線性空間

一、域論

域的概念最初被阿貝爾和伽羅瓦用于他們對方程的可解性的工作上眠菇。

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這是我比較敬佩的兩位數(shù)學(xué)家边败，他們非常年輕就去世了。歡迎去Bilibili搜索天才簡史捎废，讀一讀他們的人生經(jīng)歷笑窜。好我們接下來繼續(xù)來討論域論。
為了簡單起見登疗，我提出域論這個詞是為了有興趣的人可以進(jìn)行進(jìn)一步學(xué)習(xí)怖侦。我們首先說明什么是數(shù)域（Field）。
有一個數(shù)字集合谜叹，這個集合中滿足封閉，即任意兩個數(shù)字取出來進(jìn)行這四種運(yùn)算后結(jié)果還在這堆數(shù)字中搬葬。

正整數(shù)集 $\boldsymbol{Z}_+$ 荷腊，我們發(fā)現(xiàn)加法是滿足封閉的，但是 $2-3=-1$ 就不在正整數(shù)集中了急凰，即不滿足封閉性女仰。
整數(shù)集 $\boldsymbol{Z}$ ，整數(shù)里就滿足加法和減法的封閉抡锈，乘法也滿足封閉性疾忍，但是除法 $2/3=1.5$ 就不在整數(shù)集中了，所以除法不滿足封閉性床三。
有理數(shù)集 $\boldsymbol{Q}$ 一罩，這就是一個域，我們一般使用黑板體表示 $\mathbb{Q}$ 撇簿，Latex命令為\mathbb聂渊。有理數(shù)集就滿足加減乘除封閉差购。
實(shí)數(shù)集 $\mathbb{R}$ ，這也是一個域汉嗽。那么繼續(xù)擴(kuò)充欲逃，可以到復(fù)數(shù)域 $\mathbb{C}$ 。
那么一般域我們都用 $\mathbb{F}$ 表示饼暑。有了域的概念稳析，我們就可以引入線性空間的概念了。

二弓叛、線性空間

線性空間彰居，談到空間我們想到的是平面空間和三維立體空間，沒錯邪码，它們就是線性空間裕菠。非線性空間我們一般都會感覺到不正常，比如在一些恐怖游戲中經(jīng)常有傳送門或異常的生物出現(xiàn)闭专，這些都不是線性空間奴潘。
空間就是一個有著特殊定義的集合（set）。集合的定義我們在高一開始學(xué)數(shù)學(xué)就接觸到了影钉，這里就不詳細(xì)介紹結(jié)合中的一些概念（集合的特點(diǎn)）和運(yùn)算（交集画髓，并集，補(bǔ)集等）了平委。好了奈虾，我們現(xiàn)在有一個集合，這個集合里有一些具有相同性質(zhì)的元素廉赔。這里的元素是任何東西肉微，就是說是抽象的，不僅僅是數(shù)字蜡塌。
我們現(xiàn)在根據(jù)這個集合 $V$ 碉纳，定義兩種運(yùn)算：

加法： $(u,v)\rightarrow w,\forall u,v,w\in V$
數(shù)量乘法： $(k,u)\rightarrow v,\forall k\in\mathbb{F},\forall u,v\in V$
這里的意思就是任意從這個集合中取出兩個元素 $u,v$ ，進(jìn)行加法運(yùn)算 $u+v$ 馏艾，結(jié)果還在這個集合里劳曹，這叫加法封閉性。數(shù)量乘法就是從域 $\mathbb{F}$ 中取出一個數(shù)琅摩，跟集合中的任意一個元素 $u$ 做數(shù)量乘法铁孵，結(jié)果仍然在這個集合中。
注意：加法和數(shù)量乘法是抽象的房资，是我們定義的蜕劝。
這是它是線性空間嗎？還不能是，還得滿足一些條件：
$\boldsymbol{u} + \boldsymbol{v} = \boldsymbol{v} + \boldsymbol{u},\ \forall \boldsymbol{u},\boldsymbol{v}\in \boldsymbol{V}$
$(\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v})+\boldsymbol{w}=\boldsymbol{u}+(\boldsymbol{v}+\boldsymbol{w}),\ \forall \boldsymbol{u}, \boldsymbol{v}, \boldsymbol{w}\in \boldsymbol{V}$
There is an element $\boldsymbol{0}\in\boldsymbol{V}$ such that $\boldsymbol{v} + \boldsymbol{0} = \boldsymbol{v}$ for all $\boldsymbol{v}\in \boldsymbol{V}$
For each $\boldsymbol{v}\in \boldsymbol{V}$ there is an element $-\boldsymbol{v}$ such that $\boldsymbol{v}+(-\boldsymbol{v})=\boldsymbol{0}$
$c(\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v})=c\boldsymbol{u}+c\boldsymbol{v},\ \forall u,v\in\boldsymbol{V}$ and $c\in\mathbb{F}$
$(a+b)\boldsymbol{v}=a\boldsymbol{v}+b\boldsymbol{v},\ \forall a,b\in\mathbb{F}$ and $\boldsymbol{v}\in\boldsymbol{V}$
$(ab)\boldsymbol{v}=a(b\boldsymbol{v}),\ \forall a,b\in\mathbb{F}$ and $\boldsymbol{v}\in\boldsymbol{V}$
$1\boldsymbol{v}=\boldsymbol{v},\ \forall \boldsymbol{v}\in\boldsymbol{V}$
上面的幾條其實(shí)看的感覺都是廢話熙宇，或者你小學(xué)就知道了鳖擒。但是還是要強(qiáng)調(diào)一點(diǎn)，這里的部分運(yùn)算是抽象的烫止。下面我們舉個例子蒋荚，回到你的想象中的線性空間（在線性代數(shù)里經(jīng)常遇到的）：
For instance, $\mathbb{R}^n$ , the set of real column vectors $\displaystyle\left[\begin{matrix}x_1\\x_2\\\vdots \\x_n\end{matrix}\right]$ also writen as $(x_1, x_2, \cdots, x_n)^T$ is a vector space over $\mathbb{R}$ with respect to the addition
$\left[ \begin{matrix} x_1 \\ x_2\\\vdots\\x_n \end{matrix} \right] + \left[ \begin{matrix} y_1\\y_2\\\vdots\\y_n \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} x_1+y_1\\x_2+y_2\\\vdots\\x_n+y_n \end{matrix} \right]$
and the scala multiplication
$c\left[ \begin{matrix} x_1\\x_2\\\vdots\\x_n \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} cx_1\\cx_2\\\vdots\\cx_n \end{matrix} \right],c\in\mathbb{R}$
這里我們定義了加法和數(shù)量乘法，如果要證明它是線性空間馆蠕，那么就需要證明上面的性質(zhì)期升。都非常好證明，遇到唯一性問題可以用反證法互躬。

再舉一個例子：有一個集合播赁，這個集合里的所有元素都是 $m\times n$ 的在實(shí)數(shù)域 $\mathbb{R}$ 上的矩陣。矩陣的元素是抽象的吼渡，那個常數(shù) $k$ 或 $c$ 是實(shí)數(shù)容为。定義 $\forall \boldsymbol{A, B}\in \mathbf{M}_{m\times n}(\mathbb{R})$ ，

加法： $\{c_{ij}\}=\{a_{ij}+b_{ij}\}$
數(shù)量乘法： $k\boldsymbol{A}=\{ka_{ij}\}$
這里我們也很容易證明它是一個線性空間寺酪。這里也知道了單位元是單位矩陣 $\boldsymbol{I}$ 坎背，零元就是零矩陣 $\boldsymbol{O}$

那么我們生活的最熟悉的三維空間和二維空間也是線性空間。這里要證明的話需要用到幾何學(xué)的知識寄雀。比如三角形法則和平行四邊形法則等得滤。

還有一些特殊的線性空間，比如有一個集合盒犹，這個集合里的所有元素是一個個多項(xiàng)式懂更，這些多項(xiàng)式的次數(shù)（最高次）小于等于 $m$ ，加法和數(shù)量乘法就遵循我們初中學(xué)習(xí)的多項(xiàng)式運(yùn)算法則即可急膀，這也就構(gòu)成了一個線性空間沮协。

再比如，有一個集合卓嫂，這個集合中所有的元素都是定義域?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cleft%5B0%2C1%5Cright%5D" alt="\left[0,1\right]" mathimg="1">的函數(shù)皂股，那么加法和數(shù)量乘法遵循函數(shù)之間的運(yùn)算，這也很容易證明它們構(gòu)成了一個線性空間命黔。

三、線性組合

在線性代數(shù)里我們最煩惱的概念和一堆定理與線性相關(guān)（Linear Dependent）和線性無關(guān)（Linear Independent）相關(guān)就斤。這里先從線性組合說起悍募，線性這個詞一般就與加法和數(shù)乘有關(guān)。
我們在域 $\mathbb{F}$ 上有 $n$ 個向量 $\boldsymbol{v_1,v_2,\cdots,v_n}$ 洋机，注意這里我們稱這些向量叫向量集合（Vector set）坠宴，接著我們從 $\mathbb{F}$ 上取 $n$ 個數(shù) $c_1,c_2,\cdots,c_n$ ，做如下運(yùn)算：
$\sum_{i=1}^nc_i\boldsymbol{v}_i=c_1\boldsymbol{v}_1+c_2\boldsymbol{v}_2+\cdots+c_n\boldsymbol{v}_n$
這樣一運(yùn)算就產(chǎn)生一個新的向量了绷旗，如果取遍所有的常數(shù)喜鼓，我們就可以得到一堆向量副砍，無數(shù)個向量，那么這些產(chǎn)生出的新的向量就構(gòu)成了一個線性空間庄岖。比如我們?nèi)我鈴倪@些產(chǎn)生的向量中取出兩個 $\boldsymbol{w}_1=\displaystyle\sum_{i=1}^nc_i\boldsymbol{v}_i,\boldsymbol{w}_2=\sum_{i=1}^nk_i\boldsymbol{v}_i$ 豁翎，我們發(fā)現(xiàn) $\boldsymbol{w}_1+\boldsymbol{w}_2=\displaystyle\sum_{i=1}^n(c_i+k_i)\boldsymbol{v}_i$ ，加法是封閉的隅忿，類似地心剥，數(shù)量乘法也是封閉的，再證明那幾條性質(zhì)背桐，就可以證明這是一個線性空間了优烧。我們把這個過程叫做擴(kuò)張（span）。

接下來就是大家熟悉的線性相關(guān)和線性無關(guān)的定義了链峭，這里的向量是抽象的畦娄，一再強(qiáng)調(diào)。
A set $S=\{\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\cdots,\boldsymbol{v}_k\}$ is said to be linearly independent if
$\sum_{k=1}^kc_i\boldsymbol{v}_i=\boldsymbol{0}$
holds only when $c_1=c_2=\cdots=c_k=0$ . If there are also nontriviall solutions, i.e., not all $c$ are zero, then $S$ is linearly dependent.

好了弊仪，一個向量的集合可以張成一個空間熙卡，這個向量集合可以線性無關(guān)的再膳，也可以是線性相關(guān)的曲横，通俗講就是這堆向量中是否有向量能用其他向量進(jìn)行線性表示。

這里請大家想一個問題和過程禾嫉，線性空間里有無數(shù)個向量灾杰，而有限的向量可以通過線性組合擴(kuò)張成線性空間，這是有限個向量熙参。無限個到有限個艳吠，這就很偉大。我們欣賞下為什么直角坐標(biāo)系被命名為笛卡爾坐標(biāo)系孽椰。
這里借助Manim畫個圖：

vectors.png

這么多向量昭娩，笛卡爾就用兩個向量就表示了。

cartessin.png

這里一個向量可以用兩個向量的線性組合進(jìn)行表示黍匾。這里就有了維度和基的概念栏渺。
A basis of a vector space is linearly independent set than spans . If possesses a basis of -vector set , we say that is of dimension $n$ , writen as .
什么意思呢？就是說有一個向量空間或線性空間锐涯，你可以找出幾個代表磕诊，這幾個代表可以通過線性組合來表示所有的這個空間的所有向量，這就代表的個數(shù)就是這個空間的維度，而這些向量就構(gòu)成了一個基霎终≈突牵基是一組向量，而且這些向量還是線性無關(guān)的莱褒，但是線性無關(guān)的向量不一定就是這個線性空間的基击困，比如三維空間，你只有兩個向量沛励，那么它們雖然是線性無關(guān)的目派，但是不能表示三維空間中所有的向量。

幾何空間（二維空間和三維空間）中谅摄，我們都知道基是相互垂直的系馆，即
$\boldsymbol{i\cdot j}=0$
這個在高中數(shù)學(xué)中稱為向量點(diǎn)乘闽寡，在線性代數(shù)里我們有內(nèi)積（Inner Product）的概念爷狈。比如在一個 $n$ 維歐幾里得空間 $\mathbb{F}^n$ 上涎永，有兩個向量 $\boldsymbol{x,y}$ 羡微，那么它們的內(nèi)積定義為：
$[\boldsymbol{x,y}]=\boldsymbol{x^Ty}=\sum_{i=1}^nx_iy_i$
這時候，如果內(nèi)積為0指孤，那么在幾何學(xué)中就叫做垂直结洼，在矩陣論中就叫做正交（orthogonal）松忍。笛卡爾坐標(biāo)系的基就是正交的鸣峭。

接著摊溶，有了基之后，每個向量就可以用基進(jìn)行線性組合拉岁，而組合的前面的系數(shù)是數(shù)喊暖，這是我們能夠研究也是善于研究的東西陵叽，這個就叫做在這個線性空間 $V$ 中咨跌，在這個基（坐標(biāo)系） $\mathcal{B}$ 下的向量 $\boldsymbol{v}$ 的坐標(biāo)。有了坐標(biāo)刊殉，以后的研究就是線性代數(shù)里東西了记焊。

基(basis)遍膜，坐標(biāo)系(coordinate system)瓢颅，坐標(biāo)(coordinate)翰意，我們有了這些特征去描述線性空間和空間里的向量了冀偶。從具體到抽象进鸠，把你腦子里具體的笛卡爾坐標(biāo)系抹除掉。

有一個 $\mathbb{M}_{m\times n}(\mathbb{F})$ 構(gòu)成的矩陣空間搀罢，可以定一組基叫 $\boldsymbol{E}_{ij}$ 榔至，就是在 $m\times n$ 個元素中唧取，第 $i$ 行枫弟，第 $j$ 列是 $1$ ，其余都是 $0$ 韩容。那么維度很清晰了群凶，就是 $m\times n$ 維赠尾，任何一個矩陣 $\boldsymbol{M}=\displaystyle\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^na_{ij}\boldsymbol{E}_{ij}$ 萍虽。

再來看一個式子：
$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos nx+b_n \sin nx$
這是Fourier Series超全，叫傅立葉級數(shù)嘶朱，就是將一個函數(shù)（具體條件就不說了）用一組基進(jìn)行表示脉课，那么這個空間的維度可以看得出是無窮維度的倘零，基是
$1,\sin x,\cos x,\sin 2x,\cos 2x,\cdots$
而且這組基兩兩正交呈驶，那么它們的內(nèi)積可以定義為：
$\int_{-\pi}^{\pi}f(x)g(x)dx$
在其中任意取兩個函數(shù)，它們按照如上的內(nèi)積都是0聋迎，說明它們是正交的霉晕。

四、線性子空間（Linear Subspace）

前面我們知道萌焰，線性空間是一個有著定義特殊運(yùn)算和滿足運(yùn)算規(guī)律的集合扒俯，它是個集合玻孟，那么線性子空間也是個集合掌猛，這個集合是原來線性空間的集合的子集荔茬，只不過這個子集需要滿足加法和數(shù)乘封閉丐黄，那么還需要滿足線性空間的那幾條性質(zhì)嗎灌闺？不需要了桂对，因?yàn)樗旧硎菑木€性空間中取出來的子集，自然就是滿足了蛛勉，無需額外驗(yàn)證诽凌。

subspace_example.png

看到上圖中兩個vector set，兩個vector set顯然都是二維平面中的子集（）杜顺。第一個vector set中如果我們?nèi)我馊〕鰞蓚€vector 躬络，我們很容易驗(yàn)證其加法和數(shù)乘的封閉性提茁。第二個vector set，會發(fā)現(xiàn)首先就不滿足加法的封閉性汪疮，所以它不是子空間躲胳。
一個二維平面里有一個特殊的元素，單獨(dú)拿出這個元素作為二維平面的子集摇天，看看它是不是子空間呢？是的裳仆，它是的線性子空間纯丸。這個我們稱為零向量空間（zero vector space）觉鼻。因?yàn)檫@種空間也沒啥可研究的，所以我們稱為平凡的子空間（trivial subspace）仇矾。

子空間的交與和

Theorem：如果 $\boldsymbol{V}_1,\boldsymbol{V}_2$ 是數(shù)域 $\mathbb{F}$ 上的線性空間 $\boldsymbol{V}$ 的子空間。那么他們的交集 $\boldsymbol{V}_1\cap\boldsymbol{V}_2$ 也是線性空間 $\boldsymbol{V}$ 上的子空間粗合。
Proof：設(shè) $\forall x,y\in \boldsymbol{V}_1\cap \boldsymbol{V}_2$ 壤追，我們根據(jù)線性子空間的定義知道：
$x,y\in \boldsymbol{V}_1\Rightarrow x+y\in \boldsymbol{V}_1,kx\in\boldsymbol{V}_1,k\in \mathbb{F}\\ x,y\in \boldsymbol{V}_2\Rightarrow x+y\in \boldsymbol{V}_2,kx\in\boldsymbol{V}_2,k\in \mathbb{F}\\$
因?yàn)椋?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=x%2By%5Cin%20%5Cboldsymbol%7BV%7D_1" alt="x+y\in \boldsymbol{V}_1" mathimg="1">且 $x+y\in \boldsymbol{V}_2$ ，所以悼做， $x+y\in \boldsymbol{V}_1\cap\boldsymbol{V}_2$ ，同理 $kx\in \boldsymbol{V}_1\cap\boldsymbol{V}_2$ 朽色。書上還驗(yàn)證了 $\boldsymbol{0}$ ，我個人覺得是沒必要的梢褐，既然 $\boldsymbol{V}_1,\boldsymbol{V}_2$ 已經(jīng)是線性子空間了盈咳，所以 $\boldsymbol{V}_1\cap\boldsymbol{V}_2$ 中一定包含 $\boldsymbol{0}$ 猪贪。到這里，已經(jīng)基本證明完畢了桶癣。
在二維平面中，我們可以看出子空間中向量的終點(diǎn)構(gòu)成了一條過原點(diǎn)的直線间雀，而任意兩條不重合的過原點(diǎn)的直線的交集就只有 $\boldsymbol{0}$ 了，而在三維空間中连锯，平面的一般方程為 $Ax+By+Cz+D=0$ 拼弃，要想這個子集是 $\mathbb{R}^3$ 的子空間，就必須要平面過 $(0,0,0)$ 點(diǎn)医男，即 $D=0$ 。我們知道兩個平面的焦點(diǎn)有無數(shù)個刀森，構(gòu)成了空間里的一條直線（這些都是直覺）踱启，這條直線也是三維空間的子空間。
Definition：有兩個線性空間 $\boldsymbol{V}_1,\boldsymbol{V}_2$ 是數(shù)域 $\mathbb{F}$ 上的線性空間 $\boldsymbol{V}$ 的兩個子空間研底，定義
$\boldsymbol{V}_1+\boldsymbol{V}_2=\left\{\boldsymbol{z}|\boldsymbol{z}=\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y},\boldsymbol{x}\in\boldsymbol{V}_1,\boldsymbol{y}\in\boldsymbol{V}_2\right\}$
稱為子空間的和（sum）
Theorem：有兩個線性空間 $\boldsymbol{V}_1,\boldsymbol{V}_2$ 是數(shù)域 $\mathbb{F}$ 上的線性空間 $\boldsymbol{V}$ 的兩個子空間埠偿，則 $\boldsymbol{V}_1+\boldsymbol{V}_2$ 是 $\boldsymbol{V}$ 的子空間。
Proof：（要證明 $\boldsymbol{V}_1+\boldsymbol{V}_2$ 是子空間榜晦，那么就要證明其中的元素滿足加法封閉和數(shù)乘封閉即可）
設(shè) $\forall\boldsymbol{z}_1,\boldsymbol{z}_2\in\boldsymbol{V}_1+\boldsymbol{V}_2$ 识窿，且 $\boldsymbol{z}_1=\boldsymbol{x}_1+\boldsymbol{y}_1$ ， $\boldsymbol{z}_2=\boldsymbol{x}_2+\boldsymbol{y}_2$ 宋梧，考察
$\boldsymbol{z}_1+\boldsymbol{z}_2=\boldsymbol{x}_1+\boldsymbol{x}_2+\boldsymbol{y}_1+\boldsymbol{y}_2$
因?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cboldsymbol%7Bx%7D_1%2C%5Cboldsymbol%7Bx%7D_2%5Cin%5Cboldsymbol%7BV%7D_1" alt="\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2\in\boldsymbol{V}_1" mathimg="1">枢贿，且 $\boldsymbol{V}_1$ 是線性子空間耀态，所以設(shè) $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}_1+\boldsymbol{x}_2\in \boldsymbol{V}_1$ 仙逻，同理缺亮，設(shè) $\boldsymbol{y}=\boldsymbol{y}_1+\boldsymbol{y}_2\in \boldsymbol{V}_2$ ，所以 $\boldsymbol{z}_1+\boldsymbol{z}_2=\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\in\boldsymbol{V}_1+\boldsymbol{V}_2$ 。
$k\boldsymbol{z}_1=k(\boldsymbol{x}_1+\boldsymbol{y}_1)=k\boldsymbol{x}_1+k\boldsymbol{y}_1$
同樣地蝙泼， $\boldsymbol{V}_1,\boldsymbol{V}_2$ 是子空間，根據(jù)性質(zhì) $k\boldsymbol{x}_1\in\boldsymbol{V}_1,k\boldsymbol{y}_1\in\boldsymbol{V}_2$ 瀑踢，所以 $k\boldsymbol{z}_1\in\boldsymbol{V}_1+\boldsymbol{V}_2$ 棘劣。
綜上沙廉，可知 $\boldsymbol{V}_1+\boldsymbol{V}_2$ 也是線性空間 $\boldsymbol{V}$ 的線性子空間蟋定。

在抽象數(shù)學(xué)中屠凶，不要思考唉韭，一思考就會犯錯誤。

Theorem：維度公式：有兩個線性空間 $\boldsymbol{V}_1,\boldsymbol{V}_2$ 是數(shù)域 $\mathbb{F}$ 上的線性空間 $\boldsymbol{V}$ 的兩個子空間吼句，有
$\dim\boldsymbol{V}_1+\dim\boldsymbol{V}_2=\dim(\boldsymbol{V}_1+\boldsymbol{V}_2)+\dim(\boldsymbol{V}_1\cap\boldsymbol{V}_2)$
Proof：設(shè) $\dim\boldsymbol{V}_1=n_1,\dim\boldsymbol{V}_2=n_2,\dim(\boldsymbol{V}_1\cap\boldsymbol{V}_2)=m$

當(dāng) $n_1=m$ 時，由 $\boldsymbol{V}_1\cap\boldsymbol{V}_2\subset\boldsymbol{V}_1$ 倘潜，且維度相等，那么 $\boldsymbol{V}_1\cap\boldsymbol{V}_2=\boldsymbol{V}_1$ ；再由 $\boldsymbol{V}_1\cap\boldsymbol{V}_2\subset\boldsymbol{V}_2\Rightarrow \boldsymbol{V}_1\subset\boldsymbol{V}_2$ ，從而 $\boldsymbol{V}_1+\boldsymbol{V}_2=\boldsymbol{V}_2$ （這里需要一點(diǎn)思考，其中 $\boldsymbol{V}_1$ 是 $\boldsymbol{V}_2$ 的一部分褒翰，那么這兩個部分中的所有向量相加，最后得到的還是 $\boldsymbol{V}_2$ ）。好了俘种，現(xiàn)在 $\dim(\boldsymbol{V}_1+\boldsymbol{V}_2)=\dim\boldsymbol{V}_2=n_2$ 怖现，所以 $n_1+n_2=n_2+n_1$ 季蚂；
當(dāng) $n_2=m$ 時葵腹，和1類似地證明即可霉撵；
當(dāng) $m<n_1$ 且 $m<n_2$ 時不脯，由 $\dim\boldsymbol{\boldsymbol{V}_1\cap\boldsymbol{V}_2}=m$ 亿昏，則設(shè) $\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\cdots,\boldsymbol{x}_m$ 為 $\boldsymbol{V}_1\cap\boldsymbol{V}_2$ 的基，現(xiàn)在我們將 $\boldsymbol{V}_1$ 和 $\boldsymbol{V}_2$ 的基補(bǔ)全。
$\mathcal{B}_1=(\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\cdots,\boldsymbol{x}_m,\boldsymbol{y}_1,\boldsymbol{y}_2,\cdots,\boldsymbol{y}_{n_1-m})\\ \mathcal{B}_2=(\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\cdots,\boldsymbol{x}_m,\boldsymbol{z}_1,\boldsymbol{z}_2,\cdots,\boldsymbol{z}_{n_2-m})$
我們要證明 $\dim(\boldsymbol{V}_1+\boldsymbol{V}_2)=n_1+n_2-m$ 虫腋，也就是說我們要證明vector set $\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\cdots,\boldsymbol{x}_m,\boldsymbol{y}_1,\boldsymbol{y}_2,\cdots,\boldsymbol{y}_{n_1-m},\boldsymbol{z}_1,\boldsymbol{z}_2,\cdots,\boldsymbol{z}_{n_2-m}$ 是 $\boldsymbol{V}_1+\boldsymbol{V}_2$ 的basis。
設(shè) $\forall \boldsymbol{v}=\boldsymbol{y}+\boldsymbol{z}$ ，其中 $\boldsymbol{v}\in\boldsymbol{V}_1+\boldsymbol{V}_2,\boldsymbol{y}\in\boldsymbol{V}_1,\boldsymbol{z}\in\boldsymbol{V}_2$ 游添，將 $\boldsymbol{y}$ 和 $\boldsymbol{z}$ 按照給定的basis展開：
$\boldsymbol{y}=\sum_{k=1}^{m}p_k\boldsymbol{x}_k+\sum_{k=1}^{n_1-m}q_k\boldsymbol{y}_k\\ \boldsymbol{z}=\sum_{k=1}^{m}s_k\boldsymbol{x}_k+\sum_{k=1}^{n_2-m}t_k\boldsymbol{z}_k$
$\Rightarrow$
$\boldsymbol{v}=\boldsymbol{y}+\boldsymbol{z}=\sum_{k=1}^m(p_k+s_k)\boldsymbol{x}_k+\sum_{k=1}^{n_1-m}q_k\boldsymbol{y}_k+\sum_{k=1}^{n_2-m}t_k\boldsymbol{z}_k$
這里我們證明了 $\boldsymbol{V}_1+\boldsymbol{V}_2$ 中的任意一個向量 $\boldsymbol{v}$ 都可以有vector set $\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\cdots,\boldsymbol{x}_m,\boldsymbol{y}_1,\boldsymbol{y}_2,\cdots,\boldsymbol{y}_{n_1-m},\boldsymbol{z}_1,\boldsymbol{z}_2,\cdots,\boldsymbol{z}_{n_2-m}$ 線性表示，接下來要證明該vector set線性無關(guān)廊酣。我們假設(shè)
$\sum_{k=1}^ma_k\boldsymbol{x}_k+\sum_{k=1}^{n_1-m}b_k\boldsymbol{y}_k+\sum_{k=1}^{n_2-m}c_k\boldsymbol{z}_k=\boldsymbol{0}\\ \Rightarrow \sum_{k=1}^ma_k\boldsymbol{x}_k+\sum_{k=1}^{n_1-m}b_k\boldsymbol{y}_k=-\sum_{k=1}^{n_2-m}c_k\boldsymbol{z}_k=\boldsymbol{y}$
上面推導(dǎo)出的等式分三個部分能耻，第一部分說明 $\boldsymbol{y}\in\boldsymbol{V}_1$ ，第二部分說明 $\boldsymbol{y}\in\boldsymbol{V}_2$ （這里 $\boldsymbol{x}_i$ 前的系數(shù)都是0）亡驰，所以 $\boldsymbol{y}\in\boldsymbol{V}_1\cap\boldsymbol{V}_2$ 晓猛，而 $\boldsymbol{V}_1\cap\boldsymbol{V}_2$ 的基為 $\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\cdots,\boldsymbol{x}_m$ ，我們設(shè)一些新的系數(shù)凡辱，設(shè)出 $\boldsymbol{y}=\displaystyle\sum_{k=1}^ml_k\boldsymbol{x}_k$ 鞍帝，我們代入上面推導(dǎo)得到的公式中有
$\sum_{k=1}^ml_k\boldsymbol{x}_k+\sum_{k=1}^{n_2-m}c_k\boldsymbol{z}_k=\boldsymbol{0}$
我們發(fā)現(xiàn)，這里的是 $\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\cdots,\boldsymbol{x}_m,\boldsymbol{z}_1,\boldsymbol{z}_2,\cdots,\boldsymbol{z}_{n_2-m}$ 的Linear Combination煞茫，而這個vector set是 $\boldsymbol{V}_2$ 的basis帕涌，它們是線性無關(guān)的，則可以知道 $l_1=l_2=\cdots=l_m=0,c_1=c_2=\cdots=c_{n_2-m}=0$ （至此续徽，我們?yōu)榱俗C明 $a_i,b_i,c_i,i=1,2,\cdots$ 都為0蚓曼，現(xiàn)在 $c_i,i=1,2,\cdots,n_2-m$ 為0了）。到此钦扭，可以知道 $\boldsymbol{y}=\boldsymbol{0}$ 纫版，由此
$\sum_{k=1}^ma_k\boldsymbol{x}_k+\sum_{k=1}^{n_1-m}b_k\boldsymbol{y}_k=\boldsymbol{0}$
而 $\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\cdots,\boldsymbol{x}_m,\boldsymbol{y}_1,\boldsymbol{y}_2,\cdots,\boldsymbol{y}_{n_1-m}$ 是 $\boldsymbol{V}_1$ 的basis，所以必有 $a_1=a_2=\cdots=a_m=0,b_1=b_2=\cdots=b_{n_1-m}=0$ 客情。
綜上其弊， $\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\cdots,\boldsymbol{x}_m,\boldsymbol{y}_1,\boldsymbol{y}_2,\cdots,\boldsymbol{y}_{n_1-m},\boldsymbol{z}_1,\boldsymbol{z}_2,\cdots,\boldsymbol{z}_{n_2-m}$ 線性無關(guān)癞己。 $\boldsymbol{V}_1+\boldsymbol{V}_2$ 中每個元素都可以由這個向量組線性表示，且這個向量組還線性無關(guān)梭伐，所以這個向量組是 $\boldsymbol{V}_1+\boldsymbol{V}_2$ 的基痹雅。

最后編輯于：2019.10.31 21:23:51

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