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如果你問(wèn)蘋(píng)果手機(jī)上的Siri赐俗，“零除以零等于多少”拉队，它會(huì)顯示：

但是，英文版的Siri還會(huì)用語(yǔ)音說(shuō)這一段話：

“假如你有0塊餅干阻逮，要分給0個(gè)朋友粱快，每個(gè)人能分到幾塊？你看，這個(gè)問(wèn)題沒(méi)有任何意義吧事哭？甜餅怪會(huì)難過(guò)漫雷，因?yàn)闆](méi)有餅干吃，而你也會(huì)難過(guò)鳍咱，因?yàn)槟阋粋€(gè)朋友都沒(méi)有降盹。”

（中文版也會(huì)谤辜，但言辭就沒(méi)那么傷人了……）

拋開(kāi)這個(gè)傷人的回答不論（有朋友誰(shuí)特么會(huì)跟你聊天啊喂Ｐ罨怠），除以零確實(shí)是個(gè)困擾很多人的問(wèn)題丑念。十除以二等于五涡戳，六除以三等于二，一除以零是多少脯倚？小學(xué)數(shù)學(xué)就會(huì)告訴你渔彰，答案是不能除。但是為什么推正？零也是個(gè)數(shù)字恍涂，它到底哪里特殊了？

小學(xué)篇

小學(xué)算術(shù)里舔稀，這個(gè)問(wèn)題很簡(jiǎn)單乳丰。那時(shí)我們把除法定義成“把一個(gè)東西分成幾份”，分成一二三四五六七份都很容易想象内贮，但是你要怎么把10個(gè)餅干分給0個(gè)人呢产园？想象不出來(lái)嘛！所以不能除夜郁。

敏銳的同學(xué)可能會(huì)想到什燕，要是0個(gè)餅干分給0個(gè)人的話，本來(lái)無(wú)一物竞端，好像就沒(méi)關(guān)系了屎即。但既然無(wú)物也無(wú)人，每個(gè)人分得多少都是可能的呀事富，根本無(wú)法給出一個(gè)單一確定的數(shù)值技俐。

這結(jié)論沒(méi)錯(cuò)，但這都是憑直覺(jué)而得到的東西统台。你想象不出來(lái)雕擂，不一定意味著它沒(méi)有。遠(yuǎn)古時(shí)代的數(shù)學(xué)是建立在直覺(jué)上的贱勃，買(mǎi)菜是夠用了井赌，但要進(jìn)一步發(fā)展谤逼，就必須要有定義和證明——所以，我們上了中學(xué)仇穗。

初中篇

現(xiàn)在我們開(kāi)始接觸最最基本的代數(shù)學(xué)——也就是解方程流部。我們發(fā)現(xiàn)，除法和乘法互為逆運(yùn)算纹坐，所以問(wèn)

1 / 0 = ?

就等于是解方程

0 * x = 1

好了枝冀，按照定義，0乘以任何數(shù)都是0恰画，不可能等于1宾茂，所以滿足x的數(shù)字不存在，所以不能除拴还。

同樣跨晴，如果問(wèn)

0 / 0 = ?

就等于是解方程

0 * x = 0

同理，任何數(shù)字都可以滿足x片林，所以也不能除——無(wú)法確定一個(gè)單一的答案端盆。

高中篇

等到接觸了基本的形式邏輯，我們又會(huì)發(fā)現(xiàn)另一種證明方式：反證法费封。

一堆真的表述焕妙，不能推出一個(gè)假的表述，所以如果我們用“能夠正常地除以零”加上別的一堆真表述弓摘，最后推出假的來(lái)焚鹊，那只能說(shuō)明“除以零”這件事情不成立了。

所以韧献，已知

0 * 1 = 0

0 * 2 = 0

推出 ?0 * 1 = 0 * 2

兩邊同時(shí)除以零末患，得到 ( 0 / 0 ) * 1 = ( 0 / 0 ) * 2

化簡(jiǎn)得到 1 = 2。這顯然是錯(cuò)的啦锤窑。

那么璧针，問(wèn)題解決了吧！其實(shí)還沒(méi)有渊啰。想想另一個(gè)問(wèn)題：-1的平方根是多少探橱？

你可能會(huì)說(shuō)，-1不能開(kāi)平方根绘证，因?yàn)樗袛?shù)的平方都是非負(fù)的隧膏。但是這說(shuō)的是實(shí)數(shù)，我要是增加一個(gè)定義呢嚷那？定義i^2=-1胞枕，這就創(chuàng)造出了虛數(shù)，于是-1也能開(kāi)平方根了车酣。

那么曲稼，為何不能定義一個(gè)“新”的數(shù)，讓 1 / 0 也等于它湖员，并為這個(gè)數(shù)設(shè)立一套運(yùn)算法則呢贫悄？這就得去大學(xué)里回答了。

大一篇

剛學(xué)微積分課程就會(huì)立刻接觸到∞這個(gè)符號(hào)娘摔。咦窄坦，這不就是“無(wú)限”嘛。我們都學(xué)了極限的概念了凳寺，那么我令b趨向于0鸭津，然后把a(bǔ)/b的極限定義為無(wú)窮，不行嗎肠缨？

這就立刻遇到一個(gè)問(wèn)題逆趋，它的左極限和右極限不一樣啊。b是從負(fù)的那頭靠近0晒奕，還是正的那頭闻书？這一個(gè)是越來(lái)越負(fù)，一個(gè)是越來(lái)越正脑慧，碰不到一起去魄眉。這樣的極限是沒(méi)法定義的。

因此闷袒，微積分課程里會(huì)反復(fù)說(shuō)坑律，雖然用到了∞這個(gè)符號(hào)，但是這只是代表一個(gè)趨勢(shì)囊骤，絕對(duì)不是一個(gè)真正的數(shù)晃择，不可參與運(yùn)算。

大二篇

那么吸取教訓(xùn)淘捡，我不用現(xiàn)成符號(hào)了藕各，我直接定義 ?1 / 0 ?= w，w是個(gè)“無(wú)限大”的數(shù)焦除，不碰什么極限激况，你總沒(méi)話說(shuō)了吧！

然而膘魄，定義不是說(shuō)來(lái)就來(lái)的乌逐，你雖然可以隨便定義東西，但定義完了如果和現(xiàn)有的其他系統(tǒng)矛盾创葡，那就不能用浙踢，或者很不好用。

而我們面對(duì)w立刻就遇到了問(wèn)題灿渴。首先洛波，w要怎么放入基本的加減乘除體系里胰舆？1 + w等于多少？w - w等于多少蹬挤？如果你造了一個(gè)數(shù)缚窿，卻連加減乘除都不能做，那就不是很有用對(duì)吧焰扳。

比如直覺(jué)上倦零，1+ w 應(yīng)該等于 w，它都無(wú)限了嘛吨悍！ 而 w - w 則等于0扫茅，自己減自己嘛！

但這樣立刻會(huì)和加法里極其重要的“結(jié)合律”產(chǎn)生矛盾： 1 + ( w - w ) = 1 + 0 = 1育瓜，可是( 1 + w ) - w = w - w = 0葫隙。結(jié)合律是加法里非常基本的東西躏仇，為了一個(gè)w停蕉，連結(jié)合律都不要了，這成本有點(diǎn)大——不光是結(jié)合律本身钙态，多少數(shù)學(xué)定理證明過(guò)程中不自覺(jué)都用了它慧起，扔了它就都得重來(lái)，建立新體系册倒。新體系不是不能建蚓挤，但是費(fèi)心費(fèi)力又（暫時(shí)）無(wú)卵用，所以大家還是在老實(shí)用舊的——而舊的里面驻子，為了保住結(jié)合律灿意，就不能這么玩。

歡迎讀者們發(fā)揮自己的想象力崇呵，嘗試為 w 給出運(yùn)算方式缤剧。但是你會(huì)發(fā)現(xiàn)，無(wú)論怎么規(guī)定w和別的數(shù)字之間的關(guān)系域慷，只要你還堅(jiān)持 1 / 0 = w荒辕，你就沒(méi)法讓它和你從小學(xué)習(xí)的基本數(shù)學(xué)不矛盾。還是那句話犹褒，你可以另立門(mén)戶抵窒，在w的基礎(chǔ)上建立起你的新數(shù)學(xué)，但它和大部分傳統(tǒng)數(shù)學(xué)是不相容的叠骑，而且肯定會(huì)非常不好用李皇，所以我們用了一個(gè)不能除以零的體系是非常合理的。

大三篇

你可能會(huì)提出反對(duì)：有那么多的定義方式宙枷，我都試過(guò)掉房？要是沒(méi)試過(guò)茧跋，我怎么知道不會(huì)某一天冒出來(lái)一個(gè)能夠自洽的辦法？

“新發(fā)現(xiàn)推翻舊結(jié)論”這種事情卓囚，在生物里可以有厌衔，化學(xué)里可以有，物理里可以有捍岳，唯獨(dú)數(shù)學(xué)里沒(méi)有。因?yàn)閿?shù)學(xué)建立在邏輯上睬隶，個(gè)案有例外锣夹，邏輯沒(méi)有例外。當(dāng)然我們的數(shù)學(xué)還沒(méi)有完成最終公理化苏潜，還要面對(duì)哥德?tīng)柕挠撵`银萍，但至少在這個(gè)例子里，如果w是一個(gè)真正的數(shù)恤左，那它就違反了一些非常重要的公理贴唇，而這些公理的地位可是非常之深。

比如有一組基本的公理叫“皮亞諾公理”飞袋，其中有一條說(shuō)戳气，每一個(gè)確定的自然數(shù)都有一個(gè)確定的后繼，后繼也是自然數(shù)巧鸭；另一條說(shuō)瓶您，自然數(shù)b=c，當(dāng)且僅當(dāng)b的后繼=c的后繼纲仍。

那w是誰(shuí)的后繼呢——或者說(shuō)呀袱，誰(shuí)加上1能得到w呢？顯然所有其他的數(shù)字都已經(jīng)有了自己的后繼郑叠，w在其中沒(méi)有位置夜赵，沒(méi)有任何其他的數(shù)加上1能成為w。那么就只能是1+w=w了乡革，可那就直接和第二句話矛盾寇僧。而沒(méi)有皮亞諾公理，整個(gè)自然數(shù)的體系都不能成立沸版。

這里假定w是自然數(shù)婉宰。其他情況會(huì)略微復(fù)雜一些，但無(wú)論如何推穷，類(lèi)似的事情發(fā)生在w的各種定義里心包。如果你想把w當(dāng)成一個(gè)數(shù)，那就沒(méi)法和我們現(xiàn)有的實(shí)數(shù)兼容馒铃。所以我們?cè)趲缀跛袌?chǎng)合下都只能宣布蟹腾，不能除以0痕惋。

大四以上篇

既然我們之前說(shuō)了個(gè)“幾乎”，那就是有例外的——在個(gè)別奇葩場(chǎng)合下娃殖，可以值戳。

比如有一個(gè)東西叫做“復(fù)無(wú)窮”，它是擴(kuò)充復(fù)平面上的一個(gè)點(diǎn)炉爆，真的是有定義的一個(gè)點(diǎn)堕虹。在這個(gè)特殊的規(guī)則下你可以寫(xiě)下 1 / 0 = ∞ 這樣一個(gè)表達(dá)式。這么做的原因就說(shuō)來(lái)話長(zhǎng)了芬首，但它不是平常意義上的運(yùn)算——比如你不能把0拿回來(lái)赴捞，不能寫(xiě) 1 = 0 * ∞。

另外郁稍，“無(wú)窮”二字在一些別的場(chǎng)合下是可以當(dāng)成一個(gè)“東西”去對(duì)待的赦政。比如當(dāng)你衡量一個(gè)集合的大小的時(shí)候，它可以是無(wú)窮大的耀怜。但這就有很多種不同的無(wú)窮大了——自然數(shù)是無(wú)窮多的恢着，有理數(shù)是無(wú)窮多的，實(shí)數(shù)也是無(wú)窮多的财破，可是奇數(shù)和偶數(shù)和正整數(shù)和負(fù)整數(shù)和自然數(shù)和有理數(shù)都一樣多掰派，而實(shí)數(shù)卻比它們都多！同樣是無(wú)窮左痢，有的無(wú)窮比別的無(wú)窮更無(wú)窮碗淌。但這就是另一個(gè)話題了，打住抖锥。

總結(jié)篇

所以亿眠，當(dāng)我們說(shuō)不能除以零的時(shí)候，理由……竟然出乎意料地充足磅废。有許多直覺(jué)在數(shù)學(xué)里被推翻了纳像，但是這一條沒(méi)有。我們有種種數(shù)學(xué)上的方式去證明它無(wú)法成立的原因拯勉，雖然也許聽(tīng)起來(lái)不如Siri的回答那么心暖（或者心寒）竟趾，但這些理性的愉悅也是一種美麗，對(duì)吧宫峦？

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