設正態(tài)總體X~N(μ,σ2)盟庞，X1,X2,...Xn是來自正態(tài)總體的樣本吃沪，樣本均值為€X，樣本方差為S2什猖，則有以下結(jié)論票彪，
注：樣本均值(X拔)符號表示:€X，卡方分布符號表示：￡2(n)不狮；其它符號表示不變降铸。
其中€X=(1/n)∑:(i=1~n)(Xi)
(1)，€X~N(μ,σ2/n)摇零，
即(€X-μ)/√(σ2/n)~N(0,1)推掸；
(2)，{∑:(i=1~n)(Xi-μ)2/σ2}~￡2(n)驻仅；
(3)谅畅，(n-1)S2/σ2=∑:(i=1~n)(Xi-€X)2/σ2，
{(n-1)S2/σ2}~￡2(n-1)雾家；
(4)，€X與S2相互獨立绍豁，
T={(€X-μ)/(S/√n)}~t(n-1)芯咧。
證一、為什么(3)式的自由度是n-1竹揍？
表面上敬飒，∑:(i=1~n)(Xi-€X)2是n個正態(tài)隨機變量Xi-€X的平方和，但實際上它們不都是獨立的芬位，它們之間有一種線性約束關系：∑:(i=1~n)(Xi-€X)=(∑:(i=1~n)Xi)-n€X=0无拗，這表明當n個正態(tài)隨機變量中有n-1取值給定時剩下一個的取值就跟著唯一確定了，故這n項平方和中只有n-1項是獨立的昧碉，所以(3)式的自由度為n-1英染。
證二、(4)式是怎么來的被饿？
€X與S2相互獨立就不證了四康，由(1)式和(3)式可知，(€X-μ)/√(σ2/n)~N(0,1)狭握，{(n-1)S2/σ2}~￡2(n-1)闪金，由t分布定義得，[(€X-μ)/√(σ2/n)]/√{[(n-1)S2/σ2]/(n-1)}=T={(€X-μ)/(S/√n)}~t(n-1)，從而得證哎垦。
已經(jīng)申查一遍囱嫩，若文中仍有文字,符號等錯誤可以評論指出，后期修改漏设。
