下面以熱爾崗對(duì)偶化笛沙格的三角形定理為例說(shuō)明熱爾崗的對(duì)偶原理。首先介紹下三角形的對(duì)偶：三角形由不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)和聯(lián)接它們的三條線組成柠横，對(duì)偶的圖形則由不在同一點(diǎn)上的三條線以及聯(lián)接它們的三個(gè)交點(diǎn)組成纪吮，對(duì)偶圖形也是三角形钥顽，所以稱(chēng)三角形是自對(duì)偶的块仆。熱爾崗發(fā)明了兩欄的書(shū)寫(xiě)格式脐彩，把對(duì)偶命題寫(xiě)在原命題旁徙歼，接著他把笛沙格定理改寫(xiě)為：
| 笛沙格定理 | 笛沙格定理的對(duì)偶 |
|---|---|
| 如果有兩個(gè)三角形犁河，聯(lián)接對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的線過(guò)同一個(gè)點(diǎn)O，那么對(duì)應(yīng)邊相交的三個(gè)點(diǎn)共線 | 如果有兩個(gè)三角形魄梯，聯(lián)接對(duì)應(yīng)邊的點(diǎn)在同一條線O上桨螺，那么對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)相連的三條線過(guò)同一個(gè)點(diǎn)。 |
這里對(duì)偶定理是原定理的逆定理酿秸。
熱爾崗對(duì)一般對(duì)偶原理的表述是有點(diǎn)含糊和缺陷的灭翔，雖然他深信它的普遍性，但無(wú)法證明辣苏，而彭賽列反對(duì)了其中的缺陷肝箱，并與熱爾崗爭(zhēng)奪該原理的優(yōu)先權(quán)（彭賽列確實(shí)優(yōu)先），譴責(zé)熱爾崗剽竊稀蟋，不過(guò)彭賽列要依靠配極煌张，且不承認(rèn)熱爾崗?fù)茝V了原理的應(yīng)用范圍。后來(lái)彭賽列退客、熱爾崗唱矛、莫比烏斯、沙勒和普呂克展開(kāi)討論井辜，弄明白了這一原理绎谦，莫比烏斯和普呂克都很好地說(shuō)明了對(duì)偶原理與配極之間的關(guān)系：對(duì)偶概念與圓錐曲線、二次型無(wú)關(guān)粥脚，但后者能用時(shí)就與配極一致窃肠。這一時(shí)期還沒(méi)有得到對(duì)一般對(duì)偶原理的邏輯證明。
Jacob Steiner(1796-1863)推進(jìn)了綜合射影幾何的發(fā)展刷允。他接受法國(guó)特別是彭賽列的觀點(diǎn)冤留，支持綜合法碧囊，反對(duì)分析學(xué)，創(chuàng)立了德國(guó)幾何學(xué)派纤怒。他出生于農(nóng)民家庭糯而，19歲以前在農(nóng)場(chǎng)干活，大多是自學(xué)的泊窘，最后成為了柏林的教授熄驼。他年輕時(shí)在裴斯泰洛齊（近代著名教育家）的學(xué)校當(dāng)老師，深感培養(yǎng)幾何直觀的重要性烘豹，裴斯泰洛齊的原則是在教師引導(dǎo)下瓜贾，采用蘇格拉底式的對(duì)話法，讓學(xué)生創(chuàng)造數(shù)學(xué)携悯。Steiner方法極端祭芦，他教幾何不用圖，在黑屋子里培養(yǎng)研究生（不明白是啥意思）憔鬼，后期Steiner為了維持多產(chǎn)的名聲龟劲，把英國(guó)和其它期刊發(fā)表的定理和證明拿來(lái)發(fā)文章，他寫(xiě)東西也不聲明這些是其他人的成果轴或。他研究幾何形狀的相互依賴(lài)性昌跌，其主要原理是運(yùn)用射影的概念從簡(jiǎn)單結(jié)構(gòu)（如點(diǎn)、線侮叮、線束避矢、面、面束）造出更復(fù)雜的結(jié)構(gòu)囊榜，他在結(jié)果上沒(méi)有特別的創(chuàng)新审胸，但方法是新的。
現(xiàn)在定義圓錐曲線為兩個(gè)射影相關(guān)的線束的所有各對(duì)應(yīng)線的交點(diǎn)集合悟狱。如P是曲線上一點(diǎn)静浴，且曲線過(guò)P1和P2。于是Steiner用較簡(jiǎn)單的形挤渐、線束創(chuàng)造了圓錐曲線或二次曲線苹享。但他未證明他的曲線和圓錐截口是一回事。
他也用類(lèi)似方法創(chuàng)造了直紋的二次曲面浴麻、單葉雙曲面和雙曲拋物面得问，用射影對(duì)應(yīng)作為他定義的基礎(chǔ)囤攀，但對(duì)整個(gè)射影幾何來(lái)說(shuō)，他的方法缺乏普遍性宫纬。
他在證明中采用交比作為基本工具焚挠，但他不用虛元素，稱(chēng)之為“幾何的鬼影”漓骚，也不用帶負(fù)號(hào)的量蝌衔，雖然莫比烏斯已經(jīng)引入了。Steiner一開(kāi)始就用對(duì)偶原理认境，如他把圓錐曲線的定義對(duì)偶化胚委，得到一種新結(jié)構(gòu)稱(chēng)為線曲線挟鸠。如果從兩個(gè)射影相關(guān)（而非透視相關(guān)）的點(diǎn)束出發(fā)叉信，那么聯(lián)接這兩個(gè)點(diǎn)束中對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線族稱(chēng)為一個(gè)線圓錐曲線。點(diǎn)的軌跡曲線稱(chēng)為點(diǎn)曲線艘希，點(diǎn)曲線的諸切線是一個(gè)線曲線硼身，如果點(diǎn)曲線是圓錐曲線，就構(gòu)成對(duì)偶曲線覆享。反過(guò)來(lái)佳遂，每個(gè)線圓錐曲線包絡(luò)著一個(gè)點(diǎn)圓錐曲線，或說(shuō)它是點(diǎn)圓錐曲線的切線集體撒顿。
用Steiner點(diǎn)圓錐曲線的對(duì)偶概念可把許多定理對(duì)偶化丑罪，比如帕斯卡定理的對(duì)偶命題。
| 帕斯卡定理 | 帕斯卡定理的對(duì)偶 |
|---|---|
| 在點(diǎn)圓錐曲線上取六個(gè)點(diǎn)A,B,C,D,E,F凤壁，則A,B的連線與D,E的連線交于一點(diǎn)P吩屹，B,C的連線與E,F的連線交于一點(diǎn)Q，C,D的連線與F,A的連線交于一點(diǎn)R拧抖，P,Q,R三點(diǎn)在一條線l上煤搜。 | 在線圓錐曲線上取六條線a,b,c,d,e,f，則a,b的交點(diǎn)與d,e的交點(diǎn)相連得線p唧席，b,c的交點(diǎn)與e,f的交點(diǎn)相連得線q擦盾，c,d的交點(diǎn)與f,a的交點(diǎn)相連得線r，p,q,r三線過(guò)同一點(diǎn)L淌哟。 |
Steiner和熱爾崗一樣迹卢，也沒(méi)有建立對(duì)偶原理的邏輯基礎(chǔ)。不過(guò)他作了圖形分類(lèi)徒仓，重視對(duì)偶命題腐碱，系統(tǒng)地發(fā)展了射影幾何學(xué)。他充分研究了二次曲線和二次曲面蓬衡。
沙勒畢生從事幾何學(xué)喻杈，他繼續(xù)彭賽列和Steiner的工作（雖然他不知道Steiner干了啥彤枢，因?yàn)樗床欢抡Z(yǔ)），由于他很多工作無(wú)意中重復(fù)了Steiner的筒饰，或者被更普遍的概念更替缴啡，這里只介紹少數(shù)成果。
沙勒從歐幾里得失傳的《衍論》中努力弄懂交比的觀念（雖然Steiner和莫比烏斯重新引入了瓷们，笛沙格也用過(guò)這個(gè)概念）业栅，但沙勒只知道La Hire和帕普斯用過(guò)。他得到的結(jié)果之一是：圓錐曲線上有四個(gè)固定點(diǎn)與這圓錐曲線上任意的第五點(diǎn)確定的四條線有相同的交比谬晕。
1828年沙勒給出定理：已知兩個(gè)共線點(diǎn)集成一一對(duì)應(yīng)碘裕，使一條線上任四點(diǎn)的交比等于另一條線上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的交比，那么聯(lián)接對(duì)應(yīng)點(diǎn)的那些線是一個(gè)圓錐曲線的切線攒钳，圓錐曲線與兩條已知線也相切帮孔。該結(jié)果等價(jià)于Steiner的線圓錐曲線定義，這里的交比條件保證兩個(gè)共線點(diǎn)集是射影相關(guān)的不撑，連接對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線是Steiner的線圓錐曲線文兢。
沙勒指出從對(duì)偶原理來(lái)看線和點(diǎn)一樣基本，他相信彭賽列和熱爾崗也贊成焕檬，沙勒把交比稱(chēng)為非調(diào)和比姆坚，引入“單應(yīng)”術(shù)語(yǔ)描述平面到自身或到其它平面的、把點(diǎn)變成點(diǎn)实愚、把線變成線的變換兼呵。這個(gè)術(shù)語(yǔ)包含了透射的或射影相關(guān)的圖形，他加了個(gè)條件要求變換保持交比不變腊敲，稱(chēng)點(diǎn)變線击喂、線變點(diǎn)的變換為對(duì)射。
雖然沙勒為純粹幾何學(xué)辯護(hù)兔仰，但他是解析地思考茫负，然后幾何地陳述證明和結(jié)果，這種方法稱(chēng)為混合法乎赴，后來(lái)別人也在用忍法。
1850年左右，射影幾何和歐幾里得幾何的邏輯關(guān)系還沒(méi)有弄清榕吼，從笛沙格到沙勒都用了長(zhǎng)度的概念（交比的概念就是用長(zhǎng)度定義的）饿序，但長(zhǎng)度不是射影概念，它在射影變換下發(fā)生改變羹蚣。Karl Georg Christian Von Staudt(1798-1867)是埃爾朗根教授原探，他對(duì)邏輯基礎(chǔ)感興趣，決心使射影幾何擺脫對(duì)長(zhǎng)度和迭合的依賴(lài)，他提出在射影的基礎(chǔ)上引入一種類(lèi)似長(zhǎng)度的東西“投的代數(shù)”咽弦，在直線上任選三個(gè)點(diǎn)徒蟆，給它們指定符號(hào)0,1,∞，然后用莫比烏斯的幾何作圖法“投”給任意一點(diǎn)P配上一個(gè)符號(hào)型型。
從直線上標(biāo)著0和1的點(diǎn)出發(fā)段审，過(guò)平行線上一點(diǎn)M作0M，然后作1N平行于0M闹蒜，再畫(huà)出1M寺枉，作N2平行于1M，顯然01=12绷落，因?yàn)槠叫兴倪呅螌?duì)邊相等姥闪，這樣就用幾何作圖把01的長(zhǎng)度轉(zhuǎn)到12了。
現(xiàn)在來(lái)看射影砌烁，從三個(gè)點(diǎn)0,1,∞出發(fā)筐喳，點(diǎn)∞在無(wú)窮遠(yuǎn)直線l∞上，但在射影幾何中是普通的線往弓，取一點(diǎn)M疏唾，過(guò)M作一條“平行”于01的線（這條線與01交于∞）蓄氧，現(xiàn)在有M∞函似，作0M并延長(zhǎng)它與直線l∞交于P，然后過(guò)1作0M的“平行線”（即與0M交于l∞的P）喉童，得到1P線撇寞，從而確定N，再畫(huà)出1M并延長(zhǎng)它與直線l∞交于Q堂氯，過(guò)N而“平行”于1M的線是QN蔑担，QN再交01于2。
用這種作圖法能給01∞線上的點(diǎn)配上“有理數(shù)坐標(biāo)”咽白，如果要把無(wú)理數(shù)配給線上的點(diǎn)啤握，必須引入連續(xù)性公理，von Staudt的工作還不夠嚴(yán)密晶框。他的點(diǎn)只是識(shí)別符號(hào)排抬，不能使用算數(shù)法則，他用幾何作圖來(lái)定義這些符號(hào)的運(yùn)算授段，使其能夠作為普通的數(shù)處理蹲蒲。給點(diǎn)配上符號(hào)后，他定義四個(gè)點(diǎn)的交比侵贵，如果四點(diǎn)的坐標(biāo)是x1,x2,x3,x4届搁，那么交比定義為
交比為-1的四點(diǎn)稱(chēng)為調(diào)和集卡睦。von Staudt定義：如果兩個(gè)點(diǎn)束在一一對(duì)應(yīng)下調(diào)和集對(duì)應(yīng)于調(diào)和集宴胧，那么兩個(gè)點(diǎn)束是射影相關(guān)的；如果四條共點(diǎn)的線與任一斜截線的交點(diǎn)是一個(gè)調(diào)和點(diǎn)集表锻，四條共點(diǎn)的線構(gòu)成一個(gè)調(diào)和集牺汤。于是兩個(gè)線束的射影對(duì)應(yīng)也能定義了。von Staudt利用這些概念浩嫌，定義了平面到自身的直射變換為點(diǎn)到點(diǎn)檐迟、線到線的一一變換，并證明它把調(diào)和集變?yōu)檎{(diào)和集码耐。
他指出射影幾何比歐幾里得幾何還基本追迟，其概念是歐幾的前提，顯示了射影幾何是與距離無(wú)關(guān)的學(xué)科骚腥，不過(guò)他還是用了歐幾的平行公理敦间，從邏輯上看是個(gè)缺陷，因?yàn)槠叫行圆皇巧溆安蛔兊氖現(xiàn)elix Klein消除了這個(gè)缺點(diǎn)廓块。
