小結(jié)
- 齊次線性方程組的定義。
- 解集的參數(shù)向量形式。
- 非齊次線性方程組的解誓禁。
齊次線性方程組
線性方程組稱為齊次的，若它可寫成
的形式肾档，其中
是
矩陣而
是
中的零向量摹恰。這樣的方程組至少有一個(gè)解，即
（
中的零向量）阁最，這個(gè)解稱為它的平凡解戒祠。對(duì)給定方程，重要的是它是否有非平凡解速种，即滿足的非零向量
姜盈。
齊次方程有非平凡解當(dāng)且僅當(dāng)方程至少有一個(gè)自由變量。
確定齊次方程組
是否有平凡解配阵，并描述它的解集馏颂。
解：令為該方程組的系數(shù)矩陣，用行化簡算法把增廣矩陣
化為階梯形
～
～
因?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=x_3" alt="x_3" mathimg="1">是自由變量棋傍，故有平凡解（對(duì)
的每一個(gè)選擇都有一個(gè)解）救拉。為描述解集，繼續(xù)把化為簡化階梯形：
的通解有向量形式
注意亿絮，非平凡解向量可能有些零元素，只要不是所有元素都是0即可。
描述齊次方程組
的解集派昧。
解：這里無須矩陣記號(hào)黔姜。用自由變量
和表示基本變量
。通解為:
齊次方程總可表示為Span{
}，其中是適當(dāng)?shù)慕庀蛄课宕取Ｈ粑ㄒ唤馐橇阆蛄磕杉牛瑒t解集就是Span{}；若方程僅有一個(gè)自由變量泻拦，則解集是通過原點(diǎn)的一條直線毙芜。若有兩個(gè)或更多個(gè)自由變量，則解集是通過原點(diǎn)的平面聪轿。
上述方程是平面的隱式描述爷肝，解此方程就是要找這個(gè)平面的顯示描述（
），就是說將它作為
和
的子集陆错。
顯示描述稱為平面的參數(shù)向量方程，記為)
金赦。當(dāng)解集用向量顯示表示音瓷，我們稱之為解的參數(shù)向量形式。
非齊次方程組的解
描述
的解绳慎，其中
，
解：對(duì)
作行變換得
～
把每個(gè)基本變量用自由變量表示：
的通解可寫成向量形式
方程
珊楼，或用
表示自由變量，
就是用參數(shù)變量形式表示的的解集厕宗。
注意：第一個(gè)例子齊次方程組的系數(shù)矩陣和上訴例子的系數(shù)矩陣是同一矩陣：
。兩個(gè)方程的參數(shù)形式的是相同的堕担。故的解可由向量
加上的解得到，向量本身也是的一個(gè)特解佑惠。
為了從幾何上描述的解集，我們可以把向量加法解釋為平移膜楷。
設(shè)
是通過與的直線旭咽。的每個(gè)點(diǎn)加上得到表示的平移后的直線。注意也在平移后的直線上把将。稱為通過平行于的直線方程轻专。綜上，的解集是一條通過而平行于的解集的直線请垛。
設(shè)方程對(duì)某個(gè)
是相容的宗收，為一個(gè)特解，則的解集是所有形如
的向量的集混稽，其中
是齊次方程的任意一個(gè)解。
注意：僅適用于方程至少有一個(gè)非零解的前提下匈勋。當(dāng)無解時(shí)膳叨，解集是空集洽洁。
把（相容方程組的）解集表示稱參數(shù)向量形式：
- 把增廣矩陣行化簡為簡化階梯形矩陣。
- 把每個(gè)基本變量用自由變量表示菲嘴。
- 把一般解表示稱向量饿自，如果有自由變量，其元素依賴于自由變量龄坪。
- 把分解為向量（元素為常數(shù)）的線性組合昭雌，用自由變量作為參數(shù)。
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