關(guān)注數(shù)學(xué)素養(yǎng)内边，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界
——數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在“運(yùn)算律”教學(xué)中的培養(yǎng)
數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是具有數(shù)學(xué)基本特征的曲稼、適應(yīng)學(xué)生個(gè)人終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的人的思維品質(zhì)與關(guān)鍵能力索绪。主要包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理贫悄、數(shù)學(xué)建模瑞驱、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算窄坦、數(shù)學(xué)分析六個(gè)核心素養(yǎng)唤反。
六個(gè)核心素養(yǎng)并非相互分離，而是密切聯(lián)系鸭津，融為一體的彤侍。數(shù)學(xué)來(lái)自于生活，又實(shí)踐于生活曙博。數(shù)學(xué)教學(xué)的使命拥刻，就是讓我們每一個(gè)參與學(xué)習(xí)的人怜瞒，最終達(dá)到父泳，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光認(rèn)識(shí)世界般哼，用數(shù)學(xué)的思維理解世界，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界惠窄。
用數(shù)學(xué)的眼光認(rèn)識(shí)世界蒸眠，離不開“數(shù)學(xué)抽象”和“直觀想象”；用數(shù)學(xué)的思維理解世界杆融，離不開“邏輯推理”和“數(shù)學(xué)運(yùn)算”楞卡；用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界，離不開“數(shù)學(xué)建钠⑿”和“數(shù)據(jù)分析”蒋腮。
最近在教學(xué)“運(yùn)算律”，包括加法交換律藕各、乘法交換律池摧、加法結(jié)合律、乘法結(jié)合律和乘法分配律〖た觯現(xiàn)結(jié)合在運(yùn)算律教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)談?wù)勛约旱拇譁\的思考作彤。
一、數(shù)學(xué)抽象和直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)
我們使用的教材是北師大版乌逐。運(yùn)算律教學(xué)安排在四年級(jí)上冊(cè)后半學(xué)期開始部分竭讳。從它在教材中所處的位置來(lái)看，運(yùn)算律就是本冊(cè)教材中最重要的部分浙踢。
“直觀想象”是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化绢慢，利用圖形理解和解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng)。主要包括：借助空間認(rèn)識(shí)事物的位置關(guān)系成黄、形態(tài)變化與運(yùn)動(dòng)規(guī)律呐芥；利用圖形描述、分析數(shù)學(xué)問題奋岁；建立數(shù)與形的聯(lián)系思瘟，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型，探索解決問題的思路闻伶”豕ィ“數(shù)學(xué)抽象”是指舍去事物的一切物理屬性，得到數(shù)學(xué)研究對(duì)象的素養(yǎng)蓝翰。主要包括：從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系光绕、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)畜份，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言予以表征诞帐。
“直觀想象”是“數(shù)學(xué)抽象”的基礎(chǔ)，是“數(shù)學(xué)抽象”的起始階段爆雹，也是一種“數(shù)學(xué)抽象”停蕉。也是構(gòu)建與形成其他數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要基礎(chǔ)愕鼓。
縱觀教材上的每一個(gè)運(yùn)算律教學(xué)安排，都是提供情境圖或者現(xiàn)實(shí)背景圖慧起，讓學(xué)生在現(xiàn)實(shí)背景中理解數(shù)量之間的關(guān)系菇晃。這就是鞏固孩子的直觀想象能力，也是進(jìn)一步促進(jìn)直觀想象能力的發(fā)展蚓挤。直觀想象素養(yǎng)是孩子最基本的數(shù)學(xué)素養(yǎng)磺送。
例如：在加法結(jié)合律教材編排中，提供了兩副情境圖灿意。以圖一為例估灿，畫面呈現(xiàn)是小猴、松鼠缤剧、機(jī)靈狗甲捏，在果園里分別摘桃30個(gè)、梨40個(gè)和蘋果50個(gè)鞭执。算式：(30+40)+50與30+(40+50)分別表示什么司顿？由于孩子具備了一定的直觀想象能力與生活經(jīng)驗(yàn)，于是能夠比較容易的敘述算式所表達(dá)的意義兄纺。即使少數(shù)同學(xué)語(yǔ)言表達(dá)有所欠缺大溜，但是也能夠做到心領(lǐng)神會(huì)。
第一個(gè)算式所表達(dá)的含義是：先算桃和梨一共有多少個(gè)估脆？然后桃與梨的個(gè)數(shù)钦奋，再加上蘋果的個(gè)數(shù)，最后一共有多少個(gè)疙赠？第二個(gè)算式所表達(dá)的含義是：先算梨和蘋果一共有多少個(gè)付材？然后再用桃的個(gè)數(shù)加上，梨和蘋果的總數(shù)圃阳，最后一共是多少個(gè)厌衔？通過直觀想象，孩子不難發(fā)現(xiàn)：雖然他們算的順序有所不同捍岳，但是他們最終都是算了桃富寿、梨和蘋果三種水果一共有多少個(gè)？所以最后的結(jié)果一定是相等的锣夹。在此教學(xué)過程當(dāng)中页徐，直觀想象能力起到了重要作用，同時(shí)也得到了進(jìn)一步的發(fā)展银萍。
在此基礎(chǔ)上引入字母表示數(shù)变勇。用式子：（a+b）+c=a+（b+c），表示加法結(jié)合律贴唇，清晰明了搀绣，表達(dá)準(zhǔn)確赃梧。雖然之前一至三年級(jí)從來(lái)沒有學(xué)習(xí)過用字母表示數(shù)，但是孩子們掌握了一定的生活經(jīng)驗(yàn)豌熄，對(duì)字母abc也非常熟悉，只需要告訴孩子用字母代表數(shù)物咳，于是孩子們就能夠理解式子所表達(dá)的含義锣险。
在這一教學(xué)過程當(dāng)中，孩子數(shù)學(xué)抽象的能力得到兩次鍛煉培養(yǎng)览闰。首先是舍去情境芯肤，抽象出數(shù)字，從而用式子表示压鉴，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)在此情境中所進(jìn)行的數(shù)學(xué)運(yùn)算與數(shù)學(xué)活動(dòng)崖咨。其次末捣，從具體的數(shù)字當(dāng)中又抽象出字母寄锐。用含字母的式子來(lái)表示數(shù)量之間的一種運(yùn)算關(guān)系與運(yùn)算順序。這種抽象已經(jīng)脫離了具體的數(shù)字蕾久，它可以代表另一數(shù)字婉宰，他所表達(dá)的是數(shù)量之間的一種恒定的運(yùn)算關(guān)系歌豺，即某種運(yùn)算律。孩子數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)在此得到了充分的訓(xùn)練與發(fā)展心包。
二类咧、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的培養(yǎng)
“數(shù)學(xué)運(yùn)算”是指在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng)蟹腾，主要包括：理解運(yùn)算對(duì)象痕惋，掌握運(yùn)算法則，探究運(yùn)算思路娃殖，選擇運(yùn)算方法值戳，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，求得運(yùn)算結(jié)果等炉爆∈龉眩“邏輯推理”是指從一些事實(shí)和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題的素養(yǎng)叶洞。主要包括兩類：一類是從特殊到一般的推理鲫凶，推理形式主要有歸納、類比衩辟；另一類是從一般到特殊的推理螟炫，推理形式主要是演繹。
數(shù)學(xué)運(yùn)算也是一種邏輯推理艺晴，數(shù)學(xué)運(yùn)算為邏輯推理提供了一種載體與操作方式昼钻。數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理掸屡，是在直觀想象與數(shù)學(xué)抽象的基礎(chǔ)上，對(duì)指向?qū)ο筮M(jìn)行的一種更高層次的數(shù)學(xué)思考與數(shù)學(xué)思維然评。
在加法結(jié)合律和乘法結(jié)合律的教學(xué)當(dāng)中仅财，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力可以得到很好的訓(xùn)練與發(fā)展，同是也可以提高學(xué)生的數(shù)感能力碗淌。學(xué)習(xí)運(yùn)算律盏求，最終目的是提高運(yùn)算能力，讓我們能夠盡可能進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算亿眠。所以在此部分內(nèi)容教學(xué)當(dāng)中碎罚，數(shù)學(xué)運(yùn)算可以得到淋漓盡致的展現(xiàn)。
例如教材52頁(yè)：怎樣計(jì)算簡(jiǎn)便纳像？想一想荆烈，算一算。
57+288+43=□
在這一題當(dāng)中竟趾，就是要求學(xué)生要能夠敏銳的發(fā)現(xiàn)57和43相加剛好是一百憔购，這既是對(duì)學(xué)生數(shù)感的一次培養(yǎng)，也是對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的訓(xùn)練岔帽。
又如教材54頁(yè)：怎樣計(jì)算簡(jiǎn)便倦始？想一想，算一算山卦。
125×9×8=□
在這一題當(dāng)中鞋邑，同樣需要孩子觀察算式中運(yùn)算符號(hào)和數(shù)的特點(diǎn)。通過這題的訓(xùn)練账蓉，讓孩子明白枚碗，125×8等于1000，可以先算铸本，有利簡(jiǎn)便運(yùn)算肮雨。在后續(xù)的訓(xùn)練題當(dāng)中，要讓孩子明白25×4等于100箱玷，50×2等于100怨规，25×8等于200，125×4等于500锡足。在這些訓(xùn)練當(dāng)中波丰，孩子的數(shù)感得到增強(qiáng)，運(yùn)算能力得到大幅度的提升舶得。
在“加法交換律和乘法交換律”掰烟、“加法結(jié)合律”和“乘法結(jié)合律”三節(jié)教學(xué)內(nèi)容安排中的第一個(gè)環(huán)節(jié)，都是“觀察下面的式子，你能照樣子再寫一組嗎纫骑？說(shuō)說(shuō)你發(fā)現(xiàn)了什么蝎亚。”在這一環(huán)節(jié)教學(xué)過程當(dāng)中先馆，孩子的類比能力的培養(yǎng)发框，得到充分的訓(xùn)練與培養(yǎng)。這是從特殊到特殊的邏輯推理煤墙。第二環(huán)節(jié)是借助情景或現(xiàn)實(shí)背景梅惯，理解式子成立的合理性與正確性。在第三環(huán)節(jié)當(dāng)中番捂，引入字母表示數(shù)，在數(shù)學(xué)抽象的基礎(chǔ)下江解，再次運(yùn)用歸納推理设预，從特殊到一般，將邏輯推理素養(yǎng)的訓(xùn)練落到實(shí)處犁河。
教材55頁(yè)第五題：淘氣是這樣計(jì)算24×25的鳖枕。
? 24×25
=6×4×25
=6×（4×25）
=6×100
=600
（1）你能看懂嗎？和同伴交流你的想法桨螺。
（2）試著運(yùn)用乘法交換律和乘法結(jié)合律進(jìn)行計(jì)算下面各題宾符。
64×125? ? ? ? ? ? 125×25×32
這一題是一個(gè)提高題。短時(shí)間之內(nèi)不一定會(huì)做到每個(gè)人都會(huì)灭翔。但是這題對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)非常有用魏烫。第一小題主要是考察學(xué)生的數(shù)感及數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)。第二小題就是重點(diǎn)培養(yǎng)孩子的類比推理能力肝箱。在前面學(xué)習(xí)當(dāng)中哄褒，當(dāng)孩子有了125×8等于1000，25×4等于100的數(shù)感的前提條件下煌张，然后再在已知運(yùn)算題的呐赡，類比推理下，發(fā)現(xiàn)第一道題骏融，64可以拆成8×8链嘀，并且8和125相乘，剛好是一千档玻。第二道題怀泊，32可以拆成4×8，4和25相乘剛好是100误趴，8和125相乘剛好是1000包个，問題迎刃而解。這是數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理素養(yǎng)訓(xùn)練的最佳契機(jī)。
三碧囊、數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)分析素養(yǎng)的一樣
“數(shù)據(jù)分析”是指針對(duì)研究對(duì)象獲取數(shù)據(jù)树灶，運(yùn)用統(tǒng)計(jì)方法對(duì)數(shù)據(jù)娃行整理、分析和推斷糯而，形成關(guān)于研究對(duì)象知識(shí)的素養(yǎng)天通。主要包括：收集數(shù)據(jù)，整理數(shù)據(jù)熄驼，提職信息像寒，構(gòu)建模型，進(jìn)行推斷瓜贾，獲得結(jié)論诺祸。“數(shù)學(xué)建募缆”是對(duì)現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象筷笨，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)知識(shí)與與法構(gòu)建模型解法問題的素養(yǎng)龟劲。主要包括：在實(shí)際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題胃夏、提出問題，分析問題昌跌、建立模型仰禀，求解結(jié)論，驗(yàn)證結(jié)果并改進(jìn)模型蚕愤，最終解決實(shí)際問題答恶。
數(shù)學(xué)分析也是一種數(shù)學(xué)建模，他為數(shù)學(xué)建模提供了更為基礎(chǔ)的素材與思維方式萍诱。數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)亥宿，來(lái)源于直觀想象，數(shù)學(xué)抽象砂沛，數(shù)學(xué)運(yùn)算烫扼，邏輯推理，同時(shí)也為數(shù)學(xué)建模碍庵，鋪設(shè)了更好的平臺(tái)映企，最終讓我們學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言來(lái)表達(dá)世界。
乘法分配律静浴，在這五個(gè)運(yùn)算律當(dāng)中是最難掌握的一個(gè)定律堰氓。教材以實(shí)際生活中的事例進(jìn)行引入，通過兩種不同的觀測(cè)角度計(jì)算出一共貼了多少塊瓷磚苹享？讓學(xué)生領(lǐng)悟到不同的算式双絮，只是不同的觀察角度浴麻，所帶來(lái)了不同的思維方式。而思維的最終結(jié)果是計(jì)算貼了多少塊瓷磚囤攀，所指向的目的是一致的软免，是等值的。從而得出這樣的兩個(gè)式子相等焚挠。順勢(shì)進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象和歸納推理膏萧，得出乘法分配律。為了讓這一結(jié)果深入孩子心里蝌衔。教材引用了現(xiàn)實(shí)背景進(jìn)行進(jìn)一步的驗(yàn)證榛泛，并且進(jìn)行了算理上的推導(dǎo)。這一推導(dǎo)事實(shí)上是噩斟，乘法分配律逆運(yùn)算的推導(dǎo)曹锨。正如小學(xué)一年級(jí)，學(xué)習(xí)減法是利用加法理解進(jìn)行學(xué)習(xí)的剃允。
乘法分配律的應(yīng)用沛简，更多的有賴于學(xué)生數(shù)據(jù)分析的素養(yǎng)。例如教材57頁(yè)：觀察34×72+34×28的特點(diǎn)并計(jì)算硅急。
此題教學(xué)重點(diǎn)就是培養(yǎng)孩子的數(shù)據(jù)分析能力與素養(yǎng)覆享。讓孩子通過觀察發(fā)現(xiàn)佳遂，兩個(gè)乘法算式中都有34营袜。在此基礎(chǔ)上明白：表示72個(gè)34，加上28個(gè)34丑罪，一共有100個(gè)34荚板。通過數(shù)據(jù)分析，讓學(xué)生明白這個(gè)式子符合乘法分配律的特征吩屹，從而運(yùn)用乘法分配律的逆運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算跪另。
再如教材58頁(yè)第5題：媽媽給淘氣訂了一套可以自由組合的小柜子，每個(gè)小柜子18元煤搜，柜門上每張貼畫2元免绿，算一算，這套小柜子一共花了多少元擦盾？
題目右側(cè)配圖6個(gè)小柜子嘲驾。按照慣常的分類思想，孩子們可以容易的列出算式：18×6+2×6迹卢。這一算式的算理是非常簡(jiǎn)單的辽故，也是孩子們很容易接受的。在這一題的教學(xué)當(dāng)中腐碱，有必要培養(yǎng)孩子的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)誊垢。首先從膳食的角度來(lái)看，兩個(gè)乘法中都有一個(gè)相同數(shù)6。于是可以引導(dǎo)孩子通過乘法分配律喂走，得出（18+2）×6殃饿。其次，可以引導(dǎo)孩子直接觀察圖缴啡。通過分析數(shù)據(jù)得出壁晒，每個(gè)小柜子18元，柜子上的貼畫2元业栅，也就是說(shuō)秒咐，每個(gè)小柜子連同門上的貼畫一共20元。一共有這樣的六個(gè)柜子碘裕。這樣的話可以直接得出算式：（18+2）×6携取。
在五個(gè)運(yùn)算律當(dāng)中，加法交換律帮孔，和乘法交換律雷滋，由于孩子在過去的學(xué)習(xí)當(dāng)中，有了充分的學(xué)習(xí)體驗(yàn)文兢。因此掌握起來(lái)沒有難度晤斩。加法結(jié)合律和乘法結(jié)合律的熟練運(yùn)用，有賴于運(yùn)算能力的提升姆坚，尤其是數(shù)感的能力澳泵，發(fā)揮著重要的作用〖婧牵“湊整”是思維的核心兔辅。乘法分配律掌握是有一定難度的，需要一定量的訓(xùn)練击喂。
在訓(xùn)練到一定程度的時(shí)候维苔，可以讓孩子形成數(shù)學(xué)建模的思想。當(dāng)然孩子沒必要了解建模的概念懂昂。當(dāng)孩子面對(duì)一個(gè)加法將兩個(gè)乘法算式連接起來(lái)的時(shí)候介时，要有一個(gè)敏感度。當(dāng)這兩個(gè)乘法算式當(dāng)中凌彬，有一個(gè)相同的乘數(shù)時(shí)沸柔，就滿足使用乘法分配律的條件，可以運(yùn)用乘法分配律的逆運(yùn)算進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算饿序。
又如在教材58頁(yè)第6題：我們經(jīng)常用豎式來(lái)計(jì)算多位數(shù)乘法勉失。
（1）你能結(jié)合乘法分配律解釋其中的道理嗎？
? ? ? 26
×? ? 21
————
? ? ? 26
? ? 52
————
? ? 546
實(shí)際上是把21分成20+1進(jìn)行計(jì)算的原探。
? 26×21
=26×（1+20）
=26×1+26×20
=26+520
=546
（2）嘗試運(yùn)用乘法分配律計(jì)算下面各題乱凿。
58×11? ? ? ? ? 47×102
在這一題的教學(xué)當(dāng)中顽素，可以引導(dǎo)孩子充分的體驗(yàn)，對(duì)比徒蟆，聯(lián)系胁出，想象，從而建立一種更高級(jí)形式的乘法分配律的模型段审。然后再把這種模型應(yīng)用于兩數(shù)相乘的乘法算式當(dāng)中全蝶。使原本需要列豎式解決的乘法算式，能夠直接采用乘法分配律通過遞等式計(jì)算寺枉，直接寫出答案抑淫，達(dá)到簡(jiǎn)便運(yùn)算的效果。
數(shù)學(xué)建模姥闪，在各種數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)里面是層級(jí)最高的素養(yǎng)始苇。數(shù)學(xué)素養(yǎng)與數(shù)學(xué)能力歷經(jīng)直觀想象，數(shù)學(xué)抽象筐喳，數(shù)學(xué)運(yùn)算催式，邏輯推理，數(shù)據(jù)分析避归，最終形成數(shù)學(xué)建模荣月，達(dá)到數(shù)學(xué)素養(yǎng)的金字塔塔尖部分。數(shù)學(xué)建模形成之后梳毙，又利用這種素養(yǎng)哺窄，反觀我們的現(xiàn)實(shí)生活，指導(dǎo)與改善我們生活顿天，在條件與契機(jī)允許的情況下堂氯，形成更高級(jí)的數(shù)學(xué)建模蔑担。從而讓我們形成用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界牌废，用數(shù)學(xué)的思維理解世界，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界的能力啤握。
