集合的初見
1.什么是集合光稼？
- 集合是由指定范圍內(nèi)的滿足給定條件的所有對象聚集在一起構(gòu)成诲锹，每一個對象稱
為這個集合的元素菩暗。 - 外延公理 + 空集存在公理 + 無序?qū)?+ 并集公理 + 冪集公理 + 無窮公理 +
替換公理 + 正則公理 + 選擇公理状囱。(ZFC 公理化集合論)
2.集合的符號表示
通常情況下
用帶或不帶下標(biāo)的大寫英文字母表示集合: A,B, C, · · · , A1,B1, C1, · · ·
用帶或不帶下標(biāo)的小寫英文字母表示元素: a, b, c, · · · , a1, b1, c1, · · ·
自然數(shù)集合 N: 0, 1, 2, 3, · · ·
整數(shù)集合 Z: · · · , ?2, ?1, 0, 1, 2, · · ·
3.屬于關(guān)系
若 a 是集合 A 中的元素术裸，則稱 a屬于A，記為 a ∈ A
若 a 不是集合 A 中的元素亭枷，則稱 a不屬于A袭艺，記為 a ∈/ A
4.枚舉法
列出集合中的全部元素或者僅列出一部分元素，其余用省略號 (· · ·) 表示叨粘。
A = {a, b, c, d}
B = {2, 4, 6, 8, 10, · · · }
5.敘述法
通過刻畫集合中元素所具備的某種性質(zhì)或特性來表示一個集合猾编。
P = {x|P(x)}
A = {x|x是英文字母中的元音字母}
B = {x|x ∈ Z, x < 10}
C = {x|x = 2k, k ∈ N}
6.文氏圖
文氏圖是利用平面上的點來做成對集合的圖解方法。一般使用平面上的方形或圓
形表示一個集合升敲，而使用平面上的一個小圓點來表示集合的元素答倡。
7.基數(shù)
集合 A 中的元素個數(shù)稱為集合的基數(shù)(base number)，記為 |A|
若一個集合的基數(shù)是有限的驴党，稱該集合為有限集(finite set)
若一個集合的基數(shù)是無限的瘪撇，稱該集合為無限集(infinite set)
A = {a, b, c}, |A| = 3
B ={a, {b, c}}, |B| = 2
特殊集合與集合間關(guān)系
1.空集
不含任何元素的集合叫做空集(empty set)，記作 ?.
空集可以符號化為 ? = {x|x ?= x}.
空集是絕對唯一的。
設(shè) A = {x|x ∈ R, x2 < 0}, 則 A = ?
|?| = 0, |{?}| = 1
2.全集
針對一個具體范圍设江，我們考慮的所有對象的集合叫做全集(universal set)，記作 U 或 E.在文氏圖一般使用方形表示全集攘轩。
全集是相對唯一的
在立體幾何中叉存，全集是由空間的全體點組成的；
在我國的人口普查中度帮，全集是由我國所有人組成的歼捏。
3.集合的相等關(guān)系
集合中的元素是無序的。{1, 2, 3, 4} 與 {2, 3, 1, 4} 相同笨篷。
集合中的元素是不同的瞳秽。{1, 2, 2, 3, 4, 3, 4, 2} 與 {1, 2, 3, 4} 相同。
外延性原理
兩個集合 A 和 B 相等率翅，當(dāng)且僅當(dāng)它們的元素完全相同练俐，記為 A = B, 否則 A 和 B不相等，記為A ?= B.
4.子集和真子集
設(shè) A,B 是任意兩個集合冕臭，
- 如果 B 的每個元素都是 A 中的元素腺晾，則稱 B 是 A 的子集，也稱做B 被 A 包含或A 包含B辜贵，記作B ? A悯蝉，否則記作B ? A.
- 如果 B ? A 并且 A ?= B，則稱 B 是 A 的真子集托慨，也稱做B 被 A 真包含或A 真包含 B鼻由，記作B ? A，否則記作B ?? A.
”?” 關(guān)系的數(shù)學(xué)語言描述為：B ? A ? 對 ?x, 如果 x ∈ B, 則 x ∈ A.
由子集定義可有
? ? A
A ? A
5.證明集合相等
設(shè) A, B 為任意兩個集合厚棵，則 A = B ? A ? B 并且 B ? A
證明：
1 首先證明 A ? B：?x ∈ A, · · · , x ∈ B. ∴ A ? B.
2 其次證明 B ? A：?x ∈ B, · · · , x ∈ A. ∴ B ? A.
由以上兩點蕉世，可知 A=B。
6.n 元集的子集
子集個數(shù) 真子集個數(shù)
7.冪集
設(shè) A 為任意集合婆硬，把 A 的所有不同子集構(gòu)成的集合叫做 A 的冪集(power set), 記作 P(A)讨彼，即，P(A) = {x|x ? A}
x ∈ P(A) ? x ? A
設(shè) A = {a, b, c}柿祈，B ={a, {b, c}}哈误，求他們的冪集 P(A) 和 P(B)。
解：P(A) = {?, {a}, 躏嚎, {c}, {a, b}, {b, c}, {a, c}, {a, b, c}}
P(B) = {?, {a},{{b, c}},{a, {b, c}}}
集合的運算
1.并集
設(shè) A, B 是兩個集合檀轨，則集合 A 與 B 的并集定義為：
A ∪ B = {x|x ∈ A 或 x ∈ B}
若集合 A 是選修了音樂欣賞的學(xué)生锰镀，B 是選修了西方文學(xué)的學(xué)生，則 A ∪ B 是選
修了音樂欣賞或選修了西方文學(xué)或兩門課都同時選修的學(xué)生.
2.交集
設(shè) A, B 是兩個集合，則集合 A 與 B 的交集定義為：
A ∩ B = {x|x ∈ A 并且 x ∈ B}
若集合 A 是選修了音樂欣賞的學(xué)生挎峦，B 是選修了西方文學(xué)的學(xué)生，則 A ∩ B 是即
選修了音樂欣賞又選修了西方文學(xué)的學(xué)生.
3.補集
設(shè) U 是全集，則集合 A 的補集定義為：
A = {x|x ∈/ A}
若集合 A 是選修了音樂欣賞的學(xué)生，全集 U 是所有在校學(xué)生仇参，則 A 是沒有選修音
樂欣賞的學(xué)生.
4.差集
設(shè) A, B 是兩個集合，則集合 A 與 B 的差集定義為：
A ? B = {x|x ∈ A 并且 x ∈/ B}
若集合 A 是選修了音樂欣賞的學(xué)生婆殿，B 是選修了西方文學(xué)的學(xué)生诈乒，則 A ? B 是選
修了音樂欣賞但沒有選修西方文學(xué)的學(xué)生.
5.對稱差集
設(shè) A, B 是兩個集合，則集合 A 與 B 的對稱差集定義為：
A ⊕ B = {x|(x ∈ A 并且 x ∈/ B)或者(x ∈/A 并且 x ∈ B)}
若集合 A 是選修了音樂欣賞的學(xué)生婆芦，B 是選修了西方文學(xué)的學(xué)生怕磨，則 A ⊕ B 是只
選修了音樂欣賞和西方文學(xué)兩門課中某一門的學(xué)生
6.并集和交集的擴展
運算定律及其證明
1.集合運算的基本等式
2.基于文氏圖的形象理解
3.集合相等的證明
可數(shù)集合與不可數(shù)集合
1.有限 → 無限，量變 → 質(zhì)變
2.自然數(shù)集的定義
3.如何比較集合的大邢肌肠鲫？
對于兩個有限集合而言，比較二者的大小只需要看集合的基數(shù)或粮，但對于無限集合
卻沒有這么簡單导饲。如何比較無限集合的“大小”呢？這里需要采用一種通過判斷
兩個無限集合之間是否存在一種一一對應(yīng)的關(guān)系來解決這個問題氯材。
4.等勢
5.可數(shù)集合
6.正奇數(shù)集合 O+ 與素數(shù)集合 P
6.有理數(shù)集合 Q
從有限到無限帜消，不僅僅是簡單數(shù)量上的變化 (量變)，而引起了本質(zhì)的改變 (質(zhì)變)浓体。
- 兩個無限集合的“大小”已經(jīng)不能單純使用集合中的元素個數(shù)來衡量泡挺。?0
表示一切可數(shù)集合的基數(shù)，是一種抽象的表達(dá)命浴。 - 表面上個數(shù)完全不相等的兩個集合之間仍可能存在等勢關(guān)系娄猫，如集合與其真
子集之間，這體現(xiàn)了有限集合和無限集合的根本差別生闲。
7.不可數(shù)集合
