課前導(dǎo)讀

有時(shí)樣本空間不一定是數(shù)集斧蜕，不便用數(shù)學(xué)方法來處理号显。為了能進(jìn)行定量的數(shù)學(xué)處理跨细，必須要把隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化鹦倚。因此引入了隨機(jī)變量，將樣本空間轉(zhuǎn)化為一個(gè)無量綱的數(shù)集冀惭。

第一節(jié) 隨機(jī)變量及其分布

一震叙、隨機(jī)變量的定義

隨機(jī)變量：對(duì)樣本空間中的每一個(gè)樣本點(diǎn)掀鹅，有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)與它對(duì)應(yīng)。

離散型隨機(jī)變量：一個(gè)隨機(jī)變量的取值有限或可列
非離散型隨機(jī)變量：一個(gè)隨機(jī)變量的取值充滿了數(shù)軸上的一個(gè)區(qū)間。連續(xù)型隨機(jī)變量就是非離散型隨機(jī)變量中最常見的一類匣砖。

隨機(jī)變量的引入是概率論發(fā)展走向成熟的一個(gè)標(biāo)志科吭，引入隨機(jī)變量后，可以使用數(shù)學(xué)中的微積分工具討論隨機(jī)變量的分布猴鲫。

二对人、隨機(jī)變量的分布函數(shù)

分布函數(shù)的定義：

由該定義可得：

三、離散型隨機(jī)變量及其分布律

若隨機(jī)變量X的值域?yàn)橛邢藜蚩闪屑鞴玻藭r(shí)稱X為（一維）離散型隨機(jī)變量牺弄。
分布律(分布列、概率函數(shù))：

四宜狐、連續(xù)型隨機(jī)變量及其密度函數(shù)

當(dāng)描述連續(xù)性隨機(jī)變量時(shí)势告，用于描述離散型隨機(jī)變量的分布律就無法再使用了，而要改用概率密度函數(shù)抚恒。

概率密度函數(shù)的定義：

概率密度函數(shù)與分布函數(shù)之間的關(guān)系：

連續(xù)型隨機(jī)變量具有下列性質(zhì)：

這一性質(zhì)可以幫助我們判斷一個(gè)非離散型隨機(jī)變量是否為連續(xù)型隨機(jī)變量咱台。如果一個(gè)非離散型隨機(jī)變量不存在離散的點(diǎn)，它的概率不為0俭驮，則該隨機(jī)變量為連續(xù)型隨機(jī)變量回溺。

第二節(jié) 常用的離散型隨機(jī)變量

一、二項(xiàng)分布

伯努利試驗(yàn)：隨機(jī)試驗(yàn)只有兩種結(jié)果和混萝。設(shè)A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率,則
n重伯努利試驗(yàn)：將該隨機(jī)試驗(yàn)獨(dú)立重復(fù)地進(jìn)行n次遗遵。

記隨機(jī)變量表示A事件發(fā)生的次數(shù)，在n重伯努利試驗(yàn)中事件發(fā)生K次逸嘀，即的概率為：

稱隨機(jī)變量服從參數(shù)為的二項(xiàng)分布车要，記為

特別地，當(dāng)時(shí)崭倘，屯蹦，此時(shí)稱隨機(jī)變量服從參數(shù)為的0-1分布（或伯努利分布、兩點(diǎn)分布）绳姨。相應(yīng)的分布律為：

二登澜、 泊松分布

泊松分布于1837年由法國數(shù)學(xué)家播送首次提出。
泊松分布的定義：

泊松分布也是一種常用的離散型分布飘庄，它常常與技術(shù)過程相聯(lián)系脑蠕。

泊松分布還有一個(gè)非常有用的性質(zhì)：可以作為二項(xiàng)分布的一種近似。
在二項(xiàng)分布計(jì)算中，當(dāng)較大時(shí)谴仙，計(jì)算結(jié)果非常不理想迂求，如果較小而適中時(shí)，我們常用泊松分布的概率值近似取代二項(xiàng)分布的概率值晃跺。

泊松定理：當(dāng)時(shí)揩局，有，則

三掀虎、超幾何分布

不放回地抽取則為超幾何分布凌盯。

若將不放回抽樣改成有放回抽樣，則這個(gè)模型就是n重伯努利試驗(yàn)烹玉。

即在實(shí)際應(yīng)用中驰怎，當(dāng)時(shí)，抽取個(gè)數(shù)n遠(yuǎn)小于產(chǎn)品總數(shù)N時(shí)二打，每次抽取后县忌，總體中的不合格率改變很微小，所以不放回抽樣可以近似地看成有放回抽樣继效，這時(shí)超幾何分布可用二項(xiàng)分布近似症杏。

四、幾何分布與負(fù)二項(xiàng)分布

1. 在伯努利試驗(yàn)中瑞信，設(shè)隨機(jī)變量X表示A事件首次出現(xiàn)時(shí)已經(jīng)實(shí)驗(yàn)的次數(shù)鸳慈，記為。
   

幾何分布具有無記憶性的性質(zhì)喧伞，這個(gè)條件概率只與n有關(guān)，與m無關(guān)绩郎。

2. 負(fù)二項(xiàng)分布
   負(fù)二項(xiàng)分布時(shí)幾何分布的一個(gè)延申。
   在伯努利試驗(yàn)中，設(shè)隨機(jī)變量X表示A事件第r次出現(xiàn)時(shí)已經(jīng)試驗(yàn)的次數(shù)蚤假，記為勘纯，r=1時(shí)即為幾何分布。
   

第三節(jié) 常用的連續(xù)型隨機(jī)變量

一状植、均勻分布

記為

均勻分布的隨機(jī)變量X浊竟，在其取值范圍中的任何子區(qū)間取值的概率僅與該區(qū)間長(zhǎng)度d有關(guān)而與區(qū)間的位置c無關(guān)。

二津畸、指數(shù)分布

記為

指數(shù)分布在可靠性與排隊(duì)論中有著廣泛的應(yīng)用。

同樣，指數(shù)分布同幾何分布相似卑惜，也具有無記憶性膏执。

三、正態(tài)分布

又稱為高斯分布露久，記為
稱為位置參數(shù)
稱為尺度參數(shù)更米，越小，曲線越陡峭毫痕。
當(dāng)時(shí)征峦，相應(yīng)的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為

有如下定理：

第四節(jié) 隨機(jī)變量函數(shù)的分布

隨機(jī)變量函數(shù)的定義：

一镇草、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布

二眶痰、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布

定理1：

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六西格瑪法則梯啤。