上回說(shuō)到需频，第一卷遺留下一個(gè)問題：化矩形為等面積的正方形。第二卷就是為了解決這個(gè)問題而存在埠况。當(dāng)然耸携，也有副產(chǎn)品。

第二卷的許多命題辕翰，在今天看起來(lái)很重復(fù)和羅嗦拟逮，就像第一卷的三十五到四十一命題一樣削解。原因也一樣，那時(shí)，用幾何在運(yùn)算撕彤，沒有發(fā)達(dá)的代數(shù)。

命題一皇耗，相當(dāng)于現(xiàn)代的乘法對(duì)加法的分配律任内。

乘法分配律

命題一指出，像圖中這樣的矩形牌里，大的被分割為幾個(gè)小的，那么，大的矩形就是幾個(gè)小矩形面積和月劈。就是說(shuō)
AB×AD=AB(AE+EG+GD)

命題二越除，把大矩形換成一個(gè)正方形，切割成兩個(gè)部分态辛。就是說(shuō)
DC×HC + DC ×FH = DC*FC

命題三麸澜，在切割長(zhǎng)方形的時(shí)候，刻意切割成一個(gè)正方形和一個(gè)長(zhǎng)方形因妙。這個(gè)命題的演示結(jié)果是：
(a+b)×a=a×a + b×a
或者是上圖中：
AG×AB=(AE+EG)×AB=(AB+EG)×AB=AB×AB+EG×EF

結(jié)果看上去沒有大的變化痰憎，但這個(gè)命題很重要票髓。因?yàn)椋@里隱藏了一個(gè)“正方形貼和”的概念铣耘。古希臘人喜歡正方形勝過矩形洽沟，所以，切割長(zhǎng)方形的時(shí)候蜗细，盡量切出一個(gè)正方形來(lái)裆操。

那個(gè)年代，對(duì)圓錐曲線的研究已經(jīng)很深入炉媒。因?yàn)樯酝淼陌⒉_尼奧斯總結(jié)了所有的圓錐曲線的大部分的性質(zhì)踪区。廣泛使用“貼合”這樣一個(gè)觀念。因此吊骤，這個(gè)命題存在缎岗，是當(dāng)時(shí)流行趨勢(shì)所致。

正方形貼和

命題四白粉，演示了完全平方公式传泊，隱藏了開方的秘訣。

完全平方公式

在阿基米德的年代鸭巴，確確實(shí)實(shí)可以用比值來(lái)無(wú)限逼近無(wú)理數(shù)眷细。在歐幾里得的年代，也許還做不到鹃祖。在畢達(dá)哥拉斯的年代溪椎，絕對(duì)做不到。

從西方人的知識(shí)脈絡(luò)來(lái)看恬口，一代更比一代強(qiáng)校读，今人勝古人。

完全平方公式

關(guān)于怎樣開平方楷兽，劉徽等人介紹的特別詳細(xì)地熄。

命題五，演示了如下公式

formula

命題五的圖形

這個(gè)圖形揭示了：在兩線段的和AB一定的情況下芯杀，用兩線段可做矩形端考。當(dāng)兩線段長(zhǎng)度相等的時(shí)候，面積最大揭厚。
那么却特，正方形比一般長(zhǎng)方形大多少呢？大的就是不等分點(diǎn)C與中點(diǎn)D之間的距離所作的正方形筛圆。

如果知道他想表達(dá)的意思裂明，無(wú)疑，這個(gè)命題用圖形描述起來(lái)比現(xiàn)代的代數(shù)更直接太援。但用圖形證明起來(lái)會(huì)更繁瑣闽晦。

當(dāng)兩線段長(zhǎng)度很接近的時(shí)候扳碍，正方形面積同矩形面積就很接近。這個(gè)公式也隱含了開平方的方法仙蛉。這個(gè)命題笋敞，可以視為化矩形為正方形的探索。一個(gè)矩形荠瘪，只要加上一個(gè)小的正方形夯巷，就可以化為正方形。

命題六哀墓，演示了如下公式：

公式2.6

使用的圖形是

命題6

用代數(shù)的算式趁餐，其實(shí)看不出作者要做什么±捍拢看圖形就會(huì)發(fā)現(xiàn)后雷，這個(gè)命題與上一個(gè)命題有相似的地方。都是一個(gè)長(zhǎng)方形加上一個(gè)正方形吠各，等于另一個(gè)正方形喷面。這一個(gè)圖，可以視作分點(diǎn)D在線段AB的外部走孽。
在直線AB上，設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為x1,B點(diǎn)坐標(biāo)為x2,則C點(diǎn)坐標(biāo)為
(x1+x2)/2琳状，設(shè)分點(diǎn)D分線段AB比例AD/AB=λ磕瓷。
即(x-x1)/(x2-x1)=λ，
那么：

分點(diǎn)制造的面積

因此念逞，當(dāng)分點(diǎn)在AD方向困食，D的外側(cè)時(shí)，λ>1,按照上面的公式翎承，計(jì)算出來(lái)的面積是負(fù)值硕盹。當(dāng)分點(diǎn)在A的左側(cè)時(shí)，λ本身為負(fù)值叨咖，計(jì)算出來(lái)的面積還是負(fù)值瘩例。只有分點(diǎn)在線段內(nèi)部，計(jì)算出來(lái)才是正值甸各。

本命題是
矩形（A到分點(diǎn)× 分點(diǎn)到B）+
半線正方形 =
（分點(diǎn)與中點(diǎn)距離)構(gòu)成的正方形

上一個(gè)命題是：
矩形（A到分點(diǎn)×分點(diǎn)到B）+ （分點(diǎn)與中點(diǎn)距離)構(gòu)成的正方形=
半線正方形

兩者可以整理成統(tǒng)一的形式：
矩形+正方形+正方形=0

因?yàn)槎庀停米鴺?biāo)計(jì)算，面積可以寫成負(fù)值趣倾。上一個(gè)命題中聘惦，也可以獲得面積為負(fù)值的表示。

正的或者負(fù)值只是表示方向儒恋，方向垂直于xy平面善绎。也就是說(shuō)與平面內(nèi)的事情無(wú)關(guān)黔漂。計(jì)算面積的法則是叉乘。

古希臘時(shí)代對(duì)“負(fù)”的值似乎有點(diǎn)排斥禀酱，甚至到笛卡爾的年代炬守，還排斥負(fù)值。人們好不容易接受了負(fù)值比勉，又不能接受虛數(shù)劳较。也如同最初的人對(duì)“日心說(shuō)”的排斥。社會(huì)趨向于穩(wěn)定浩聋，總會(huì)習(xí)慣性的排斥新生的事物观蜗。新生的事物，必須經(jīng)歷血與火的考驗(yàn)衣洁，才能生存墓捻。

要學(xué)習(xí)新的幾何，必須先接受新的觀念坊夫。

命題五砖第、六實(shí)際上是同一個(gè)命題。依然在探索环凿，如何化長(zhǎng)方形為正方形梧兼。實(shí)際上，也可以這樣寫：
(y+z)(y-z) + z^2 = y^2

命題七智听，講

公式2.7

使用的圖形

命題七

實(shí)際上羽杰，原本的圖形盡量節(jié)省一切可以節(jié)省的空間。只要能重合到推，把相等的線段都畫在一起考赛。

由于現(xiàn)代人有了代數(shù)，有坐標(biāo)軸莉测，很容易證明第二卷的各種命題颜骤。于是，都不再細(xì)看《原本》中繁瑣的證明捣卤。我感覺忍抽，這里面可能有東西，待我詳細(xì)考察董朝。

暫時(shí)不使用代數(shù)證明的方法梯找，嘗試用純幾何理解作者當(dāng)時(shí)的想法。

命題八益涧，命題八的繁瑣描述锈锤，又把人拉回現(xiàn)代簡(jiǎn)單的代數(shù)，代數(shù)用一個(gè)式子就解決了，幾何需要繁復(fù)的描述久免。于是浅辙，第二章也可以看作解析法的前身。因?yàn)楝F(xiàn)代人阎姥，在證明第二卷的相關(guān)命題時(shí)记舆，沒有辦法不用解析法。解析法的便捷呼巴，足以讓人遺忘綜合幾何繁雜的證明泽腮。

命題八，用代數(shù)式表示衣赶，就是
4(a+b)a+b^2 = (2a+b)^2诊赊。
代數(shù)介入幾何，才讓人感覺到大巧若拙的真實(shí)含義府瞄。
代數(shù)只會(huì)計(jì)算碧磅，拋棄了幾何復(fù)雜的證明路徑，然而遵馆，簡(jiǎn)單有效鲸郊。

命題九與命題十是同樣的道理。
命題九用代數(shù)的觀點(diǎn)看货邓，就是(a-b)^2 + b^2 = 2(a/2)^2 +2(a/2-b)^2.
命題十用代數(shù)的觀點(diǎn)看秆撮，就是(a+b)^2 +b^2 = 2(a/2)^2 +2(a/2+b)^2.
這些看似平常的公式里，隱藏了古人的心血换况。包括開平方的秘訣像吻，以及用有理數(shù)逼近無(wú)理數(shù)的方法。

命題十一复隆，是必須重視的一個(gè)命題。因?yàn)橹v了“黃金分割”姆涩。黃金分割挽拂，只是一種特殊比例，其實(shí)并沒有什么神奇之處骨饿，但因?yàn)榇髱熢?jīng)推崇亏栈，所以格外重要。推崇黃金分割的人宏赘，包括古希臘的學(xué)者绒北，還包括文藝復(fù)興時(shí)候的畫家。因?yàn)椴焓穑幸环N說(shuō)法闷游，黃金分割是最美的。

命題十二和命題十三，就是余弦定理的幾何描述脐往。那個(gè)時(shí)候休吠，還沒有余弦函數(shù)。于是业簿，就用線段的投影表示瘤礁。這兩個(gè)定理擴(kuò)展了勾股定理。

命題十四梅尤，是本卷的目標(biāo)命題柜思，也是上一卷最重要的補(bǔ)充。解決了上一卷的遺留問題巷燥。即化一個(gè)長(zhǎng)方形為正方形赡盘。本質(zhì)上講，完成了數(shù)的開方運(yùn)算矾湃。

笛卡爾幾何對(duì)《原本》發(fā)揚(yáng)的地方之一在于亡脑，引入了一個(gè)幽靈1,所有的單位可以同1比較，于是邀跃，單位就可以消失霉咨，數(shù)學(xué)就可以研究單純的數(shù)字。歐氏幾何拍屑，乘法得出的一定是面積;而在笛卡爾幾何中途戒，如果不仔細(xì)分別，只是拿到一個(gè)數(shù)字僵驰，那么喷斋，你將不能分別是1厘米還是1平方厘米。也就是說(shuō)蒜茴，使用單位線段星爪，可以消除更多的單位轉(zhuǎn)換的麻煩。

從本質(zhì)上講粉私，乘法是不可交換次序的顽腾。

本卷的內(nèi)容：

1. 解析法思想（命題5-10）
   1.乘法分配律（命題1，2,3）
2. 黃金分割（命題11）
3. 完全平方公式（命題4）
4. 幾何平均（幾何開方法诺核，化矩形為正方形法）
   (命題14）
5. 余弦定理（第一卷命題47,第二卷命題12,13）

本卷用解析法會(huì)更加清晰抄肖，很多不同的公式都可以統(tǒng)一成一個(gè)。鈍角三角形的余弦定理和銳角三角形的余弦定量在形式上獲得統(tǒng)一窖杀。

這是及其重要的一卷書漓摩。

再次討論本卷的第五命題和第六命題，以及這兩個(gè)命題的統(tǒng)一性入客。

設(shè)甲丙兩個(gè)點(diǎn)管毙，構(gòu)成一條線段腿椎。中點(diǎn)用“中”字標(biāo)記。另外锅风，甲丙線段（或直線）上酥诽，有一個(gè)點(diǎn)，用“分”字來(lái)標(biāo)記皱埠。

那么肮帐，設(shè)整條線段甲丙的長(zhǎng)度為1,甲到分點(diǎn)的距離lambda,那么乙到分點(diǎn)的距離就是(1-lambda)。

分點(diǎn)到中點(diǎn)距離是(lambda-1/2)或者(1/2-lambda)边器，但由這段距離

運(yùn)算過程

展開训枢，就是
(lambda^2 - lambda +1/4)
即
lambda(lambda-1)+1/4

通過第二步和第四步，可以知道其中運(yùn)算的奧秘忘巧。原作者盡量使得每一個(gè)面積的表示都是正值恒界，所以，需要很多的算式砚嘴。需要很多的算式也說(shuō)不清楚十酣。

但如果一開始就假定，面積可以為負(fù)值际长，一切就簡(jiǎn)單多了耸采。

數(shù)學(xué)本身太抽象，并不容易理解工育。借助物理學(xué)虾宇，可以更好的理解數(shù)學(xué)中的某些做法。阿基米德就用物理學(xué)來(lái)解數(shù)學(xué)如绸，這是優(yōu)良的傳統(tǒng)嘱朽。

物理學(xué)中的力矩可以體現(xiàn)出面積負(fù)值的含義。

第一卷和第二卷怔接，完成了一個(gè)件事情搪泳，即：
化任意多邊形為正方形。

重要理論有：
等腰三角形的判定和性質(zhì)
三角形全等的判定
三角形中的不等式
平行線的判定和性質(zhì)
等面積變換

提到的重要公設(shè)和定理有：

Pasch公設(shè)
第五公設(shè)
Playfair公設(shè)

龐斯命題
三角形外角定理
三角形內(nèi)角和定理
勾股定理
余弦定理

重要概念有：
算術(shù)平均
幾何平均
黃金分割
解析法
開方法（完全平方公式）

一二兩卷扼脐，雖然只有 48+14=62個(gè)命題岸军，但是內(nèi)容已經(jīng)相當(dāng)飽滿。