深度學習擴展_最大似然估計

極大似然估計该面,通俗理解來說夭苗,就是利用已知的樣本結果信息,反推最具有可能(最大概率)導致這些樣本結果出現(xiàn)的模型參數(shù)值隔缀!

換句話說题造,極大似然估計提供了一種給定觀察數(shù)據(jù)來評估模型參數(shù)的方法,即:“模型已定猾瘸,參數(shù)未知”界赔。

例如,我們假定模型服從于正態(tài)分布牵触,但是不知道均值和方差淮悼;或者是二項分布,但是不知道均值揽思。


Q(x;θ)輸入有兩個:x表示某一個具體的數(shù)據(jù)袜腥; θ表示模型的參數(shù)

如果x是已知確定的,θ是變量钉汗,這個函數(shù)叫做似然函數(shù)(likelihood function), 它描述對于不同的模型參數(shù)θ羹令,出現(xiàn)x這個樣本點的概率是多少。

θ_{ML}=\underset{θ}{\arg \max}\ Q(\mathbf{x};θ)=\underset{θ}{\arg \max} \prod_{i}^{m} Q(x_{i};θ)=\underset{θ}{\arg \max} \sum_{i}^{m} \ln Q(x_{i};θ)

由于重新縮放\sum_{i}^{m} \ln Q(x_{i};θ)并不會改變\underset{θ}{\arg \max} 的結果损痰,即θ_{ML}=\underset{θ}{\arg \max} \frac{1}{m}\sum_{i}^{m} \ln Q(x_{i};θ)=\underset{θ}{\arg \max}\ \mathbb{E}_{\mathbf{x} \sim P}[\ln Q(\mathbf{x};θ)]

m趨于無窮的時候特恬,最大似然函數(shù)是最好的漸進估計(也就是說對參數(shù)估計的準確度最高)

上面說到期望就是平均數(shù)隨樣本趨于無窮的極限,那么這句話是什么意思呢徐钠?

我們還是以上面的擲骰子為例子:

如果我們擲了無數(shù)次的骰子,然后將其中的點數(shù)進行相加役首,然后除以他們擲骰子的次數(shù)得到均值尝丐,這個有無數(shù)次樣本得出的均值就趨向于期望显拜。

個人理解:均值為多個隨機變量的和再除以個數(shù),相當于還是一個隨機變量爹袁,當數(shù)量足夠多的時候远荠,這個隨機變量會收斂,這個收斂的值為期望

由于 P與模型無關失息,即\arg \min \mathbb{E}_{x \sim P}[\ln P(x)-\ln Q(x)] \Leftrightarrow \arg \min \mathbb{E}_{x \sim P}[-\ln Q(x)]\Leftrightarrow \arg \max\ \mathbb{E}_{x \sim P}[\ln Q(x)]

所以一種解釋最大似然的觀點是將它看作最小化訓練集上的經(jīng)驗分布P和模型分布Q之間的差異譬淳,可以通過KL散度來度量。

需要注意的是這種方法雖然簡單盹兢,但是結果準確度嚴重依賴于 假設的模型分布Q?是否符合 潛在的真實分布邻梆。不能靠瞎猜就確定模型分布

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