代數(shù)的射影幾何學(xué)
代數(shù)幾何學(xué)家也在發(fā)展射影幾何學(xué)，最早出現(xiàn)的新代數(shù)概念是現(xiàn)在所說的齊次坐標(biāo)恢氯，莫比烏斯(August Ferdinand M?bius,1790-1868)建立了一個方案，他跟高斯滚粟、哈密爾頓一樣搞天文和數(shù)學(xué)甲锡，雖然沒參與綜合法和代數(shù)法之爭，但是在代數(shù)方面做了貢獻(xiàn)吩愧。
他從一個固定的三角形出發(fā)，對平面內(nèi)任一點(diǎn)P增显，考慮在三角形三個頂點(diǎn)上各放多少質(zhì)量能使三個質(zhì)量的重心在點(diǎn)P雁佳，就取這三個量為P的坐標(biāo)。當(dāng)P在三角形外時(shí)部分坐標(biāo)可以為負(fù)的。當(dāng)三個質(zhì)量乘以同一個常數(shù)時(shí)P仍為質(zhì)心糖权。所以在莫比烏斯的方案中堵腹，點(diǎn)的坐標(biāo)不唯一，而三個坐標(biāo)之比是確定的星澳。用于空間點(diǎn)時(shí)需要四個坐標(biāo)秸滴，在這個坐標(biāo)系里寫的曲線和曲面方程是齊次的（各項(xiàng)次數(shù)相同）。
莫比烏斯把從平面到平面或空間到空間的變換分類募判，如果對應(yīng)的圖形相等，變換是迭合變換咒唆，如果對應(yīng)的圖形相似届垫，變換是相似變換。如果保持平行性但不保持長度和形狀全释，變換是仿射變換（歐拉引入的概念）装处，最普遍的變換是直線到直線的變換，稱為直射變換浸船。莫比烏斯證明每個直射變換是一個射影變換妄迁，即能從一連串透視變換得出，該證明假定變換是一對一且連續(xù)的李命，但連續(xù)性條件能減弱登淘。莫比烏斯給出這種交換的一種解析表達(dá)式，他指出可以在上述每一類型變換下考慮圖形的不變性質(zhì)封字。
莫比烏斯對面積和體積也引入了帶正負(fù)號的元素黔州，因此對同一線上四點(diǎn)的帶正負(fù)號的交比給出了完善處理。他指出下圖線束中四條線的交比可以用頂點(diǎn)P處各角的正弦表示為：該比值與任何斜截線所截四點(diǎn)A,B,C,D的交比相同流妻，所以交比在投影與截影下不改變。
莫比烏斯還緩慢地發(fā)展了其它概念笆制，但沒有明顯進(jìn)展绅这。
普呂克(Julius Plücker,1801-1868)賦予代數(shù)射影幾何活力和效率。1836年起他在波恩當(dāng)數(shù)學(xué)與物理教授在辆，他主要是一個實(shí)驗(yàn)物理學(xué)家证薇，有許多著名發(fā)現(xiàn)，1863年后他重新投身于數(shù)學(xué)开缎。
普呂克也引入了齊次坐標(biāo)棕叫，他的第一個概念是三線坐標(biāo)，從一個固定三角形出發(fā)奕删，任一點(diǎn)P的坐標(biāo)取P到三角形各邊帶正負(fù)號的垂直距離俺泣，各距離可以乘以同一個常數(shù)，后來他引入一種特殊情況，相當(dāng)于把三角形一條邊看成無窮遠(yuǎn)直線伏钠，等價(jià)于把通常的笛卡爾坐標(biāo)x,y換成x=x1/x3和y=x2/x3横漏，變換后曲線方程對x1,x2,x3齊次，這個概念后來得到了廣泛使用熟掂。
普呂克利用齊次坐標(biāo)和關(guān)于齊次函數(shù)的歐拉定理缎浇，若f(tx1,tx2,tx3)=t''f(x1,x2,x3)則，給幾何概念以優(yōu)美的代數(shù)表示赴肚，例如若f(x1,x2,x3)=0是一個圓錐曲線的方程素跺，其中(x1,x2,x3)是圓錐曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)，那么方程
誉券，把x1',x2',x3'看成流動坐標(biāo)時(shí)指厌，可以解釋為點(diǎn)(x1,x2,x3)處的切線方程，當(dāng)把x1,x2,x3看成流動坐標(biāo)時(shí)踊跟，可以解釋為任意點(diǎn)(x1',x2',x3')相對于該圓錐曲線的極線方程踩验。
利用齊次坐標(biāo)，普呂克給出無窮遠(yuǎn)線商玫、圓上無窮遠(yuǎn)點(diǎn)和其它概念的代數(shù)表示箕憾。在齊次坐標(biāo)系(x1,x2,x3)中，無窮遠(yuǎn)線的方程是x3=0拳昌，在射影幾何里沒毛病袭异，而歐幾里得平面的尋常點(diǎn)落在有窮處，因?yàn)閤=x1/x3,y=x2/x3炬藤，不得不令無窮遠(yuǎn)點(diǎn)x3=0扁远。
通過x=x1/x3,y=x2/x3引入齊次笛卡爾坐標(biāo)x1,x2,x3后，圓的方程變成
刻像，由于無窮遠(yuǎn)線的方程是x3=0畅买，這條線與圓的交點(diǎn)由
確定，圓上無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)是(1,i,0)和(1,-i,0)细睡，類似地谷羞，球上無窮遠(yuǎn)圓的方程是
。
如果把直線方程寫成齊次形式（用x,y,z代替x1,x2,x3）Ax+By+Cz=0溜徙，并且要求直線過點(diǎn)(x1,y1,z1)和(1,i,0)湃缎，則該線的非齊次方程是x-x0+i(y-y0)=0，其中x0=x1/z1,y0=y1/z1蠢壹。同樣嗓违，通過(x1,y1,z1)和(1,-i,0)的線的方程是x-x0-i(y-y0)=0。索菲斯·李(Marius Sophus Lie)稱之為飄渺線图贸，現(xiàn)在稱為迷向線蹂季。
普呂克從代數(shù)上處理偶性后得到了一個漂亮的概念：線坐標(biāo)冕广。如果一條直線在齊次坐標(biāo)中的方程是ux+vy+wz=0，u,v,w或與它們成比例的三個數(shù)就是這條線的坐標(biāo)偿洁。于是像正象限f(x1,x2,x3)=0表示一些點(diǎn)的集體撒汉，f(u,v,w)=0表示一些線的集體或一個線曲線。
普呂克利用線坐標(biāo)給對偶原理一個代數(shù)表述和證明涕滋，給定任一方程f(r,s,t)=0睬辐，如果把r,s,t解釋為點(diǎn)的齊次坐標(biāo)x1,x2,x3，就能得到一個點(diǎn)曲線方程宾肺，如果把它們解釋為u,v,w溯饵，就得到對偶的線曲線，用代數(shù)過程證明的關(guān)于點(diǎn)曲線的任何一個性質(zhì)都能引出線曲線的對偶性锨用，因?yàn)樵谧兞康膬煞N解釋下瓣喊，代數(shù)是相同的。
1830年普呂克還指出黔酥，看作點(diǎn)集合的曲線同時(shí)也能看成曲線切線的集合，因?yàn)榍芯€也像點(diǎn)一樣確定了曲線形狀洪橘。切線族是一條線曲線跪者，在線坐標(biāo)中有一個方程，這個方程的次數(shù)稱為曲線的類數(shù)熄求，而曲線在點(diǎn)坐標(biāo)中的方程次數(shù)叫做曲線的階數(shù)渣玲。
