ORTOOL線性規(guī)劃 斯蒂格勒飲食問題

斯蒂格勒飲食問題(The Stigler diet Problem)，給定人類一天所必須攝入的營養(yǎng) 和 每種食物的營養(yǎng)，求出在花費最小的情況下滿足人一天的營養(yǎng)需求洽瞬。

  1. 數(shù)據(jù)說明

①人體每天必須攝入的營養(yǎng)表

營養(yǎng)種類 最低攝入量
卡路里 (千卡) 3
蛋白質(zhì) (g) 70
鈣 (g) 0.8
鐵 (mg) 12
維生素A (KIU) 5
維生素B1 (mg) 1.8
維生素B2 (mg) 2.7
煙酸 (mg) 18
維生素C (mg) 75

②食物營養(yǎng)表

商品 卡路里 (千卡) 蛋白質(zhì) (g) 鈣 (g) 鐵 (mg) 維生素A (KIU) 維生素B1 (mg) 維生素B2 (mg) 煙酸 (mg) 維生素C (mg)
小麥粉（濃縮） 44.7 1411 2 365 0 55.4 33.3 441 0
通心粉 11.6 418 0.7 54 0 3.2 1.9 68 0
小麥谷物（濃縮） 11.8 377 14.4 175 0 14.4 8.8 114 0
玉米片 11.4 252 0.1 56 0 13.5 2.3 68 0
棒子面 36 897 1.7 99 30.9 17.4 7.9 106 0
玉米粥 28.6 680 0.8 80 0 10.6 1.6 110 0
米 21.2 460 0.6 41 0 2 4.8 60 0
燕麥片 25.3 907 5.1 341 0 37.1 8.9 64 0
白面包（濃縮） 15 488 2.5 115 0 13.8 8.5 126 0
全麥面包 12.2 484 2.7 125 0 13.9 6.4 160 0
黑麥面包 12.4 439 1.1 82 0 9.9 3 66 0
磅蛋糕 8 130 0.4 31 18.9 2.8 3 17 0
蘇打餅干 12.5 288 0.5 50 0 0 0 0 0
牛奶 6.1 310 10.5 18 16.8 4 16 7 177
煉乳（罐裝） 8.4 422 15.1 9 26 3 23.5 11 60
黃油 10.8 9 0.2 3 44.2 0 0.2 2 0
人造黃油 20.6 17 0.6 6 55.8 0.2 0 0 0
蛋 2.9 238 1 52 18.6 2.8 6.5 1 0
奶酪（切達干酪） 7.4 448 16.4 19 28.1 0.8 10.3 4 0
奶油 3.5 49 1.7 3 16.9 0.6 2.5 0 17
花生醬 15.7 661 1 48 0 9.6 8.1 471 0
蛋黃醬 8.6 18 0.2 8 2.7 0.4 0.5 0 0
克里斯科 20.1 0 0 0 0 0 0 0 0
豬油 41.7 0 0 0 0.2 0 0.5 5 0
沙朗牛排 2.9 166 0.1 34 0.2 2.1 2.9 69 0
圓牛排 2.2 214 0.1 32 0.4 2.5 2.4 87 0
烤肋排 3.4 213 0.1 33 0 0 2 0 0
查克烤 3.6 309 0.2 46 0.4 1 4 120 0
盤子 8.5 404 0.2 62 0 0.9 0 0 0
肝臟（牛肉） 2.2 333 0.2 139 169.2 6.4 50.8 316 525
羊腿 3.1 245 0.1 20 0 2.8 3.9 86 0
羊排（肋） 3.3 140 0.1 15 0 1.7 2.7 54 0
豬排 3.5 196 0.2 30 0 17.4 2.7 60 0
豬里脊烤 4.4 249 0.3 37 0 18.2 3.6 79 0
熏肉 10.4 152 0.2 23 0 1.8 1.8 71 0
火腿，煙熏 6.7 212 0.2 31 0 9.9 3.3 50 0
咸豬肉 18.8 164 0.1 26 0 1.4 1.8 0 0
烤雞 1.8 184 0.1 30 0.1 0.9 1.8 68 46
小牛肉片 1.7 156 0.1 24 0 1.4 2.4 57 0
三文魚，粉紅色（罐裝） 5.8 705 6.8 45 3.5 1 4.9 209 0
蘋果 5.8 27 0.5 36 7.3 3.6 2.7 5 544
香蕉 4.9 60 0.4 30 17.4 2.5 3.5 28 498
檸檬 1 21 0.5 14 0 0.5 0 4 952
橘子 2.2 40 1.1 18 11.1 3.6 1.3 10 1998
綠豆 2.4 138 3.7 80 69 4.3 5.8 37 862
卷心菜 2.6 125 4 36 7.2 9 4.5 26 5369
蘿卜 2.7 73 2.8 43 188.5 6.1 4.3 89 608
芹菜 0.9 51 3 23 0.9 1.4 1.4 9 313
萵苣 0.4 27 1.1 22 112.4 1.8 3.4 11 449
洋蔥 5.8 166 3.8 59 16.6 4.7 5.9 21 1184
土豆 14.3 336 1.8 118 6.7 29.4 7.1 198 2522
菠菜 1.1 106 0 138 918.4 5.7 13.8 33 2755
紅薯 9.6 138 2.7 54 290.7 8.4 5.4 83 1912
桃子（罐頭） 3.7 20 0.4 10 21.5 0.5 1 31 196
梨（罐頭） 3 8 0.3 8 0.8 0.8 0.8 5 81
菠蘿（罐裝） 2.4 16 0.4 8 2 2.8 0.8 7 399
蘆筍（罐頭） 0.4 33 0.3 12 16.3 1.4 2.1 17 272
綠豆（罐裝） 1 54 2 65 53.9 1.6 4.3 32 431
豬肉和豆類（罐頭） 7.5 364 4 134 3.5 8.3 7.7 56 0
玉米（罐頭） 5.2 136 0.2 16 12 1.6 2.7 42 218
豌豆（罐頭） 2.3 136 0.6 45 34.9 4.9 2.5 37 370
西紅柿（罐頭） 1.3 63 0.7 38 53.2 3.4 2.5 36 1253
番茄湯（罐裝） 1.6 71 0.6 43 57.9 3.5 2.4 67 862
桃子枢冤，干的 8.5 87 1.7 173 86.8 1.2 4.3 55 57
李子，干的 12.8 99 2.5 154 85.7 3.9 4.3 65 257
葡萄干铜秆，干的 13.5 104 2.5 136 4.5 6.3 1.4 24 136
豌豆淹真，干的 20 1367 4.2 345 2.9 28.7 18.4 162 0
利馬豆，干的 17.4 1055 3.7 459 5.1 26.9 38.2 93 0
海軍豆连茧，干的 26.9 1691 11.4 792 0 38.4 24.6 217 0
咖啡 0 0 0 0 0 4 5.1 50 0
茶 0 0 0 0 0 0 2.3 42 0
可可 8.7 237 3 72 0 2 11.9 40 0
巧克力 8 77 1.3 39 0 0.9 3.4 14 0
糖 34.9 0 0 0 0 0 0 0 0
玉米糖漿 14.7 0 0.5 74 0 0 0 5 0
糖蜜 9 0 10.3 244 0 1.9 7.5 146 0
草莓蜜餞 6.4 11 0.4 7 0.2 0.2 0.4 3 0

\color{green}{食物營養(yǎng)表} 中單位已經(jīng)和 \color{green}{人體每天必須攝入的營養(yǎng)表} 中一致

\color{green}{食物營養(yǎng)表} 表示每花\color{red}{1美元}買到表中各食物的營養(yǎng)量

  1. 準(zhǔn)備數(shù)據(jù)
    將上述數(shù)據(jù)變成數(shù)組趟咆，方便讀取
nutrients = [
    ['卡路里 (千卡)', 3],
    ['蛋白質(zhì) (g)', 70],
    ['鈣 (g)', 0.8],
    ['鐵 (mg)', 12],
    ['維生素A (KIU)', 5],
    ['維生素B1 (mg)', 1.8],
    ['維生素B2 (mg)', 2.7],
    ['煙酸 (mg)', 18],
    ['維生素C (mg)', 75],
]
data = [['小麥粉（濃縮）', 44.7, 1411, 2.0, 365, 0.0, 55.4, 33.3, 441, 0],
 ['通心粉', 11.6, 418, 0.7, 54, 0.0, 3.2, 1.9, 68, 0],
 ['小麥谷物（濃縮）', 11.8, 377, 14.4, 175, 0.0, 14.4, 8.8, 114, 0],
 ['玉米片', 11.4, 252, 0.1, 56, 0.0, 13.5, 2.3, 68, 0],
 ['棒子面', 36.0, 897, 1.7, 99, 30.9, 17.4, 7.9, 106, 0],
 ['玉米粥', 28.6, 680, 0.8, 80, 0.0, 10.6, 1.6, 110, 0],
 ['米', 21.2, 460, 0.6, 41, 0.0, 2.0, 4.8, 60, 0],
 ['燕麥片', 25.3, 907, 5.1, 341, 0.0, 37.1, 8.9, 64, 0],
 ['白面包（濃縮）', 15.0, 488, 2.5, 115, 0.0, 13.8, 8.5, 126, 0],
 ['全麥面包', 12.2, 484, 2.7, 125, 0.0, 13.9, 6.4, 160, 0],
 ['黑麥面包', 12.4, 439, 1.1, 82, 0.0, 9.9, 3.0, 66, 0],
 ['磅蛋糕', 8.0, 130, 0.4, 31, 18.9, 2.8, 3.0, 17, 0],
 ['蘇打餅干', 12.5, 288, 0.5, 50, 0.0, 0.0, 0.0, 0, 0],
 ['牛奶', 6.1, 310, 10.5, 18, 16.8, 4.0, 16.0, 7, 177],
 ['煉乳（罐裝）', 8.4, 422, 15.1, 9, 26.0, 3.0, 23.5, 11, 60],
 ['黃油', 10.8, 9, 0.2, 3, 44.2, 0.0, 0.2, 2, 0],
 ['人造黃油', 20.6, 17, 0.6, 6, 55.8, 0.2, 0.0, 0, 0],
 ['蛋', 2.9, 238, 1.0, 52, 18.6, 2.8, 6.5, 1, 0],
 ['奶酪（切達干酪）', 7.4, 448, 16.4, 19, 28.1, 0.8, 10.3, 4, 0],
 ['奶油', 3.5, 49, 1.7, 3, 16.9, 0.6, 2.5, 0, 17],
 ['花生醬', 15.7, 661, 1.0, 48, 0.0, 9.6, 8.1, 471, 0],
 ['蛋黃醬', 8.6, 18, 0.2, 8, 2.7, 0.4, 0.5, 0, 0],
 ['克里斯科', 20.1, 0, 0.0, 0, 0.0, 0.0, 0.0, 0, 0],
 ['豬油', 41.7, 0, 0.0, 0, 0.2, 0.0, 0.5, 5, 0],
 ['沙朗牛排', 2.9, 166, 0.1, 34, 0.2, 2.1, 2.9, 69, 0],
 ['圓牛排', 2.2, 214, 0.1, 32, 0.4, 2.5, 2.4, 87, 0],
 ['烤肋排', 3.4, 213, 0.1, 33, 0.0, 0.0, 2.0, 0, 0],
 ['查克烤', 3.6, 309, 0.2, 46, 0.4, 1.0, 4.0, 120, 0],
 ['盤子', 8.5, 404, 0.2, 62, 0.0, 0.9, 0.0, 0, 0],
 ['肝臟（牛肉）', 2.2, 333, 0.2, 139, 169.2, 6.4, 50.8, 316, 525],
 ['羊腿', 3.1, 245, 0.1, 20, 0.0, 2.8, 3.9, 86, 0],
 ['羊排（肋）', 3.3, 140, 0.1, 15, 0.0, 1.7, 2.7, 54, 0],
 ['豬排', 3.5, 196, 0.2, 30, 0.0, 17.4, 2.7, 60, 0],
 ['豬里脊烤', 4.4, 249, 0.3, 37, 0.0, 18.2, 3.6, 79, 0],
 ['熏肉', 10.4, 152, 0.2, 23, 0.0, 1.8, 1.8, 71, 0],
 ['火腿，煙熏', 6.7, 212, 0.2, 31, 0.0, 9.9, 3.3, 50, 0],
 ['咸豬肉', 18.8, 164, 0.1, 26, 0.0, 1.4, 1.8, 0, 0],
 ['烤雞', 1.8, 184, 0.1, 30, 0.1, 0.9, 1.8, 68, 46],
 ['小牛肉片', 1.7, 156, 0.1, 24, 0.0, 1.4, 2.4, 57, 0],
 ['三文魚梅屉，粉紅色（罐裝）', 5.8, 705, 6.8, 45, 3.5, 1.0, 4.9, 209, 0],
 ['蘋果', 5.8, 27, 0.5, 36, 7.3, 3.6, 2.7, 5, 544],
 ['香蕉', 4.9, 60, 0.4, 30, 17.4, 2.5, 3.5, 28, 498],
 ['檸檬', 1.0, 21, 0.5, 14, 0.0, 0.5, 0.0, 4, 952],
 ['橘子', 2.2, 40, 1.1, 18, 11.1, 3.6, 1.3, 10, 1998],
 ['綠豆', 2.4, 138, 3.7, 80, 69.0, 4.3, 5.8, 37, 862],
 ['卷心菜', 2.6, 125, 4.0, 36, 7.2, 9.0, 4.5, 26, 5369],
 ['蘿卜', 2.7, 73, 2.8, 43, 188.5, 6.1, 4.3, 89, 608],
 ['芹菜', 0.9, 51, 3.0, 23, 0.9, 1.4, 1.4, 9, 313],
 ['萵苣', 0.4, 27, 1.1, 22, 112.4, 1.8, 3.4, 11, 449],
 ['洋蔥', 5.8, 166, 3.8, 59, 16.6, 4.7, 5.9, 21, 1184],
 ['土豆', 14.3, 336, 1.8, 118, 6.7, 29.4, 7.1, 198, 2522],
 ['菠菜', 1.1, 106, 0.0, 138, 918.4, 5.7, 13.8, 33, 2755],
 ['紅薯', 9.6, 138, 2.7, 54, 290.7, 8.4, 5.4, 83, 1912],
 ['桃子（罐頭）', 3.7, 20, 0.4, 10, 21.5, 0.5, 1.0, 31, 196],
 ['梨（罐頭）', 3.0, 8, 0.3, 8, 0.8, 0.8, 0.8, 5, 81],
 ['菠蘿（罐裝）', 2.4, 16, 0.4, 8, 2.0, 2.8, 0.8, 7, 399],
 ['蘆筍（罐頭）', 0.4, 33, 0.3, 12, 16.3, 1.4, 2.1, 17, 272],
 ['綠豆（罐裝）', 1.0, 54, 2.0, 65, 53.9, 1.6, 4.3, 32, 431],
 ['豬肉和豆類（罐頭）', 7.5, 364, 4.0, 134, 3.5, 8.3, 7.7, 56, 0],
 ['玉米（罐頭）', 5.2, 136, 0.2, 16, 12.0, 1.6, 2.7, 42, 218],
 ['豌豆（罐頭）', 2.3, 136, 0.6, 45, 34.9, 4.9, 2.5, 37, 370],
 ['西紅柿（罐頭）', 1.3, 63, 0.7, 38, 53.2, 3.4, 2.5, 36, 1253],
 ['番茄湯（罐裝）', 1.6, 71, 0.6, 43, 57.9, 3.5, 2.4, 67, 862],
 ['桃子值纱，干的', 8.5, 87, 1.7, 173, 86.8, 1.2, 4.3, 55, 57],
 ['李子，干的', 12.8, 99, 2.5, 154, 85.7, 3.9, 4.3, 65, 257],
 ['葡萄干坯汤，干的', 13.5, 104, 2.5, 136, 4.5, 6.3, 1.4, 24, 136],
 ['豌豆虐唠，干的', 20.0, 1367, 4.2, 345, 2.9, 28.7, 18.4, 162, 0],
 ['利馬豆，干的', 17.4, 1055, 3.7, 459, 5.1, 26.9, 38.2, 93, 0],
 ['海軍豆惰聂，干的', 26.9, 1691, 11.4, 792, 0.0, 38.4, 24.6, 217, 0],
 ['咖啡', 0.0, 0, 0.0, 0, 0.0, 4.0, 5.1, 50, 0],
 ['茶', 0.0, 0, 0.0, 0, 0.0, 0.0, 2.3, 42, 0],
 ['可可', 8.7, 237, 3.0, 72, 0.0, 2.0, 11.9, 40, 0],
 ['巧克力', 8.0, 77, 1.3, 39, 0.0, 0.9, 3.4, 14, 0],
 ['糖', 34.9, 0, 0.0, 0, 0.0, 0.0, 0.0, 0, 0],
 ['玉米糖漿', 14.7, 0, 0.5, 74, 0.0, 0.0, 0.0, 5, 0],
 ['糖蜜', 9.0, 0, 10.3, 244, 0.0, 1.9, 7.5, 146, 0],
 ['草莓蜜餞', 6.4, 11, 0.4, 7, 0.2, 0.2, 0.4, 3, 0]]

3.聲明求解器

# 導(dǎo)入 OR-Tools線性求解器包裝器疆偿， Glop線性求解器的接口
from ortools.linear_solver import pywraplp
# 實例化Glop解算器并命名它，名稱可以隨便取
solver = pywraplp.Solver('斯蒂格勒飲食問題求解器', pywraplp.Solver.GLOP_LINEAR_PROGRAMMING)

4.創(chuàng)建變量
注意foods變量就是最終需要線性求解器優(yōu)化的變量搓幌，這里只定義每種食物花費的上下限杆故，線性求解器(pywraplp)得到具體的值

# foods表示每種食物所花費的金額(美元)，下限0.0溉愁，上限正無窮
foods = [solver.NumVar(0.0, solver.infinity(), item[0]) for item in data]
print('食物種類為 =', solver.NumVariables())

['out']
食物種類為 = 154

5.定義約束
這里解釋一下处铛，相當(dāng)于函數(shù) y = a1x1 + a2x2+...an*xn

下面代碼中其中solver.Constraint(content, solver.infinity()) 表示y(每種必須的營養(yǎng))的攝入范圍為content(最少攝入量)到正無窮

const.SetCoefficient(foods[j], item[i + 1]) 表示設(shè)置xi的系數(shù)為item[i + 1]，也就是說 食物i*某種營養(yǎng)含量i

最終拐揭，每種營養(yǎng)在所有食物的總量都必須高于最小攝入量

# 所有食物營養(yǎng)的總和應(yīng)滿足每種營養(yǎng)的最低要求
# SetCoefficient 表示食物營養(yǎng)總和高于nutrient[1]
constraints = []
for i, (name, content) in enumerate(nutrients):
    # 為每種營養(yǎng)設(shè)定上下限 下限為人體每天最少補充量撤蟆，上限為正無窮
    const = solver.Constraint(content, solver.infinity())
    
    # 這里為該營養(yǎng) 在所有食物設(shè)定系數(shù)(含量),即 每1美元含量1*食物金額(美元)
    # 所有食物中某種營養(yǎng)的攝入量必須高于最小值
    for j, item in enumerate(data):
        const.SetCoefficient(foods[j], item[i + 1]) 

print('約束總量為 =', solver.NumConstraints())

6.創(chuàng)建目標(biāo)函數(shù)

objective = solver.Objective()
for food in foods:
    # 也是添加系數(shù)，1*食物i+1*食物2+...+1*食物n=總金額
    objective.SetCoefficient(food, 1)
objective.SetMinimization()

7.輸出結(jié)果

# 檢查問題是否有最佳解決方案
if status != solver.OPTIMAL:
    print('問題沒有最優(yōu)解堂污！')
    if status == solver.FEASIBLE:
        print('找到了一個潛在的次優(yōu)解決方案家肯。')
    else:
        print('解算器無法解決問題。')
        exit(1)

# 顯示每種食物的購買金額（以美元為單位）
# 食品每年的花費
nutrients_result = [0] * len(nutrients)
for i, food in enumerate(foods):
    # 如果該食物花費大于0
    if food.solution_value() > 0.0:
        print(f'{data[i][0]}: ${365. * food.solution_value()}')
        for j, _ in enumerate(nutrients):
            nutrients_result[j] += data[i][j + 1] * food.solution_value()
print(f'\n最優(yōu)年價格: ${365. * objective.Value()}')
              
              

print('\n每日營養(yǎng)攝入:')
for i, nutrient in enumerate(nutrients):
    print(f'{nutrient[0]}: {nutrients_result[i]} (min {nutrient[1]})')

['out']
小麥粉（濃縮）: $10.774457511918223
肝臟（牛肉）: $0.6907834111074193
卷心菜: $4.093268864842877
菠菜: $1.8277960703546996
海軍豆盟猖，干的: $22.275425687243036

最優(yōu)年價格: $39.66173154546625

每日營養(yǎng)攝入:
卡路里 (千卡): 3.000000000000001 (min 3)
蛋白質(zhì) (g): 147.41353494220908 (min 70)
鈣 (g): 0.8000000000000002 (min 0.8)
鐵 (mg): 60.4669221017366 (min 12)
維生素A (KIU): 5.0 (min 5)
維生素B1 (mg): 4.1204388048386225 (min 1.8)
維生素B2 (mg): 2.7000000000000006 (min 2.7)
煙酸 (mg): 27.31598070028833 (min 18)
維生素C (mg): 75.0 (min 75)
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