1.凸分析基本概念

凸集性質(zhì)以及凸包

凸集：假設(shè)集合 $C\in R^n$ ，如果對(duì)于 $\forall x,y\in C$ 和 $\forall \alpha \in [0,1]$ 涯肩，有
$\alpha x +(1-\alpha)y \in C$
成立轿钠，則稱集合 $C$ 為凸集(convex set),或稱 $C$ 是凸的。約定空集也是凸集病苗。

凸集示意圖

如上圖所示疗垛，我們可以看到，根據(jù)凸集的定義硫朦，上圖中左邊的兩個(gè)集合是凸集贷腕，右邊的兩個(gè)集合不是凸集。
我們可以這樣說，對(duì)于一個(gè)凸集中的兩個(gè)點(diǎn)花履，連接他們的線段也一定完全被包含在這個(gè)凸集中芽世。如果不是這樣的話，他就不是一個(gè)凸集诡壁。

例如，三維空間中的球體就是一個(gè)凸集荠割，但是球面就不是妹卿。

凸集的運(yùn)算性質(zhì)：

若 $C_1$ 和 $C_2$ 都是凸集，則 $C_1 \cap C_2$ 和 $C_1+C_2$ 都是凸集蔑鹦，后者表示兩個(gè)集合的直和夺克。
對(duì)于任意凸集 $C$ 和標(biāo)量 $\lambda$ ， $\lambda C$ 是凸集嚎朽。
凸集的閉包 $cl(C)$ 和 $int(C)$ 都是凸集铺纽。
凸集 $C$ 在仿射變換下的像和原像都是凸集。

凸包：假設(shè) $C\in R^n$ ,稱 $R^n$ 中的所有凸集的交集為 $C$ 的凸包(convex hull)哟忍，記作 $conv(C)$ 狡门。

凸包

換句話說，凸包是包含 $C$ 的最小凸集锅很。

凸組合：設(shè) $x_1,x_2,\cdots,x_m \in C,\alpha_1,\cdots,\alpha_m \geq 0,\Sigma_{i=1}^m\alpha_i=1$ 其馏，稱 $y = \Sigma_{i=1}^m\alpha_i x_i$ 為 $C$ 中 $m$ 個(gè)向量的凸組合(convex combination)。

有限個(gè)點(diǎn)的凸組合就是他們的凸包：

凸組合

凸包表示定理：
設(shè) $C \subset R^n$ 爆安，若 $x \in conv(C)$ 叛复，則 $x = \Sigma_{i=1}^m\omega_ix_i$ ,其中 $x_i\in C,\omega_i \geq 0,i=1,\cdots,m$ 且 $\Sigma_{i=1}^m \omega_i=1$ 。也就是說 $x$ 可以表示成 $C$ 中有限個(gè)向量的凸組合扔仓。

仿射集

仿射組合設(shè) $x_1,x_2,\cdots,x_m \in C褐奥，\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m \in R,\Sigma_{i=1}^m =1$ ，則稱 $y = \Sigma_{i=1}^m \alpha_i x_i$ 為向量的仿射組合(affine combination)翘簇。

例： $R^2$ 或者 $R^3$ 中兩個(gè)點(diǎn)的仿射組合為過該兩點(diǎn)的直線撬码。
$R^3$ 中不共面的三個(gè)點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的仿射組合為它們所在的平面缘揪。

仿射集：設(shè)集合 $C\subset R$ ,若對(duì)于 $\forall x,y \in C$ 和 $\forall \alpha \in R$ ,有
$\alpha x + (1-\alpha)y \in C$ 成立耍群，則稱集合 $C$ 為仿射集(affine set)。

仿射集舉例：

$R^n$ 中的點(diǎn)找筝，線蹈垢，超平面。
齊次線性方程組的零空間袖裕。

思考：我們可以發(fā)現(xiàn)曹抬，一個(gè)線性空間一定是一個(gè)仿射集；而一個(gè)仿射集未必是一個(gè)線性空間急鳄，因?yàn)樗幢剡^原點(diǎn)谤民。但是我們可以把一個(gè)仿射集平移到原點(diǎn)堰酿，它就成為了一個(gè)線性空間。
換句話說张足，仿射集一定平行于某個(gè)子空間触创，于是就引出了我們下面的仿射集表示定理贞绳。

仿射集表示定理
假設(shè) $C\subset R^n$ 為仿射集撑蒜，則有
$C = \overline{x} + S$
其中 $\overline{x} \in C$ ， $S$ 為 $R^n$ 中的子空間倒淫，也就是我們上面提到的碉咆， $C$ 平行于子空間 $S$ ,而可以看到我們 $\overline{x}$ 的選取也是不唯一的抖韩，這意味著，對(duì)于同一個(gè)仿射集疫铜，我們通過平移的方式茂浮，使它經(jīng)過原點(diǎn)，這樣的平移方式也是不唯一的壳咕。

仿射包：假設(shè)集合 $C \subset R^n$ 席揽，稱 $R^n$ 中包含 $C$ 的所有仿射集的交集為 $C$ 的仿射包(affine hull),記作 $aff(C)$ 。換句話說囱井，仿射包是包含 $C$ 的最小仿射集驹尼。約定空集的仿射包為空集。

仿射包表示定理：設(shè)集合 $C \subset R^n$ 庞呕，則 $aff(C)$ 中任意向量均可以表示成 $C$ 中有限個(gè)向量的仿射組合新翎。

錐集合及其性質(zhì)

錐(cone)：設(shè)集合 $C\in R^n$ ，若對(duì)于 $\forall x\in C$ 和 $\forall \alpha \geq 0$ ,有
$\alpha x \in C$ 成立住练，則稱集合 $C$ 為錐(cone)地啰。當(dāng)錐集合為凸集時(shí)，稱其為凸錐讲逛。當(dāng)凸錐集合為閉集時(shí)亏吝，稱其為閉凸錐。

閉凸錐

注意事項(xiàng)：錐集合不一定包含原點(diǎn)盏混，但是它的閉包一定包含原點(diǎn)蔚鸥。

錐集合的運(yùn)算性質(zhì)

設(shè) $C_1,C_2$ 為錐集合，則 $C_1\cap C_2,C_1\times C_2,C_1+C_2$ 也是錐许赃；
設(shè) $C$ 為錐止喷，則閉包 $cl(C)$ 也是錐；
錐集合的線性變換也是錐混聊。

生成錐：設(shè)集合 $C\in R^n$ 弹谁，稱 $C$ 中元素的非負(fù)組合的全體為 $C$ 的生成錐(cone generated by C)，記為 $cone(C)。$

注意事項(xiàng)

生成錐是凸錐预愤，且一定包含原點(diǎn)沟于；
生成錐不一定是閉集；
$C$ 有限時(shí)植康， $cone(C)$ 一定是閉集旷太。

相對(duì)內(nèi)部

相對(duì)內(nèi)部點(diǎn)：若 $x\in C$ 且存在一個(gè)以 $x$ 為球心的開球 $B(x,\epsilon)$ 滿足 $B \cap aff(C) \subset C$ ,那么稱 $x$ 是 $C$ 的相對(duì)內(nèi)部點(diǎn)(relative interior point)。
相對(duì)內(nèi)部： $C$ 中相對(duì)內(nèi)部點(diǎn)的全體稱為集合 $C$ 的相對(duì)內(nèi)部(relative interior)销睁。記為 $ri(C)$ 泳秀。
$cl(C)$ \ $ri(C)$ 稱為 $C$ 的相對(duì)邊界(relative boundary)。

為了更好地區(qū)分相對(duì)內(nèi)部和內(nèi)部這兩個(gè)概念的區(qū)別榄攀。我們來看下面的例子：
有 $R^3$ 中的集合
$C = \{ x\in R^3| x_1^2+x_2^2 \leq 1,x_3 =1\}$
它的仿射集 $aff(C) = \{x \in R^3| x_3=1\}$ ,它的閉包 $cl(C)$ 是非空凸集，根據(jù)內(nèi)點(diǎn)的定義金句，可以發(fā)現(xiàn)這個(gè)集合沒有內(nèi)點(diǎn)檩赢，也就是說它的內(nèi)部 $int(C)$ 是空集。
但是我們通過相對(duì)內(nèi)部的定義违寞，計(jì)算可以得到：
$ri(C) = \{x\in R^3 | x_1^2+x_2^2 \leq 1,x_3 =1\}$
并不是空集贞瞒。如下圖所示：

相對(duì)內(nèi)部

相對(duì)內(nèi)部性質(zhì)
設(shè)集合 $C$ 是非空凸集：

線段原理：若 $x \in ri(C),\overline{x} \in cl(C)$ ,那么在連接 $x$ 和 $\overline{x}$ 的線段上，除了 $\overline{x}$ 以外的點(diǎn)都在 $ri(C)$ 上;
相對(duì)內(nèi)部非空：ri(C)是非空的趁曼，并且 $aff(ri(C))=aff(C)$ ;
延伸引理： $x \in ri(C)$ 當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于任意的 $\overline{x} \in C$ 军浆，存在一個(gè) $\gamma >0$ 使得 $x + \gamma(x-\overline{x}) \in C$ 。

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