關(guān)注數(shù)學(xué)素養(yǎng)攀甚，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界
——數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在“運(yùn)算律”教學(xué)中的培養(yǎng)
樂平市第九小學(xué)蔣銘國
數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是具有數(shù)學(xué)基本特征的担忧、適應(yīng)學(xué)生個人終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的人的思維品質(zhì)與關(guān)鍵能力烦磁。主要包括數(shù)學(xué)抽象养匈、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模都伪、直觀想象呕乎、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析六個核心素養(yǎng)陨晶。六個核心素養(yǎng)并非相互分離楣嘁，而是密切聯(lián)系，融為一體的珍逸。數(shù)學(xué)來自于生活逐虚，又實踐于生活。數(shù)學(xué)教學(xué)的使命谆膳，就是讓我們的學(xué)生最終學(xué)會“用數(shù)學(xué)的眼睛看”世界叭爱，“用數(shù)學(xué)的思維想”世界，“用數(shù)學(xué)的語言說”世界漱病。
“用數(shù)學(xué)的眼睛看”世界买雾，離不開“數(shù)學(xué)抽象”和“直觀想象”；“用數(shù)學(xué)的思維想”世界杨帽，離不開“邏輯推理”和“數(shù)學(xué)運(yùn)算”漓穿；“用數(shù)學(xué)的語言說”世界，離不開“數(shù)學(xué)建淖⒂”和“數(shù)據(jù)分析”晃危。
最近在教學(xué)“運(yùn)算律”，包括加法交換律、乘法交換律僚饭、加法結(jié)合律震叮、乘法結(jié)合律和乘法分配律。現(xiàn)結(jié)合在運(yùn)算律教學(xué)中如何借助教學(xué)內(nèi)容培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)鳍鸵，談?wù)勛约捍譁\的認(rèn)識與思考苇瓣。
一、數(shù)學(xué)抽象和直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)
我們使用的教材是北師大版偿乖。運(yùn)算律教學(xué)安排在四年級上冊后半學(xué)期開始部分击罪。從它在教材中所處的位置來看，運(yùn)算律就是本冊教材中最重要的部分之一贪薪。
“直觀想象”是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化外邓，利用圖形理解和解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng)。主要包括：借助空間認(rèn)識事物的位置關(guān)系古掏、形態(tài)變化與運(yùn)動規(guī)律损话；利用圖形描述、分析數(shù)學(xué)問題槽唾；建立數(shù)與形的聯(lián)系丧枪，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型，探索解決問題的思路庞萍∨》常“數(shù)學(xué)抽象”是指舍去事物的一切物理屬性，得到數(shù)學(xué)研究對象的素養(yǎng)钝计。主要包括：從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系恋博、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)私恬，并且用數(shù)學(xué)符號或者術(shù)語予以表征债沮。簡而言之，抽象就是從現(xiàn)實世界進(jìn)入數(shù)學(xué)內(nèi)部本鸣，讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼睛看疫衩。“直觀想象”是“數(shù)學(xué)抽象”的基礎(chǔ)荣德，是“數(shù)學(xué)抽象”的起始階段闷煤，也是一種“數(shù)學(xué)抽象”，更是構(gòu)建與形成其他數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要基礎(chǔ)涮瞻。
縱觀教材上的每一個運(yùn)算律教學(xué)內(nèi)容安排鲤拿，都是提供情境圖或者現(xiàn)實背景圖，讓學(xué)生在現(xiàn)實背景中理解數(shù)量之間的關(guān)系署咽。這就是鞏固孩子的直觀想象能力近顷，也是進(jìn)一步促進(jìn)直觀想象能力的發(fā)展。直觀想象素養(yǎng)是孩子最基本的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。
例如：在加法結(jié)合律教材編排中幕庐，提供了兩副情境圖。以圖一為例家淤，畫面呈現(xiàn)是小猴异剥、松鼠、機(jī)靈狗在果園里分別摘桃30個絮重、梨40個和蘋果50個冤寿。算式：(30+40)+50與30+(40+50)分別表示什么？由于孩子具備了一定的直觀想象能力與生活經(jīng)驗青伤，于是能夠比較容易地敘述算式所表達(dá)的意義督怜。即使少數(shù)同學(xué)語言表達(dá)有所欠缺，但是也能夠做到心領(lǐng)神會狠角。
第一個算式所表達(dá)的含義是：先算桃和梨一共有多少個号杠？然后桃與梨的個數(shù)，再加上蘋果的個數(shù)丰歌，最后一共有多少個姨蟋？第二個算式所表達(dá)的含義是：先算梨和蘋果一共有多少個？然后再用桃的個數(shù)立帖，加上梨和蘋果的總數(shù)眼溶，最后一共是多少個？通過直觀想象晓勇，孩子不難發(fā)現(xiàn)：雖然他們算的順序有所不同堂飞，但是他們最終都是算了桃、梨和蘋果三種水果一共有多少個绑咱？所以最后的結(jié)果一定是相等的绰筛。在此教學(xué)過程當(dāng)中，直觀想象能力起到了重要作用描融，同時也得到了進(jìn)一步的發(fā)展别智。
在此基礎(chǔ)上引入字母表示數(shù)。用式子：（a+b）+c=a+（b+c）稼稿，表示加法結(jié)合律薄榛，清晰明了，表達(dá)準(zhǔn)確让歼。雖然之前一至三年級從來沒有學(xué)習(xí)過用字母表示數(shù)敞恋，但是孩子們積累了一定的生活經(jīng)驗，對字母a谋右、b硬猫、c也非常熟悉，只需要告訴孩子用字母代表數(shù)，進(jìn)行簡單的符號意識訓(xùn)練啸蜜，于是孩子們就能夠理解式子所表達(dá)的含義坑雅。
在這一教學(xué)過程當(dāng)中，孩子的數(shù)學(xué)抽象能力得到兩次鍛煉及培養(yǎng)衬横。首先是舍去情境裹粤，抽象出數(shù)字，從而用式子表示蜂林，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)在此情境中所進(jìn)行的數(shù)學(xué)運(yùn)算與數(shù)學(xué)活動遥诉。其次，從具體的數(shù)字當(dāng)中又抽象出字母噪叙。用含字母的式子來表示數(shù)量之間的一種運(yùn)算關(guān)系與運(yùn)算順序矮锈。這種抽象已經(jīng)脫離了具體的數(shù)字，字母可以代表任一數(shù)字睁蕾，而式子所表達(dá)的是數(shù)量之間的一種恒定的運(yùn)算關(guān)系苞笨，即某種運(yùn)算律。孩子數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)在此得到了充分的訓(xùn)練與發(fā)展子眶。
二猫缭、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的培養(yǎng)
“數(shù)學(xué)運(yùn)算”是指在明晰運(yùn)算對象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng)壹店。主要包括：理解運(yùn)算對象猜丹，掌握運(yùn)算法則，探究運(yùn)算思路硅卢，選擇運(yùn)算方法射窒，設(shè)計運(yùn)算程序，求得運(yùn)算結(jié)果等将塑÷龆伲“邏輯推理”是指從一些事實和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題的素養(yǎng)点寥。主要包括兩類：一類是從特殊到一般的推理艾疟，推理形式主要有歸納、類比敢辩；另一類是從一般到特殊的推理蔽莱，推理形式主要是演繹。數(shù)學(xué)運(yùn)算也是一種邏輯推理戚长，數(shù)學(xué)運(yùn)算為邏輯推理提供了一種載體與操作方式盗冷。數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理，是在直觀想象與數(shù)學(xué)抽象的基礎(chǔ)上同廉，對指向?qū)ο筮M(jìn)行的一種更高層次的數(shù)學(xué)思考與數(shù)學(xué)思維仪糖。
在加法結(jié)合律和乘法結(jié)合律的教學(xué)當(dāng)中柑司，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力可以得到很好的訓(xùn)練與發(fā)展，同是也可以提高學(xué)生的數(shù)感能力锅劝。學(xué)習(xí)運(yùn)算律攒驰，最終目的是提高運(yùn)算能力，讓我們能夠盡可能進(jìn)行簡便運(yùn)算故爵，提高數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)玻粪。所以在此部分內(nèi)容教學(xué)當(dāng)中，數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的訓(xùn)練可以得到淋漓盡致的展現(xiàn)稠集。
例如教材52頁：怎樣計算簡便奶段？想一想饥瓷，算一算剥纷。
57+288+43=
在這一題當(dāng)中，就是要求學(xué)生要能夠敏銳地發(fā)現(xiàn)57和43相加剛好是100呢铆，這既是對學(xué)生數(shù)感的一次訓(xùn)練與培養(yǎng)晦鞋，也是對學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的訓(xùn)練。
又如教材54頁：怎樣計算簡便棺克？想一想悠垛，算一算。
125×9×8=
在這一題當(dāng)中娜谊，同樣需要孩子觀察算式中運(yùn)算符號和數(shù)的特點确买。通過這題的訓(xùn)練，讓孩子明白纱皆，125×8等于1000湾趾，可以先算，有利簡便運(yùn)算派草。在后續(xù)的訓(xùn)練題當(dāng)中搀缠，要讓孩子明白25×4等于100，50×2等于100近迁，25×8等于200艺普，125×4等于500。在這些訓(xùn)練當(dāng)中鉴竭，孩子的數(shù)感得到增強(qiáng)歧譬，運(yùn)算能力得到大幅度的提升。
在“加法交換律和乘法交換律”搏存、“加法結(jié)合律”和“乘法結(jié)合律”三節(jié)教學(xué)內(nèi)容安排中的第一個環(huán)節(jié)缴罗，都是“觀察下面的式子，你能照樣子再寫一組嗎祭埂？說說你發(fā)現(xiàn)了什么面氓”ィ”在這一環(huán)節(jié)教學(xué)過程當(dāng)中，孩子的類比能力的培養(yǎng)舌界，可以得到充分的訓(xùn)練與培養(yǎng)掘譬。這是從特殊到特殊的邏輯推理。第二環(huán)節(jié)是借助情景或現(xiàn)實背景呻拌，理解式子成立的合理性與正確性葱轩。在第三環(huán)節(jié)當(dāng)中，引入字母表示數(shù)藐握，在數(shù)學(xué)抽象的基礎(chǔ)下靴拱，再次運(yùn)用歸納推理，從特殊到一般猾普，將邏輯推理素養(yǎng)的訓(xùn)練落到實處袜炕。
教材55頁第5題：淘氣是這樣計算24×25的。
? ?24×25
= 6×4×25
= 6×（4×25）
= 6×100
= 600
（1）你能看懂嗎初家？和同伴交流你的想法偎窘。
（2）試著運(yùn)用乘法交換律和乘法結(jié)合律進(jìn)行計算下面各題。
64×125? ? ? ? ? ? ? ? 125×25×32
這一題是一個能力提升題溜在。短時間之內(nèi)不一定能做到每個人都會陌知。但是這題對于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)非常有用。第一小題主要是考察學(xué)生的數(shù)感及數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)掖肋。第二小題就是重點培養(yǎng)孩子的類比推理能力仆葡。在前面學(xué)習(xí)當(dāng)中，當(dāng)孩子有了125×8等于1000志笼，25×4等于100的數(shù)感的前提條件下沿盅，然后再在已知運(yùn)算題的類比推理下，發(fā)現(xiàn)第一道題籽腕，64可以拆成8×8嗡呼，并且8和125相乘，剛好是1000皇耗。第二道題南窗，32可以拆成4×8，4和25相乘剛好是100郎楼，8和125相乘剛好是1000万伤，問題迎刃而解。這是數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理素養(yǎng)訓(xùn)練的最佳契機(jī)呜袁。
又如敌买，在學(xué)習(xí)了“加法交換律和乘法交換律”之后，教材51頁有一道題阶界，“減法和除法也滿足交換律嗎虹钮？舉例試一試聋庵。”雖然結(jié)果是不成立的芙粱，但是祭玉，這是孩子們進(jìn)行類比推理的一個良好契機(jī)，可以讓孩子進(jìn)行充分類比春畔，并且討論結(jié)果是否成立脱货，引導(dǎo)孩子養(yǎng)成類比的習(xí)慣，形成善于思考的品質(zhì)律姨，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)振峻。
三、數(shù)學(xué)建模和數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的培養(yǎng)
“數(shù)據(jù)分析”是指針對研究對象獲取數(shù)據(jù)择份，運(yùn)用統(tǒng)計方法對數(shù)據(jù)進(jìn)行整理扣孟、分析和推斷，形成關(guān)于研究對象知識的素養(yǎng)缓淹。主要包括：收集數(shù)據(jù)哈打，整理數(shù)據(jù)塔逃，提取信息讯壶，構(gòu)建模型，進(jìn)行推斷湾盗，獲得結(jié)論伏蚊。“數(shù)學(xué)建母穹啵”是對現(xiàn)實問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象躏吊，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)知識與方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng)帐萎。主要包括：在實際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題比伏、提出問題，分析問題疆导、建立模型赁项，求解結(jié)論，驗證結(jié)果并改進(jìn)模型澈段，最終解決實際問題悠菜。數(shù)學(xué)分析也是一種數(shù)學(xué)建模，它為數(shù)學(xué)建模提供了更為基礎(chǔ)的素材與思維方式败富。數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)悔醋，來源于直觀想象，數(shù)學(xué)抽象兽叮，數(shù)學(xué)運(yùn)算芬骄，邏輯推理猾愿，同時也為數(shù)學(xué)建模鋪設(shè)了更好的平臺，最終讓我們學(xué)會用數(shù)學(xué)的語言來表達(dá)世界账阻。
乘法分配律匪蟀，在這五個運(yùn)算律當(dāng)中是最難掌握的一個定律。教材以實際生活中的事例進(jìn)行引入宰僧，通過兩種不同的觀測角度計算出一共貼了多少塊瓷磚材彪？讓學(xué)生領(lǐng)悟到不同的算式，只是不同的觀察角度琴儿，所帶來了不同的思維方式的呈現(xiàn)段化。而思維的最終結(jié)果是計算貼了多少塊瓷磚，所指向的目的是一致的造成，是等值的显熏。從而得出這樣的兩個式子相等。順而進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象和歸納推理晒屎，得出乘法分配律喘蟆。為了讓這一結(jié)果深入孩子心里。教材引用了現(xiàn)實背景進(jìn)行進(jìn)一步的驗證鼓鲁，并且進(jìn)行了算理上的推導(dǎo)蕴轨。這一推導(dǎo)事實上是乘法分配律逆運(yùn)算的推導(dǎo)。正如小學(xué)一年級骇吭，學(xué)習(xí)減法是利用加法理解進(jìn)行學(xué)習(xí)的橙弱。
乘法分配律的應(yīng)用，更多的有賴于學(xué)生數(shù)據(jù)分析的素養(yǎng)燥狰。例如教材57頁：觀察34×72+34×28的特點并計算棘脐。
此題教學(xué)重點就是培養(yǎng)孩子的數(shù)據(jù)分析能力與素養(yǎng)。讓孩子通過觀察發(fā)現(xiàn)龙致，兩個乘法算式中都有34蛀缝。在此基礎(chǔ)上明白：表示72個34，加上28個34目代，一共有100個34屈梁。通過數(shù)據(jù)分析，讓學(xué)生明白這個式子符合乘法分配律的特征：中間是加法像啼，前后分別是乘法俘闯，并且在前后兩個乘法當(dāng)中有一個乘數(shù)是相同的，從而運(yùn)用乘法分配律的逆運(yùn)算進(jìn)行計算忽冻。
再如教材58頁第5題：媽媽給淘氣訂了一套可以自由組合的小柜子真朗，每個小柜子18元，柜門上每張貼畫2元僧诚，算一算遮婶，這套小柜子一共花了多少元蝗碎？
題目右側(cè)配圖6個小柜子。按照慣常的分類思想旗扑，孩子們可以容易地列出算式：18×6+2×6蹦骑。這一算式的算理是非常簡單的，也是孩子們很容易接受的臀防。在這一題的教學(xué)當(dāng)中眠菇，有必要培養(yǎng)孩子的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)。首先從算式的角度來看袱衷，兩個乘法中都有一個相同數(shù)6捎废。于是可以引導(dǎo)孩子通過乘法分配律，得出（18+2）×6致燥。其次登疗，可以引導(dǎo)孩子直接觀察圖。通過分析數(shù)據(jù)得出嫌蚤，每個小柜子18元辐益，柜子上的貼畫2元，也就是說脱吱，每個小柜子連同門上的貼畫一共20元智政。一共有6個這樣的柜子。這樣的話可以直接得出算式：（18+2）×6急凰。
在五個運(yùn)算律當(dāng)中女仰，加法交換律和乘法交換律猜年，由于孩子在過去的學(xué)習(xí)當(dāng)中抡锈，有了充分的學(xué)習(xí)體驗。因此掌握起來沒有難度乔外。加法結(jié)合律和乘法結(jié)合律的熟練運(yùn)用床三，有賴于運(yùn)算能力的提升，尤其是數(shù)感杨幼，發(fā)揮著重要的作用撇簿。“湊整”是思維的核心差购。乘法分配律掌握是有一定難度的四瘫，需要一定量的訓(xùn)練。
在訓(xùn)練到一定程度的時候欲逃，可以讓孩子形成數(shù)學(xué)建模的思想找蜜。當(dāng)然孩子沒必要了解建模的概念。當(dāng)孩子面對一個加法將兩個乘法算式連接起來的時候稳析，要有一個敏感度洗做。當(dāng)這兩個乘法算式當(dāng)中弓叛，有一個相同的乘數(shù)時，就滿足使用乘法分配律的條件诚纸，可以運(yùn)用乘法分配律的逆運(yùn)算進(jìn)行簡便運(yùn)算。
又如在教材58頁第6題：我們經(jīng)常用豎式來計算多位數(shù)乘法。
（1）你能結(jié)合乘法分配律解釋其中的道理嗎扬舒？
? 26×21
=26×（1+20）
=26×1+26×20
=26+520
=546
（2）嘗試運(yùn)用乘法分配律計算下面各題。
58×11? ? ? ? ? ? ? ? ? 47×102
在這一題的教學(xué)當(dāng)中井辆，可以引導(dǎo)孩子充分地體驗影钉，對比，聯(lián)系掘剪，想象平委，從而建立一種更高級形式的乘法分配律的模型。然后再把這種模型應(yīng)用于兩數(shù)相乘的乘法算式當(dāng)中夺谁。使原本需要列豎式解決的乘法算式廉赔，能夠直接采用乘法分配律通過遞等式計算，直接寫出答案匾鸥，達(dá)到簡便運(yùn)算的效果蜡塌。例如：? ? ? ? ? ? ? 47×102
=47×（100+2）
=47×100+47×2
=4700+94
=4794
數(shù)學(xué)建模，在各種數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)里面是層級最高的素養(yǎng)勿负。數(shù)學(xué)素養(yǎng)與數(shù)學(xué)能力歷經(jīng)直觀想象馏艾，數(shù)學(xué)抽象，數(shù)學(xué)運(yùn)算奴愉，邏輯推理琅摩，數(shù)據(jù)分析，最終形成數(shù)學(xué)建模锭硼，達(dá)到數(shù)學(xué)素養(yǎng)的金字塔塔尖部分房资。數(shù)學(xué)建模形成之后，又利用這種素養(yǎng)檀头，反觀我們的現(xiàn)實生活轰异，指導(dǎo)與改善我們生活，在條件與機(jī)會允許的情況下暑始，形成更高級的數(shù)學(xué)建模搭独。從而讓我們形成用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維理解世界廊镜，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界的能力牙肝。
