錯(cuò)在哪里?用正向思路求同一班級(jí)中至少有兩個(gè)同學(xué)生日相同的概率

問:n個(gè)學(xué)生組成的班級(jí)中舷手,求至少兩人的生日相同的概率.

解答一:樣本空間為
\Omega=\{d_1,d_2,...,d_n\},
其中d_k\;(k=1,2,…,n)表示365天中的某一天。

設(shè)A=\{至少有兩個(gè)人生日相同}\}?劲绪,則對(duì)立事件\bar{A}=\{任何兩個(gè)人生日均不同\}?男窟,可以認(rèn)為該試驗(yàn)由n?個(gè)步驟構(gòu)成,先將n?個(gè)同學(xué)排成一列贾富,然后按照順序依次選擇生日歉眷,由乘法原理,樣本空間的總點(diǎn)數(shù)365^n?颤枪,\bar{A}?的有利場(chǎng)合數(shù)為A_{365}^n?汗捡,故P(\bar{A})=\frac{A_{365}^n}{365^n}?,從而
P(A)=1-\frac{A_{365}^n}{365^n}
解答二:設(shè)樣本空間為
\Omega=\{d_1,d_2,...,d_n\},
其中d_k\;(k=1,2,…,n)表示365天中的某一天畏纲∩茸。可以認(rèn)為該試驗(yàn)由n個(gè)步驟構(gòu)成:先將n個(gè)同學(xué)排成一列春缕,然后按照順序依次選擇生日。由乘法原理艘蹋,樣本空間的總點(diǎn)數(shù)為365^n.

A=\{至少有兩個(gè)人生日相同\}锄贼,則A的有利場(chǎng)合可以這樣構(gòu)造:先選擇兩個(gè)同學(xué)(選法C_n^2種)的生日相同(可選日期有C_{365}^1個(gè)),然后剩下的同學(xué)可以任意選擇某一天作為生日(n-2個(gè)人女阀,每人都有365個(gè)選擇宅荤,由乘法選擇,總的不同的選擇共有365^{n-2}種)强品,從而A的有利場(chǎng)合數(shù)為C_n^2\cdot365\cdot365^{n-2}膘侮,于是
P(A)=\frac{C_n^2C_{365}^1365^{n-2}}{365^n}=\frac{C_n^2}{365}
第二個(gè)解答是錯(cuò)誤的!

錯(cuò)誤在于:重復(fù)計(jì)算了部分樣本點(diǎn)的榛。例如琼了,可以構(gòu)造這樣兩個(gè)樣本點(diǎn):

  1. 先選擇排名最靠前的兩個(gè)同學(xué)的生日相同,然后第三個(gè)同學(xué)也選擇和他們一樣的生日夫晌,后面的同學(xué)隨機(jī)選擇雕薪;
  2. 先選擇排名第二、三的同學(xué)生日相同(選擇的日期和1中相同)晓淀,然后第一個(gè)同學(xué)選擇和他們一樣的生日所袁,其余同學(xué)的選擇和1中的完全相同。

顯然1凶掰、2其實(shí)是同一個(gè)樣本點(diǎn)燥爷。但是按照以上的解法,它們將被視為不同的樣本點(diǎn)懦窘,重復(fù)計(jì)數(shù)前翎。因此,該解法得到的結(jié)果會(huì)比正確的結(jié)果要大一些畅涂。

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