# 概率論與數(shù)理統(tǒng)計筆記 第二章 隨機變量及其概率分布概率論與數(shù)理統(tǒng)計筆記（計算機專業(yè)） 作者： [CATPUB](www.catpub.cn) 新浪微博：@catpub課程：中國大學MOOC浙江大學概率論與數(shù)理統(tǒng)計部分平臺可能無法顯示公式室囊，若公式顯示不正成坠荩可以前往CSDN或作業(yè)部落進行查看## 第9講 隨機變量- 定義 - 隨機變量 $X(e)$睦裳，$X$ 是 $S\to R$ 的函數(shù)咆耿，$e$ 是樣本點 - 自變量 $e\subset S$ - 隨機事件 $A=\{e|X(e)=I\}=\{X=I\}$ - 如多次投擲骰子咖耘，隨機事件 {6點在第3次出現(xiàn)} 可以記作 ${X=3}$桥嗤，$X$ 是隨機變量- 隨機變量 - 離散型隨機變量青伤，值的集合的基數(shù)小于等于阿列夫零（離散數(shù)學概念） - 連續(xù)型隨機變量- 分布律 - | $X$ | $x_1$ | $x_2$ | $...$ | $x_k$ | $...$ | | :--: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $P$ | $p_1$ | $p_2$ | $...$ | $p_k$ | $...$ | - $$P(X=x_k)=p_k\ (k=1,2,...)$$- 幾何分布 Geometric Distribution - 多次投擲骰子边灭，$6?$ 點第一次出現(xiàn)時投擲的次數(shù) - | $X$ | $1$ | $2$ | $3$ | $...$ | $k$ | $...$ | | :--: | :-------------: | :-----------------------------: | :----------------------------------: | :---: | :--------------------------------------: | :-----: | | $P$ | $$\frac{1}{6}$$ | $$\frac{5}{6}\cdot\frac{1}{6}$$ | $$(\frac{5}{6})^2 \cdot\frac{1}{6}$$ | $...$ | $$(\frac{5}{6})^{k-1} \cdot\frac{1}{6}$$ | $$...$$ | ?## 第10講 離散型隨機變量- $0\text{-}1$分布（兩點分布） - $$P(X=k)=p^k(1-p)^{n-k}$$ - | $X$ | $0$ | $1$ | | :--: | :---: | :---: | | $P$ | $1-p$ | $1-p$ | ? - 若X服從兩點分布潦牛，則單次試驗稱為伯努利（Bernoulli）試驗 - 0 記為$X\sim 0\text{-}1(p)$ - 也記為 $X\sim B(1,p)?$眶掌，$B?$ 是Binomial的意思，兩點分布可以看作Binomial分布的特例 - $\sim$ 讀作服從于- 二項分布 Binomial Distribution - $$P(X=k)=C_n^k\cdot P^k\cdot (1-p)^{n-k}$$ - $n$ 重Bernoulli實驗巴碗，事件發(fā)生次數(shù) $k$ 的統(tǒng)計規(guī)律 - 記為$X\sim B(n,p)$- 泊松分布 Poisson Distribution - $$P(X=k)=\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}\ (k=0,1,2,...)$$ - 記為 $X\sim \pi(\lambda)$ 或 $x\sim P(\lambda)$- Poisson Distribution與Binomial Distribution的關系 - 當 $n$ 很大 $p$ 很小的時候 - $$C_n^k P^k (1-p)^{n-k}=\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}\ \lambda=np$$- 幾何分布 Geometric Distribution - $P(X=k)=p(1-p)^{k-1}$ - 記為 $X\sim Geom(p)$ - 實例：研究段譽多少次施展武功能成功的統(tǒng)計規(guī)律## 第11講 分布函數(shù)- 定義 - $F_X(x)=P(X\leq x)$- 離散型的隨機變量分布函數(shù)為階梯函數(shù)- 性質 - $P(a,\geq ,<,\leq$ 不敏感朴爬，即對端點取值不敏感## 第13講 均勻分布和指數(shù)分布- 均勻分布 Uniform Distribution - $$f(x)=\frac{1}{b-a}\ a\leq x0$$

- $$F(x)=1-e^{-\lambda x}\ x>0$$

- 記為 $X\sim E(\lambda)$ 或 $X\sim Emp(\lambda)$

- 指數(shù)分布具有無記憶性（Memoryless Property）且在連續(xù)性隨機變量的分布中，只有指數(shù)分布具有無記憶性

- 實例：設旅客等待時間服從指數(shù)分布橡淆，則已知旅客已經等了20分鐘召噩，求旅客再等5分鐘的概率，和旅客從頭開始等5分鐘的概率相同

- 即 $P(X>25|X>20)=P(X>5)$

- 指數(shù)分布常用來表示獨立隨機事件發(fā)生的時間間隔逸爵，如中文維基百科新條目出現(xiàn)的時間間隔

- 在排隊論中具滴，一個顧客接受服務的時間長短也可以用指數(shù)分布來近似

## 第14講 正態(tài)分布

- 正態(tài)分布 Normal Distribution

- $$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$$

- 記為 $X\sim N(\mu, \sigma^2)$

- 性質

- 關于 $x=\mu$ 對稱

- $$f_{max}=f(\mu)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}$$

- $$limf(x)=0$$

- 參數(shù)的性質

- 改變 $\mu$，$f(x)$ 只沿 $x$ 軸評議

- $\sigma$ 越大痊银，$f(x)$ 越矮胖抵蚊，$\sigma$ 稱為尺度參數(shù)

- 實例：身高，體重溯革，測量誤差贞绳，多個隨機變量的和

- 標準正態(tài)分布

- $$Z\sim N(0,1)$$

- $$\phi(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{z^2}{2}}$$

- $$\Phi(z)=\int_{-\infty}^z\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^2}{2}}dt$$

- $\Phi(z)$ 有標準正態(tài)分布函數(shù)表

- 一般正態(tài)分布轉為標準正態(tài)分布

- 當 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$ 時，$(x-\mu)/\sigma\sim N(0,1)$

- $$F_x(a)=P(x\leq a)=P(\frac{x-\mu}{\sigma}\leq \frac{a-\mu}{\sigma})=\Phi(\frac{a-\mu}{\sigma})$$

- $3\sigma$ 準則

- 當 $x$ 落在 $(-3\sigma,3\sigma)$ 的概率為 $99.73\%$

## 第15講 隨機變量函數(shù)的分布

- 已知 $X$ 的概率分布致稀，已知 $Y=g(x)$冈闭，求 $Y$ 的概率分布

- 先給出 $Y$ 的可能分布，再利用等價事件來給出概率分布

- 離散型隨機變量抖单，直接利用分布律求解即可

- 連續(xù)型隨機變量萎攒，先利用分布函數(shù)找到等價事件，再利用概率密度函數(shù)即可

- 定理

- 若 $Y=g(x)$矛绘，$g'(x)>0$ 或 $g'(x)<0$

- $$f_Y(y)=f_x(h(y))\cdot |h'(y)|\ \alpha