份糧食分給164571個(gè)人矾瑰，每個(gè)人能分幾份砖茸；100步長、100步寬的田產(chǎn)與1000步長殴穴、10步寬的田產(chǎn)哪個(gè)面積大的問題凉夯；埃及人要考慮怎樣丈量并切割出來的大石塊砌成大金字塔而不會倒塌；秦始皇鑿靈渠需要計(jì)算大小天平的尺寸來實(shí)現(xiàn)“三分入漓采幌、七分入湘”劲够。原始的數(shù)學(xué)一定是伴隨著人類的實(shí)際需求而生的。
古典數(shù)學(xué)的誕生與第一次數(shù)學(xué)危機(jī)
? ? ? 大部分人在一生之中也不會真正去去考慮“如果我有無窮的錢休傍，該怎么花光”這樣的“實(shí)際”問題征绎。只有在生產(chǎn)力發(fā)展到一定階段，有一部分人可以從體力勞動(dòng)里解放出來磨取，專門思考“一尺之棰人柿，日取其半，萬世不竭”這樣的問題忙厌，才會開始嘗試把“數(shù)學(xué)”對象從對自然物體進(jìn)行“算術(shù)”的過程分離出來凫岖，成為抽象而獨(dú)立的概念。
? ? ? ?數(shù)學(xué)的航船從勾股定理的誕生開始起航逢净，遭遇到了畢達(dá)哥拉斯悖論哥放，卷入了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的漩渦??歼指，希帕索斯甚至為了無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)付出了生命的代價(jià)，最終在歐多克索斯的拯救下得以擺脫危局甥雕。經(jīng)過這次危機(jī)的洗禮踩身，希臘人才不得不承認(rèn)：直覺、經(jīng)驗(yàn)?zāi)酥翆?shí)驗(yàn)（任何實(shí)驗(yàn)都只能得到用有理數(shù)表示的量）都不是絕對可靠的社露，而推理論證才是可靠的惰赋，證明的思想在希臘人心中扎根，而計(jì)算作為推理構(gòu)造的工具則應(yīng)隱藏在幕后呵哨。進(jìn)一步赁濒，希臘人發(fā)展了邏輯思想并加深了對數(shù)學(xué)抽象性、理想化等特征的認(rèn)識孟害。柏拉圖強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)要奠基于邏輯之上拒炎，必須要有準(zhǔn)確的定義、清楚的假設(shè)和嚴(yán)格的證明挨务，他的“應(yīng)從自明的假設(shè)出發(fā)進(jìn)行嚴(yán)格的證明”的思想成為古希臘公理方法的發(fā)端击你。
? ? ? 相比之下，包括中國在內(nèi)的東方古代的數(shù)學(xué)家們將興趣集中于計(jì)算谎柄，忽略了無理數(shù)概念所涉及的邏輯難點(diǎn)丁侄，固然沒有碰上悖論的礁石，卻也同時(shí)失去了發(fā)展數(shù)學(xué)邏輯體系的契機(jī)朝巫。中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)以算為中心鸿摇，卻最終沒有形成一個(gè)嚴(yán)密的公理化演繹體系，可稱為憾事劈猿。
古典數(shù)學(xué)統(tǒng)治的負(fù)面影響與第二次數(shù)學(xué)危機(jī)
? ? ? 古希臘人在解決第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的過程中拙吉，對無理量建立了嚴(yán)密的理論，并構(gòu)建了幾何學(xué)的大廈揪荣，而自歐氏之后筷黔，代數(shù)與幾何被嚴(yán)格區(qū)分開來，由于幾何擁有“嚴(yán)格”數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)仗颈，這就建立起古典數(shù)學(xué)中幾何對算術(shù)（計(jì)算）的絕對優(yōu)勢佛舱。這種重幾何、輕計(jì)算的思想使得算術(shù)挨决、代數(shù)的發(fā)展受到極大的限制请祖，以致于到19世紀(jì)時(shí)“geometrist”（幾何學(xué)家）還是所有數(shù)學(xué)家的代名詞。
? ? ? 實(shí)際上當(dāng)畢達(dá)哥拉斯學(xué)派發(fā)現(xiàn)不可公度量的存在時(shí)凰棉，他們就已經(jīng)面臨“離散與連續(xù)”的難題损拢。事實(shí)上陌粹，離散量對地球人而言是直觀的撒犀，而連續(xù)、極限、無限這些概念甚至對于很多“考過”高等數(shù)學(xué)的人來說也是一道大檻或舞。所以地球人花了近兩千年去跨這道坎也不足為奇荆姆。
? ? ?計(jì)算技術(shù)的發(fā)展是文藝復(fù)興時(shí)期數(shù)學(xué)的重要成就，主要體現(xiàn)于代數(shù)學(xué)上的突飛猛進(jìn)映凳，符號體系的引入使得計(jì)算發(fā)生了重大的變革胆筒。而數(shù)學(xué)在天文學(xué)、力學(xué)研究中發(fā)揮的巨大作用使代數(shù)越來越成為解決問題的有效工具诈豌。笛卡爾創(chuàng)立的解析幾何則改變了數(shù)學(xué)的面貌仆救，把原來被古希臘人割裂開來的幾何、數(shù)矫渔、形重新結(jié)合在一起彤蔽，并直接促進(jìn)了微積分的誕生！
? ? “無窮小量究竟是否為0”的貝克萊悖論在微積分草創(chuàng)時(shí)代確實(shí)帶來了第二次數(shù)學(xué)危機(jī)庙洼，然而顿痪，微積分在科學(xué)研究、數(shù)學(xué)應(yīng)用（計(jì)算）中顯示了巨大的威力油够，依靠這個(gè)強(qiáng)有力的工具蚁袭，地球人解決了無數(shù)數(shù)學(xué)和物理上的難題，也使得人們有信心為其打下堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)石咬。
? ?最終數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)依賴實(shí)數(shù)揩悄、實(shí)數(shù)依賴有理數(shù)、有理數(shù)依賴自然數(shù)的逐層構(gòu)建鬼悠，隨分析的算術(shù)（計(jì)算）化虏束，使微積分有了嚴(yán)格的基礎(chǔ)。這個(gè)時(shí)期厦章，計(jì)算又開始在數(shù)學(xué)的舞臺上扮演重要的角色镇匀。
集合論、第三次數(shù)學(xué)危機(jī)和計(jì)算機(jī)計(jì)算時(shí)代的到來
? ? ?當(dāng)我們進(jìn)入高中后袜啃，遇到的第一個(gè)數(shù)學(xué)概念就是：集合汗侵。集合是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基石，并在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中占據(jù)統(tǒng)治地位群发。集合論的開創(chuàng)者康托爾的超限數(shù)理論引發(fā)了數(shù)學(xué)界的大戰(zhàn)晰韵，而這涉及數(shù)學(xué)證明的方法問題。數(shù)學(xué)中常用的證明方法有兩種：構(gòu)造性證明和存在性證明熟妓。
? ? ? 本書用了大量篇幅介紹這兩種證明的區(qū)別與聯(lián)系雪猪，此處不再贅述。集合論的誕生從本質(zhì)上揭示了無窮的特性起愈，給數(shù)學(xué)開辟了廣闊的新領(lǐng)域只恨，促使了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的形成译仗，并用集合論的語言重述或解決了代數(shù)、幾何官觅、分析中長期存在的問題纵菌，并引出了實(shí)變函數(shù)、抽象代數(shù)休涤、拓?fù)鋵W(xué)等眾多現(xiàn)代數(shù)學(xué)分支咱圆。
? ? 正當(dāng)數(shù)學(xué)家們沉醉于數(shù)學(xué)絕對嚴(yán)格性的時(shí)候，羅素捅了大漏子功氨，引發(fā)了第三次數(shù)學(xué)危機(jī)和新的大論戰(zhàn)序苏。以羅素為代表的邏輯主義、布勞威爾為代表的直覺主義和希爾伯特為代表的形式主義戰(zhàn)作一團(tuán)捷凄。1930年希爾伯特宣稱：“把每個(gè)數(shù)學(xué)命題都變成一個(gè)可以具體表達(dá)和嚴(yán)格推導(dǎo)的公式杠览，經(jīng)過這樣改造的數(shù)學(xué)所推導(dǎo)出來的結(jié)果無懈可擊！”?
? ? 然而纵势，富有戲劇性的是在他發(fā)出這一結(jié)論的前一天踱阿，在另一個(gè)研討會上，哥德爾發(fā)表了一項(xiàng)聲明钦铁，使得在場的希爾伯特的學(xué)生馮.諾伊曼立刻意識到希爾伯特的綱領(lǐng)是沒法實(shí)現(xiàn)了软舌。哥德爾不完全性定理的推出結(jié)束了三大派的論戰(zhàn)，而數(shù)理邏輯成了最后的贏家牛曹。
? ? 哥德爾佛点、丘奇、圖靈黎比、克萊尼用各自的方式定義了一種語言來描述算法超营，最終他們的定義被證明具有等價(jià)性，而今天我們可以說阅虫，它們分別定義了一種“編程語言”演闭。而在哥德爾發(fā)表聲明現(xiàn)場的馮.諾伊曼則最終造出了可以運(yùn)行“編程語言”的計(jì)算機(jī)，并開啟了計(jì)算機(jī)計(jì)算的時(shí)代颓帝。
? ? ? 今天米碰，我們每個(gè)人都離不開各式各樣的計(jì)算設(shè)備，而計(jì)算設(shè)備和算法本身也在發(fā)生著飛速的變化购城，阿爾法狗已經(jīng)擊敗了最強(qiáng)的人類圍棋手吕座，“機(jī)器會思考嗎？”這個(gè)問題也許會在不遠(yuǎn)的奇點(diǎn)處給出我們答案瘪板！
