《計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)》之線性代數(shù)

第五章線性代數(shù)

前言

到數(shù)學(xué)部分就深刻的感受到自己的菜 QAQ抱环，不過沒關(guān)系贤惯，這也說明了這篇文就很適合跟我一樣的菜看伤哺。

臭豬豬都看不下去了

每一行都在上演小劇場(chǎng)

咦燕侠，這是為啥？
哇立莉。好神奇呀~
哎贬循，這又是啥？
哇桃序。好神奇哎~

5.1 行列式

比如向量 $a(1,2)$ ，向量 $b(2,3)$ 烂瘫，那么行列式 $|ab| = \begin{vmatrix}1&3\\2&4\end{vmatrix}$ 媒熊。
二維的行列式就是面積，如下圖坟比， $|ab|$ 就是圖中平行四邊形的面積芦鳍。

三維的行列式就是體積，如下圖葛账，

|abc|

就是圖中立方體的體積柠衅。

縮放其中一個(gè)向量會(huì) 等比例 改變整個(gè)行列式代表的面積的大小，如圖所示：

其中一個(gè)向量擴(kuò)大兩倍籍琳，整個(gè)面積也會(huì)擴(kuò)大兩倍

于是有下面的公式：

|(ka)b| = |a(kb)| = k|ab|

錯(cuò)切 一個(gè)向量不會(huì)改變面積菲宴，因?yàn)榈缀透邲]變呀~ 如下圖所示：

所以有如下公式：

|(a+kb)b|=|a(b+ka)|=|ab|

行列式滿足 “分配律”，如下圖所示趋急，左邊粗線所圍成的區(qū)域面積是和右邊粗線所圍成的區(qū)域面積是一樣的喝峦。

所以有如下公式：

|a(b + c)| = |ab| + |ac|

向量也可以用 笛卡爾坐標(biāo)系 來表示，比如 $a(2,3)$ 可以表示為 $a=2x+3y$ 呜达，有如下運(yùn)算：
二維：
$\begin{align} |ab| & = |(x_{a}x + y_{a}y)(x_谣蠢x + y_y)| \\ & = x_{a}x_查近|xx| + x_{a}y_眉踱|xy| + y_{a}x_|yx| + y_{a}y_霜威|yy| \\ & = x_{a}x_谈喳(0) + x_{a}y_(+1) + y_{a}x_侥祭(?1) + y_{a}y_叁执(0) \\ & = x_{a}y_茄厘 ? y_{a}x_ \\ \end{align}$

三維：
$\begin{align} |abc| &= |(x_{a}x + y_{a}y + z_{a}z)(x_谈宛x + y_次哈y + z_z)(x_{c}x + y_{c}y + z_{c}z)| \\ &= x_{a}y_吆录z_{c} ? x_{a}z_窑滞y_{c} ? y_{a}x_z_{c} + y_{a}z_恢筝x_{c} + z_{a}x_哀卫y_{c} ? z_{a}y_x_{c} \end{align}$
(MarkDown 寫公式好累呀）

5.2 矩陣

矩陣可以不是方的撬槽，行列式必須是方的此改。但這里的矩陣我們依然只討論方的。
矩陣 數(shù)乘：
$2 \begin{bmatrix}1&-4\\3&2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2&-8\\6&4\end{bmatrix}$
矩陣相加：
$\begin{bmatrix}1&-4\\3&2\end{bmatrix}+ \begin{bmatrix}2&-2\\2&2\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}3&-2\\5&4\end{bmatrix}$

矩陣相乘：

矩陣 ~~交換律~~：

矩陣 ~~等號(hào)兩邊同除~~：
也就是說即使 $AB=AC$ 侄柔， $B$ 也不一定等于 $C$ 共啃。

矩陣 結(jié)合律：
$(AB)C=A(BC)$

矩陣 分配律：
$A(B+C)=AB+AC \\ (A+B)C=AB+AC$

矩陣的逆：
逆這個(gè)字的理解可以想象 $\frac{1}{x}\times x = 1$ ，這里的 $1$ 在矩陣中是單位向量而已暂题，一般用 $I$ 來表示：

單位向量

有以下公式：

AA^{?1} = A^{?1}A = I \\ (AB)^{?1} = B^{?1}A^{?1}

矩陣的 轉(zhuǎn)置：
不管是不是方的矩陣移剪，都是在心里補(bǔ)全成方的，然后按對(duì)角線對(duì)稱一下就好了：

轉(zhuǎn)置有以下性質(zhì)：

(AB)^{T} = B^{T}A^{T}

矩陣和行列式 有以下的性質(zhì)：

矩陣和向量：
我們可以通過一個(gè)向量和矩陣相乘來以一定規(guī)則改變這個(gè)向量薪者，比如將點(diǎn) $A(x_{a},y_{a})$ 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90°纵苛，那么也可以寫成如下的形式，這里的 $\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}$ 其實(shí)是 $\begin{bmatrix}cos90&-sin90\\sin90&cos90\end{bmatrix}$ 言津，具體怎么來的暫時(shí)不需要知道攻人，后面會(huì)學(xué)到。

向量寫在矩陣后面是目前的標(biāo)準(zhǔn)形式纺念，也有老的書上是向量寫在矩陣前面的贝椿，那需要將矩陣進(jìn)行轉(zhuǎn)置，如下所示：

使用矩陣表示向量 點(diǎn)乘(內(nèi)積)：

使用矩陣表示向量 叉乘(外積)：
$a\times b=ab^{T}$

對(duì) 矩陣乘向量 的理解：
首先陷谱，把概念具象化烙博，假設(shè)有一個(gè) $y=Ax$ ，展開來是這樣的：
$\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} a_{11}& a_{12}& a_{13}\\a_{21}& a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\ x_{3}\end{bmatrix}$
然后可以從兩個(gè)角度來思考烟逊，把這個(gè) $3\times 3$ 的矩陣分成三行：
$\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} - & r_{1}& - \\ - & r_{2}& - \\ - & r_{3} & - \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\ x_{3}\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} r_{1}\cdot x \\ r_{2}\cdot x \\ r_{3}\cdot x\end{bmatrix}$
也就是每一行都對(duì) $x$ 做了內(nèi)積渣窜。

把這個(gè) $3\times 3$ 的矩陣分成三列：
$\begin{bmatrix} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} | & | & | \\ l_{1} & l_{2}& l_{3} \\ | & | & | \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{bmatrix} = x1\begin{bmatrix} | \\ l_{1}\\ | \end{bmatrix} + x2\begin{bmatrix} | \\ l_{2} \\ | \end{bmatrix} + x3\begin{bmatrix} | \\ l_{3} \\ | \end{bmatrix}$

對(duì)角矩陣：所有非零元素都出現(xiàn)在對(duì)角線上的矩陣

對(duì)稱矩陣：滿足 $A=A_{T}$

（注意，對(duì)角矩陣一定是對(duì)稱矩陣宪躯，但對(duì)稱矩陣不一定是對(duì)角矩陣乔宿，比如說 $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 &1 \\ \end{bmatrix}$ 。)

正交矩陣：每一行都當(dāng)成一個(gè)向量访雪，模都為 1详瑞，并且向量之間兩兩正交掂林；對(duì)于每一列也是一樣；并且正交矩陣的行列式值為 1 或者 -1坝橡；正交矩陣的逆矩陣就是他們的轉(zhuǎn)置泻帮，有 $R_{T}R = I = RR_{T}$ ，這很容易理解计寇，因?yàn)樵诜菍?duì)角線上都是正交的向量的內(nèi)積锣杂，而在對(duì)角線上則是向量自身內(nèi)積，也就是向量取模番宁。
（注意：正交矩陣跟對(duì)角矩陣和對(duì)稱矩陣沒關(guān)系... 是正交矩陣不能說明他們就是對(duì)角或者對(duì)稱的）

單位向量 既是對(duì)角矩陣元莫，又是對(duì)稱矩陣，還是正交矩陣蝶押。

5.3 矩陣與行列式的計(jì)算

行列式的 轉(zhuǎn)置 與本身相同踱蠢，可以從面積上理解：

原來的行列式代表的面積

轉(zhuǎn)置之后的行列式代表的面積（與原來一樣）

理解行列式的 幾何意義 是很有意思的，比如下面的行列式是代表了經(jīng)過 $A(x_{0},y_{0},z_{0})棋电，B(x_{1},y_{1},z_{1})朽基，C(x_{2},y_{2},z_{2})$ 的平面。很好理解离陶，因?yàn)樗砹艘?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=%5Coverrightarrow%7BOA%7D%EF%BC%8C%5Coverrightarrow%7BOB%7D%EF%BC%8C%5Coverrightarrow%7BOC%7D" alt="\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}衅檀，\overrightarrow{OC}" mathimg="1"> 為邊所圍成的立方體的體積招刨，但體積為零，所以三向量共面哀军。

拉普拉斯展開 計(jì)算行列式：
先求余因子沉眶，比如下面的 $4\times 4$ 行列式， $a_{22}$ 位置上的 余因子杉适，就是 $\begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} & a_{14} \\ a_{31} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} &a_{43} & a_{44} \\\end{vmatrix}$ 谎倔，也就是把自身所在行和列去掉之后組成一個(gè)新的行列式。因?yàn)? $a_{22}$ 的下標(biāo)和為 $2+2=4$ 猿推，是偶數(shù)片习，所以余因子的符號(hào)是正的，如果下標(biāo)和是奇數(shù)蹬叭，則余因子的下標(biāo)和是負(fù)的藕咏。加了正負(fù)號(hào)的余因子也叫作 代數(shù)余因子，寫作 $a_{ij}^{c}$

余因子下標(biāo)正負(fù)圖示

求出代數(shù)余因子之后秽五，可以用任意一行或者任意一列進(jìn)行展開孽查，上面例子假設(shè)是使用的第二列展開，那么結(jié)果為：

再看一個(gè)帶數(shù)字的坦喘，維度少一點(diǎn)的例子 ~ 是以第一行展開的盲再。

因?yàn)樾辛惺浇Y(jié)果為 0西设，所以我們可以判斷由每一行（或者每一列，因?yàn)樾辛惺脚c其轉(zhuǎn)置相同）為向量構(gòu)成的立方體體積為 0答朋。這也就等于說每一行（或者每一列）向量都不是線性獨(dú)立的二鳄，也就是存在一個(gè)向量可以由其他向量線性表示蓄坏。在這里就是

r_{1} = 2(r_{0}+r_{1})

矩陣的逆的計(jì)算，公式為：

其中

\begin{bmatrix} a_{11}^{c} & a_{21}^{c} & a_{31}^{c} & a_{41}^{c} \\ a_{12}^{c} & a_{22}^{c} & a_{32}^{c} & a_{42}^{c} \\ a_{13}^{c} & a_{23}^{c} & a_{33}^{c} & a_{43}^{c} \\ a_{14}^{c} & a_{24}^{c} & a_{34}^{c} & a_{44}^{c} \end{bmatrix}

叫做

A

的 伴隨矩陣，他是對(duì)應(yīng)位置上 代數(shù)余因子（有正負(fù)號(hào)） 組成的矩陣的 轉(zhuǎn)置亚隙。
其實(shí)很好理解（書上說的，我拿來裝逼一下... ）摹恨，對(duì)于在

A^{-1}

的對(duì)角線上的運(yùn)算登下，其實(shí)就是在求

|A|

，所以求出來之后再

÷|A|

淹冰，對(duì)角線上就都是

1

了库车，如下所示：

本質(zhì)是在第一行使用拉普拉斯展開求行列式的值

對(duì)于不在對(duì)角線上的運(yùn)算，假設(shè)用

A

的第二行去乘伴隨矩陣的第一列：

展開來的計(jì)算如下：

這個(gè)為什么就等于零呢樱拴？我們構(gòu)建另外一個(gè)矩陣

B

：

現(xiàn)在假設(shè)以 第一行 進(jìn)行拉普拉斯展開求矩陣

B

對(duì)應(yīng)的行列式的值柠衍，那么計(jì)算過程應(yīng)該為：

很神奇，這個(gè)式子跟上面的是一樣的晶乔，而矩陣

B

的結(jié)果可以直接判斷是

0

珍坊，因?yàn)榈谝恍泻偷诙惺且粯拥模簿褪钦f他組成的空間幾何體有兩條邊是一樣的正罢，那么體積自然為

0

阵漏。
再看一個(gè)帶數(shù)字的例子驗(yàn)證鞏固一下 ~

這種求逆矩陣的運(yùn)算適用于任何矩陣，不只是 $4\times 4$ 的翻具，這里只是為了方便排版履怯；并且這種方式對(duì)于大型矩陣來說效率并不高，但在圖形學(xué)中一般都是小矩陣裆泳，所以并沒有多大影響叹洲。

用矩陣來表示和計(jì)算 線性方程（一次方程），下面是一個(gè)常見的線性方程組：

我們可以用矩陣來表示：

還可以用更簡(jiǎn)單的寫法 $Ax = b$ 工禾，其中 $A$ 是所有已知的常數(shù)組合运提，也就是上面 $2\times 3$ 的矩陣， $x$ 是所有未知數(shù)的列矩陣闻葵，也就是上面的 $\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}$ 糙捺， $b$ 是已知的常數(shù)列矩陣，也就是上面的 $\begin{bmatrix} 4 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}$ 笙隙。
雖然有很多種解法洪灯，但是因?yàn)閳D形學(xué)中的矩陣維度都 $≤4$ ，所以只介紹一種，叫做 克萊姆法則（Cramer's Rule）签钩，上述方程的解法是：

規(guī)則就是掏呼，分母是

|A|

,分子是

b

替換了

|A|

中的某一列所產(chǎn)生的的行列式，被替換的列的位置是未知數(shù)的位置铅檩，比如說

y

在未知數(shù)列矩陣中排第二憎夷，所以它的分子的 第二列 被

b

替換了。如果

|A|=0

（奇異矩陣）的話昧旨，那么除法將沒有意義拾给，也就是意味著沒有該方程組沒有唯一解。

5.4 特征值與矩陣對(duì)角化

矩陣 $A$ 的特征向量 $a$ 和特征值 $\lambda$ （lambda）滿足 $Aa = \lambda a$ 兔沃，這也就意味著經(jīng)過了 $A$ 的變換（有可能是旋轉(zhuǎn)蒋得，縮放等），向量 $a$ 的方向不變乒疏。我們先假設(shè) $A$ 存在特征向量和特征值额衙，那么有如下過程：
$Aa = \lambda a \\ Aa=\lambda Ia \\ (A - \lambda I)a = 0$
因?yàn)槲覀兗僭O(shè)特征向量存在，所以 $a≠0$ 怕吴，所以有 $|A-\lambda I| = 0$ 窍侧，為了方便表述，我們假定 $A$ 是 $2\times 2$ 的转绷，那么有如下式子：

a_{ij}

都是已知的伟件，所以我們可以知道

\lambda

有兩個(gè)值（有可能是重根，實(shí)數(shù)或者復(fù)數(shù)）议经。對(duì)于 對(duì)稱矩陣 （

A=A^{T}

）來說锋爪，如果矩陣內(nèi)都是 實(shí)數(shù)，那么它的特征值也都是 實(shí)數(shù)爸业，如果兩個(gè)特征值不同的話，那么它的兩個(gè)特征向量就是正交的亏镰，求出特征向量和特征值之后扯旷，可以把

A

寫成

A=QDQ^{T}

的形式。其中

Q

是一個(gè)正交矩陣索抓，

D

是對(duì)角矩陣钧忽，

Q

的每一列是一個(gè)特征向量，

D

的對(duì)角線是特征值逼肯。把

A

變成這種形式也叫作 特征值分解耸黑。

帶數(shù)字的練習(xí)來驗(yàn)證一下理解是否出現(xiàn)偏差：

求出了兩個(gè)特征值 $\lambda_{1} = 2.618,\lambda_{2} = 0.382$ ，然后分別帶回原來的式子求對(duì)應(yīng)的特征向量篮幢，結(jié)果為 $(0.8507,0.5257),(-0.5257,0.8507)$ （注意這里的是非平凡解大刊，不是 $x=y=0$ ），可以看到確實(shí)是正交的三椿，并且對(duì)于每一個(gè)特征向量缺菌，其實(shí)都是無數(shù)個(gè)平行的向量葫辐，這里只是取了單位向量而已。

最后寫成 $A=QDQ^{T}$ 的形式：

上面的特征值分解只針對(duì)對(duì)稱矩陣伴郁，對(duì)于非對(duì)稱矩陣耿战，特征值分解不太好搞（？）焊傅，而且即使 $A$ 全是實(shí)數(shù)的剂陡，也可能會(huì)出現(xiàn)復(fù)數(shù)的特征值和特征向量。所以針對(duì)非對(duì)稱矩陣（甚至不是方的矩陣）狐胎，我們一般使用 奇異值分解（singular value decomposition (SVD)） 鸭栖， $A$ 將會(huì)被分解成 $A=USV^{T}$ ，這與特征值分解的區(qū)別在于左邊和右邊的正交矩陣不再是同一個(gè)顽爹。
$U$ 和 $V$ 可能是不同的正交矩陣纤泵， $U$ 的列是 $A$ 的左奇異向量， $V$ 的列是 $A$ 的右奇異向量镜粤， $S$ 的對(duì)角線是 $A$ 的奇異值捏题。當(dāng) $A$ 是對(duì)稱矩陣，并且所有特征值都是非負(fù)的時(shí)候肉渴，那么奇異值分解跟特征值分解沒有什么不同公荧。首先我們定義 $M=AA^{T}$ （注意我們要求的還是 $A$ ， $M$ 只是我們構(gòu)造出來的對(duì)稱矩陣同规，并且這樣構(gòu)造出來的矩陣一定是對(duì)稱的循狰，因?yàn)? $M^{T}=(AA^{T})^{T}=AA^{T}=M$ ），并假設(shè)我們可以對(duì)矩陣 $M$ 進(jìn)行 SVD：

以上式子是基于三條定理（上面都提過的）：

$(BC)^{T}=C^{T}B^{T}$
$V^{T} = V^{-1}券勺，V^{-1}V=I$ 绪钥， $V$ 是正交矩陣
$S^{T}=S$ ， $S$ 是對(duì)角矩陣

看到 $M=US^{2}U^{T}$ 的形式关炼，有木有恍然大悟~ 這其實(shí)就是 $M$ 的特征值分解程腹， $U$ 相當(dāng)于上面的 $Q$ ， $S^2$ 相當(dāng)于上面的 $D$ 儒拂。所以我們發(fā)現(xiàn) 矩陣的奇異值就是它和自身轉(zhuǎn)置的乘積的特征值的平方根寸潦，左奇異向量就是它和自身轉(zhuǎn)置的乘積 ( $AA^{T}$ ) 的特征向量，右奇異向量就是自身轉(zhuǎn)置和自身乘積 ( $A^{T}A$ )的特征向量社痛。

做個(gè)題鞏固一下：

$M$ 是上一節(jié)的矩陣见转，我們知道它的特征值為 $\lambda_{1} = 2.618,\lambda_{2} = 0.382$ ，特征向量為 $(0.8507,0.5257),(-0.5257,0.8507)$ 蒜哀。所以 $U=\begin{bmatrix}0.8507 & -0.5257 \\ 0.5257 & 0.8507 \end{bmatrix}斩箫，S^{2} = \begin{bmatrix}2.618 & 0 \\ 0 & 0.382\end{bmatrix}$ ，所以 $S = \begin{bmatrix}\sqrt{2.618} & 0 \\ 0 & \sqrt{0.382}\end{bmatrix}$ 。又因?yàn)? $A=USV^{T}$ 校焦，所以將 $US$ 帶入得：

將 $A=USV^{T}$ 稍微變換一下形式成：

S

是對(duì)角矩陣赊抖，所以

S^{-1}

就是在對(duì)應(yīng)位置上的倒數(shù)。我們使用

\sigma_{i}

（sigma）來標(biāo)記奇異值再說一次~寨典，對(duì)于對(duì)稱矩陣來說氛雪，奇異值和特征值是沒有區(qū)別的。

常見問題解答（FAQ）

為什么矩陣乘法要定義成這個(gè)亞子耸成，不能對(duì)應(yīng)元素相乘嘛报亩？
答：為了良好的計(jì)算屬性，為了方便（我 瞎翻譯 的井氢，不過大概就是這個(gè)意思弦追，感興趣可以去看原文）
有時(shí)特征值和奇異值是一回事，有時(shí)一個(gè)是另一個(gè)的平方花竞。哪個(gè)是對(duì)的?
答：對(duì)于 實(shí)數(shù)對(duì)稱矩陣劲件，并且它的特征值不是負(fù)數(shù)，那么它的特征值和奇異值就是一樣的约急。如果 $A$ 不是對(duì)稱的零远，就構(gòu)建 $M=AA^{T}$ ， $M$ 是對(duì)稱的并且有非負(fù)的特征值厌蔽，并且 $A$ 和 $A^{T}$ 的特征值是一樣的牵辣，為 $M$ 的特征值（奇異值）的平方根。

作業(yè)中的定理

如果矩陣的列是正交的奴饮，那么行也是正交的
對(duì)角矩陣的奇異值使其對(duì)角元素
對(duì)于三個(gè) 3D 向量 $a,b,c$ 纬向，存在 $|abc|=a\times\cdot{c}$
$a,b,c$ 組成的空間 四面體 的體積是 $|abc|/6$

最后編輯于：2021.06.07 08:42:59

?著作權(quán)歸作者所有,轉(zhuǎn)載或內(nèi)容合作請(qǐng)聯(lián)系作者

人面猴
序言：七十年代末戴卜，一起剝皮案震驚了整個(gè)濱河市逾条，隨后出現(xiàn)的幾起案子，更是在濱河造成了極大的恐慌投剥，老刑警劉巖师脂，帶你破解...
沈念sama閱讀 206,968評(píng)論 6贊 482
死咒
序言：濱河連續(xù)發(fā)生了三起死亡事件，死亡現(xiàn)場(chǎng)離奇詭異薇缅，居然都是意外死亡，警方通過查閱死者的電腦和手機(jī)攒磨，發(fā)現(xiàn)死者居然都...
沈念sama閱讀 88,601評(píng)論 2贊 382
救了他兩次的神仙讓他今天三更去死
文/潘曉璐我一進(jìn)店門泳桦，熙熙樓的掌柜王于貴愁眉苦臉地迎上來，“玉大人娩缰，你說我怎么就攤上這事灸撰。” “怎么了？”我有些...
開封第一講書人閱讀 153,220評(píng)論 0贊 344
道士緝兇錄：失蹤的賣姜人
文/不壞的土叔我叫張陵浮毯，是天一觀的道長(zhǎng)完疫。經(jīng)常有香客問我，道長(zhǎng)债蓝，這世上最難降的妖魔是什么壳鹤？我笑而不...
開封第一講書人閱讀 55,416評(píng)論 1贊 279
?港島之戀（遺憾婚禮）
正文為了忘掉前任，我火速辦了婚禮饰迹，結(jié)果婚禮上芳誓，老公的妹妹穿的比我還像新娘。我一直安慰自己啊鸭，他們只是感情好锹淌，可當(dāng)我...
茶點(diǎn)故事閱讀 64,425評(píng)論 5贊 374
惡毒庶女頂嫁案：這布局不是一般人想出來的
文/花漫我一把揭開白布。她就那樣靜靜地躺著赠制，像睡著了一般赂摆。火紅的嫁衣襯著肌膚如雪。梳的紋絲不亂的頭發(fā)上钟些，一...
開封第一講書人閱讀 49,144評(píng)論 1贊 285
城市分裂傳說
那天烟号，我揣著相機(jī)與錄音，去河邊找鬼厘唾。笑死褥符，一個(gè)胖子當(dāng)著我的面吹牛，可吹牛的內(nèi)容都是我干的抚垃。我是一名探鬼主播喷楣，決...
沈念sama閱讀 38,432評(píng)論 3贊 401
雙鴛鴦連環(huán)套：你想象不到人心有多黑
文/蒼蘭香墨我猛地睜開眼，長(zhǎng)吁一口氣：“原來是場(chǎng)噩夢(mèng)啊……” “哼鹤树！你這毒婦竟也來了铣焊？” 一聲冷哼從身側(cè)響起，我...
開封第一講書人閱讀 37,088評(píng)論 0贊 261
萬榮殺人案實(shí)錄
序言：老撾萬榮一對(duì)情侶失蹤罕伯，失蹤者是張志新（化名）和其女友劉穎曲伊，沒想到半個(gè)月后，有當(dāng)?shù)厝嗽跇淞掷锇l(fā)現(xiàn)了一具尸體追他，經(jīng)...
沈念sama閱讀 43,586評(píng)論 1贊 300
?護(hù)林員之死
正文獨(dú)居荒郊野嶺守林人離奇死亡坟募，尸身上長(zhǎng)有42處帶血的膿包…… 初始之章·張勛以下內(nèi)容為張勛視角年9月15日...
茶點(diǎn)故事閱讀 36,028評(píng)論 2贊 325
?白月光啟示錄
正文我和宋清朗相戀三年，在試婚紗的時(shí)候發(fā)現(xiàn)自己被綠了邑狸。大學(xué)時(shí)的朋友給我發(fā)了我未婚夫和他白月光在一起吃飯的照片懈糯。...
茶點(diǎn)故事閱讀 38,137評(píng)論 1贊 334
活死人
序言：一個(gè)原本活蹦亂跳的男人離奇死亡，死狀恐怖单雾，靈堂內(nèi)的尸體忽然破棺而出赚哗，到底是詐尸還是另有隱情她紫，我是刑警寧澤，帶...
沈念sama閱讀 33,783評(píng)論 4贊 324
?日本核電站爆炸內(nèi)幕
正文年R本政府宣布屿储，位于F島的核電站贿讹，受9級(jí)特大地震影響，放射性物質(zhì)發(fā)生泄漏够掠。R本人自食惡果不足惜民褂，卻給世界環(huán)境...
茶點(diǎn)故事閱讀 39,343評(píng)論 3贊 307
男人毒藥：我在死后第九天來索命
文/蒙蒙一、第九天我趴在偏房一處隱蔽的房頂上張望祖屏。院中可真熱鬧助赞，春花似錦、人聲如沸袁勺。這莊子的主人今日做“春日...
開封第一講書人閱讀 30,333評(píng)論 0贊 19
一樁弒父案，背后竟有這般陰謀
文/蒼蘭香墨我抬頭看了看天上的太陽期丰。三九已至群叶，卻和暖如春，著一層夾襖步出監(jiān)牢的瞬間钝荡，已是汗流浹背街立。一陣腳步聲響...
開封第一講書人閱讀 31,559評(píng)論 1贊 262
情欲美人皮
我被黑心中介騙來泰國打工，沒想到剛下飛機(jī)就差點(diǎn)兒被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留埠通，地道東北人赎离。一個(gè)月前我還...
沈念sama閱讀 45,595評(píng)論 2贊 355
代替公主和親
正文我出身青樓，卻偏偏與公主長(zhǎng)得像端辱，于是被迫代替她去往敵國和親梁剔。傳聞我的和親對(duì)象是個(gè)殘疾皇子，可洞房花燭夜當(dāng)晚...
茶點(diǎn)故事閱讀 42,901評(píng)論 2贊 345