13. 微積分 - 牛頓-萊布尼茲公式奄抽、泰勒展開

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Hi蔼两，大家好。我是茶桁逞度。

上一節(jié)課中额划，我們留了一個(gè)小尾巴，就是我讓大家注意了一下這個(gè)式子：
$\begin{align*} x^2\vert _{x=6}-x^2 \vert _{x=1}=6^2 - 1^2 = 35 \end{align*}$
這段含義就是 $x^2$ (在 $x$ 等于6的時(shí)候)減去 $x^2$ (當(dāng) $x$ 等于1的時(shí)候)档泽。它的結(jié)果就是6的平方減1的平方俊戳，它也等于35，好神奇馆匿。那難道說這 $x^2$ 和 $2x$ 之間有什么關(guān)聯(lián)嗎? 或者說我們把 $\int_a^b2xdx$ 的積分寫成 $x^2\vert_{x=b}-x^2 \vert_{x=a}$ ?, 難道這兩者是相等的嗎抑胎？

在這里引出了微積分里面的非常重要的一個(gè)定理了：牛頓-萊布尼茲公式。

牛頓-萊布尼茲公式

牛頓-萊布尼茲公式渐北，我們通過一個(gè)運(yùn)動(dòng)學(xué)的問題去說阿逃，它表述了怎么樣的一個(gè)場景呢？

首先，物體的初速度大小是0恃锉，它做一個(gè)勻加速直線運(yùn)動(dòng)搀菩，其加速度是 $2m/sec^2$ , 那么它的位移時(shí)間方程s就應(yīng)該是 $s=\frac{1}{2}at^2 = t^2$ ，我們物理課上學(xué)過的對吧破托？如果有不清楚的同學(xué)大家可以自己搜索一下肪跋，很好理解。我們把a(bǔ)的數(shù)值給它帶入之后炼团，它就等于t平方。

然后我們還可以考慮疏尿，不是做勻加速嗎瘟芝，那速度和時(shí)間的方程它應(yīng)該就是:
$\begin{align*} v = (s)' = 2t \end{align*}$
我們打個(gè)比方，比如說我初速都是0褥琐，一直做勻加速锌俱，每過一秒我的速度就增加2。所以它的函數(shù)方程就應(yīng)該是2t敌呈。其實(shí)也就相當(dāng)于對位移求導(dǎo)贸宏。就可以得到速度方程, 是我們物理學(xué)上面的一個(gè)常識。

我們先看一下這兩個(gè)圖像：

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上面一張圖是我們位移時(shí)間方程的圖像磕洪，下面是速度時(shí)間的函數(shù)圖像吭练。分別是 $s=t^2$ 以及 $v=2t$ 。

我們再來看一下這兩個(gè)圖所對應(yīng)的幾何意義析显。比如說我從0秒一直到5秒鲫咽，上面位移時(shí)間圖像里面它代表什么意義呢？0秒的時(shí)候在原點(diǎn)谷异，距原點(diǎn)的距離為0分尸，在5秒的時(shí)候就應(yīng)該在如圖的位置, $5^2$ , 應(yīng)該是25米：

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我從0秒到5秒總共走了多遠(yuǎn)是不是就是直接拿縱坐標(biāo)直接減就行了？25-0歹嘹，那不就是25嘛箩绍。

同樣的問題再放在速度時(shí)間方程上面來看。橫坐標(biāo)是時(shí)間t尺上，縱坐標(biāo)是速度v材蛛，我們知道速度乘以時(shí)間就是等于路程，或者說等于位移怎抛。函數(shù)曲線和 $x$ 軸圍成的面積幾何意義就是位移仰税。如果我們想通過速度時(shí)間圖像去求解從0秒到5秒總共走了多遠(yuǎn)的話，求0秒到5秒形成的三角形的面積就行抽诉。

我們已經(jīng)知道面積代表著 $v \times t$ ,不管是矩形還是三角形, 兩個(gè)數(shù)值乘在一起代表的物理含義就是位移陨簇。所以對于速度圖像而言，我們求它從0秒到5秒走過的路程就是把從原點(diǎn)出發(fā)，一直到5秒河绽，圍成的這么一個(gè)三角形的面積求出來己单。如圖：

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三角形對應(yīng)的面積就是我們在這5秒內(nèi)走過的位移。

那按照幾何意義來說的話耙饰，面積怎么求呢纹笼？邊長分別是5和10，所以面積等于 $\frac{1}{2} \times 5 \times 10$ , 等于25苟跪。和我們用位移時(shí)間函數(shù)所求到的結(jié)果是一模一樣的廷痘，唯一的區(qū)別就是在位移圖像里面它是直接縱坐標(biāo)結(jié)束值和初始值相減，在速度圖像里面是求面積件已。

那我們就發(fā)現(xiàn)了一個(gè)非常神奇的事實(shí)：當(dāng)我們對速度函數(shù)求積分的時(shí)候笋额，其實(shí)就是求被積函的原函數(shù)。

其實(shí)就是對速度函數(shù)做了一個(gè)反向求導(dǎo)篷扩，從位移到速度它是一個(gè)求導(dǎo)過程兄猩。從速度到位移我們暫且把它叫做反向求導(dǎo)，就是回到里面逆向求導(dǎo)一下鉴未，得到函數(shù)之后再減去相應(yīng)的縱坐標(biāo)值就可以了枢冤。

牛頓-萊布尼茲公式非常非常的重要。因?yàn)樗嬖V了我們對于積分的形式我們應(yīng)該怎么樣去求解铜秆，我們來看一下定積分公式：
$\begin{align*} \int_a^b f(x)dx = F(x) \vert_a^b = F(b) - F(a) \end{align*}$

如果我們要求積分的話淹真，只需要找出 $f(x)$ 對應(yīng)的原函數(shù)，然后把它在a點(diǎn)和b點(diǎn)的值求出來相減连茧，就可以得到 $f(x)$ 從a到b之間積分的值趟咆。

這是非常重要的一個(gè)事情，因?yàn)樗话l(fā)現(xiàn)之前呢其實(shí)人類是不知道怎么樣處理梅屉。雖然我知道 $\int_a^b$ 的意義值纱，知道怎么求導(dǎo)，但是關(guān)鍵我不知道怎么積坯汤。正是因?yàn)楣降陌l(fā)明虐唠，我們才知道，原來求它原函數(shù)就行了惰聂。

原函數(shù)的意思就是說疆偿，比如這里 $f(x)$ 是 $2x$ 的話，那它的原函數(shù)是什么樣的函數(shù)求導(dǎo)得到了 $2x$ 呢搓幌？就是 $x^2$ 杆故。

所以我們可以看到積分其實(shí)是分成兩種，一種稱為「定積分」一種稱為「不定積分」溉愁。定積分有具體的積分上下界以及具體的函數(shù)值相減处铛，對應(yīng)的這么一個(gè)結(jié)果。而不定積分只需要求出一個(gè)原函數(shù)就可以了。不定積分公式如下：
$\begin{align*} \int f(x)dx = F(x) + C \end{align*}$
不管是定積分還是不定積分撤蟆，核心都是逆向求導(dǎo)奕塑，找出原函數(shù)。

細(xì)心的小伙伴會(huì)注意到家肯，在不定積分這里求出來原函數(shù)還加了一個(gè)常數(shù) $C$ 龄砰。為什么要加 $C$ 呢？難道說 $f(x) = 2x$ , $F(x)$ 是 $x^2$ , 又或者是 $x^2 + 1$ 都行嗎讨衣？我們可以嘗試求導(dǎo)試一下换棚，確實(shí)是這樣沒錯(cuò)。這其實(shí)是一個(gè)之前課程中教過的問題反镇，就是常數(shù)求導(dǎo)等于多少固蚤？等于0對嗎？這項(xiàng)沒有了不會(huì)體現(xiàn)在這里愿险。

所以我們反向求導(dǎo)的時(shí)候會(huì)給它加上一個(gè)常數(shù) $C$ 颇蜡，表示它的原函數(shù)不是只有一個(gè)价说，是有無窮多個(gè)辆亏，根據(jù) $C$ 來做區(qū)別, 但是核心的 $F(x)$ 這一部分是一樣的.

很多小伙伴求不定積分，反向求導(dǎo)的時(shí)候把 $F(x)$ 求出來就萬事大吉了, 忘了加一個(gè)常數(shù) $C$ 鳖目。也有的不太會(huì)加扮叨，其實(shí)就直接寫上 $+C$ 就行。因?yàn)槟阋膊⒉恢莱?shù)是什么领迈， $C$ 可以代表任何常數(shù)彻磁。不能就光寫一個(gè) $F(x)$ 。

在我們定積分和不定積分的兩個(gè)公司中狸捅， $F(x)$ 是 $f(x)$ 的原函數(shù)衷蜓， $C$ 為常數(shù)， $a, b$ 是積分區(qū)間尘喝。

我們來看一個(gè)例子：

求積分 $\int_1^6(x^3 + 3x^2+cos x)dx$ 的值磁浇。

我們從1到6積的積分，這被積函數(shù)看著似乎很復(fù)雜的樣子朽褪，如果我們不知道牛頓-萊布尼茲公式的話就束手無策置吓，但是因?yàn)檫@兩位大神特別給力，所以現(xiàn)在呢缔赠，我們只需要找出這個(gè)被積函數(shù)的原函數(shù)是什么：
$\begin{align*} F(x) = \frac{1}{4}x^4 + x^3 + sinx \end{align*}$

大家可能一開始會(huì)比較習(xí)慣了求導(dǎo)衍锚，但是反向求導(dǎo)或者說求原函數(shù)的過程可能還得有一個(gè)適應(yīng)的過程，多練幾遍其實(shí)就熟悉了嗤堰。

打比方說戴质， $x^3$ , 我們想一下,三次方之前肯定是四次方, 四次方要求導(dǎo)拿下來肯定會(huì)有一個(gè)數(shù)字4, 那在被積函數(shù)里數(shù)字4沒有了，所以原函數(shù)肯定是有一個(gè)常數(shù)1/4, 當(dāng)求導(dǎo)的時(shí)候，拿下來的4和1/4抵消了置森，所以在被積函數(shù)里系數(shù)才是1斗埂，求出來導(dǎo)數(shù)是 $x^3$ 。

當(dāng)前我們舉的這個(gè)例子還是比較去好判斷它的原函數(shù)凫海，有一些函數(shù)的原函數(shù)比較難去判斷呛凶，會(huì)比較復(fù)雜。還有一點(diǎn)行贪，就是我們要知道漾稀，這是被積函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)是這樣子, 因?yàn)楸环e函數(shù)原函數(shù)有無窮多個(gè)，只要加上一個(gè)常數(shù) $C$ , 就無窮多個(gè)建瘫。我在這里我只是寫出這么一個(gè)崭捍，就是常數(shù)為0的情況。
$\begin{align*} & \therefore \int_1^6(x^3 + 3x^2+cosx)dx = F(x)\vert_1^6 \\ & = (\frac{1}{4}\times 6^4 + 6^3 +sin6) - (\frac{1}{4} \times 1^4 + 1^3 + sin1) \\ & \cong 1510.84 \end{align*}$

所以呢積分值就對應(yīng)著原函數(shù)在1和6處, 這兩個(gè)點(diǎn)的取值的一個(gè)差啰脚。算了一下殷蛇，近似值呢是1510.84，是一個(gè)無限小數(shù)橄浓。

這里還有一個(gè)地方要給大家說明一下粒梦，大家看到 $sin6$ , 還有后面的 $sin1$ , 并不是代表著6度，它并不是代表著我們平時(shí)理解的角度荸实。我們可以注意到無論是6還是1匀们，右上角都沒有代表讀書人的小圓圈，因?yàn)樗旧砭筒皇墙嵌茸几淼氖腔《取?/p>

弧度和角度怎么樣去換算呢泄朴？就是 $2\pi$ , $2\pi$ 等于360度， $\pi$ 就等于180度露氮，換算的話祖灰， $1弧度=180 / \pi 度， 1度=\pi / 180 弧度$ 畔规。大家這里可以了解一下局扶。

牛頓-萊布尼茲公式的意義

那牛頓-萊布尼茲公式對于我們有什么樣的意義呢？

首先油讯，他提供了求積分問題的一個(gè)非常有效的辦法详民，我們可以通過方向求導(dǎo)得出被積函數(shù)的原函數(shù)；并且將復(fù)雜的積分運(yùn)算轉(zhuǎn)化為簡單的加減運(yùn)算陌兑。

為什么說積分運(yùn)算是一個(gè)非常復(fù)雜的運(yùn)算沈跨，就是因?yàn)槿绻覀儧]有牛頓-萊布尼茲公式的話，如果要去計(jì)算積分唯一的辦法只有一開始說的兔综，通過畫無限多個(gè)矩形去逼近它饿凛，積分這一種方式去做狞玛。而劃分的過程就太復(fù)雜，這跟你劃分的多精細(xì)還有關(guān)涧窒。而且關(guān)鍵最后得到結(jié)果還不是一個(gè)很準(zhǔn)確的值心肪，只是一個(gè)近似值，永遠(yuǎn)只是一個(gè)近似值纠吴，你永遠(yuǎn)達(dá)不到它積分的值硬鞍。而公式將復(fù)雜的積分運(yùn)算化解成了簡單的這種加減運(yùn)算。

第二個(gè)戴已，它架起了微分學(xué)和積分學(xué)之間的一個(gè)橋梁固该。歷史上其實(shí)微分學(xué)和積分學(xué)一開始是獨(dú)立發(fā)展的。那個(gè)時(shí)候科學(xué)家是不知道這兩個(gè)東西是有聯(lián)系的糖儡，并沒有意識到一個(gè)正向一個(gè)反向過來伐坏。自從牛頓-萊布尼茲公式提出之后，微分學(xué)和積分學(xué)才被稱為了微積分握联。

正因?yàn)樯厦娴倪@些重要性桦沉，牛頓-萊布尼茲公式也被稱為了微積分基本定理。這是一個(gè)很高的榮譽(yù)金闽，整個(gè)微積分的基本定理纯露。

接下來，再給大家一個(gè)小知識點(diǎn)：

我們考慮呐矾，一個(gè)直恒為正的函數(shù)苔埋，也就是不存在圖像在 $x$ 軸下方出現(xiàn)負(fù)面積的情況懦砂。

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比如上圖這樣蜒犯，函數(shù)值恒為正。如果是函數(shù)的話荞膘，考慮它的幾何意義是什么罚随。就是函數(shù)圖像以及 $x$ 軸所圍成的面積, 通過積分求出來的就是面積。

那問題來了羽资，我們通過積分運(yùn)算求出來的值是它和x軸圍成的面積的準(zhǔn)確值淘菩，還是說它是一個(gè)極度逼近的一個(gè)近似值？準(zhǔn)確值什么意思屠升，就是面積被求出來了潮改，一點(diǎn)點(diǎn)都不差，正好是這么多腹暖。而極度逼近的近似值就是可以無限的逼近汇在，誤差非常非常小，但是還是不相等脏答，還是有一點(diǎn)點(diǎn)誤差糕殉。

函數(shù)是連續(xù)的亩鬼，就考慮連續(xù)的函數(shù)。

其實(shí)答案是準(zhǔn)確值阿蝶。

為什么我在這里提出這么一個(gè)問題雳锋？因?yàn)槲疫€記得上高中的時(shí)候，發(fā)現(xiàn)我周圍的同學(xué)很多人以為是一個(gè)極度逼近的近似值羡洁，而不是一個(gè)準(zhǔn)確值玷过。就跟那個(gè)極限的概念一樣，很多人覺得它是一個(gè)無限逼近但永遠(yuǎn)達(dá)不到的這么一個(gè)過程筑煮。

積分求出來的冶匹，就是一個(gè)準(zhǔn)確值。它面積是多少咆瘟，通過積分求出來就是多少嚼隘，大家這點(diǎn)要記住。

泰勒展開

接著袒餐，是我們微積分里最后一部分：泰勒展開飞蛹。是不是看到這里大家都舒一口氣？萬里長征終于來到最后一站了灸眼，當(dāng)然了還是會(huì)有些公式卧檐。

首先，我們通過微積分基本定理可知下面的式子：
$\begin{align*} f(x) - f(a) = \int_a^xf'(t_1)dt_1 \implies f(x) = f(a) + \int_a^xf'(t_1)dt_1 \end{align*}$
這里被積函數(shù)用 $f’(x)$ 表示了,原函數(shù)用 $f(x)$ 表示焰宣。然后我們稍微做一下變形霉囚，就能得到 $f(x) = f(a) + \int_a^xf'(t_1)dt_1$ 。

然后我們再對 $f’(t_1)$ 做同樣的處理匕积，就是 $f’(t_1)$ 是關(guān)于 $t_1$ 的一個(gè)函數(shù), 導(dǎo)函數(shù)它也是一個(gè)函數(shù)盈罐，就像我們之前說過的，導(dǎo)數(shù)可以求很多階闪唆，只要你n階可導(dǎo)的話盅粪，你一直可以求到n階導(dǎo)數(shù)。所以求了一次導(dǎo)之后悄蕾，它仍然可能是一個(gè)量的函數(shù)票顾。

我們再做同樣的處理：
$\begin{align*} f(x) = f(a) + \int_a^xf'(a)dt_1 + \int_a^x \int_a^{t_1} f''(t_2)dt_2dt_1 \end{align*}$

就是把上一個(gè)式子中結(jié)果里的 $f’(t_1)$ 看作成它所在式子中最前方的 $f(x)$ ，其實(shí)做的就是這么一個(gè)事情帆调。如果大家式子覺得看著腦殼疼可以不用去看奠骄。我就告訴你，就是把 $f'(t_1)$ 看作了 $f(x)$ 一樣番刊，然后套用一下 $f(x) - f(a) = \int_a^xf'(t_1)dt_1$ 這個(gè)式子去做含鳞。

頭暈了嗎？別急撵枢，往下看民晒，往下看你就會(huì)更暈了, 接著精居，我們在對上面得到的式子中的 $f''(t_2)$ 繼續(xù)做同樣的處理：
$\begin{align*} & f(x) \\ & = f(a)+\int_a^xf'(a)dt_1 + \int_a^x \int_a^{t_1} f''(a)dt_2dt_1+\int_a^x\int_a^{t_1}\int_a^{t_2}f'''(t_3)dt_1dt_2dt_3 \end{align*}$

這里呢，其實(shí)就是吧 $f''(t_2)$ 同樣看作 $f(x)$ 潜必，然后得到結(jié)果靴姿，就是這么一大長串。雙重積分磁滚、三重積分佛吓；你想要幾成都可以，看你自己樂意垂攘。

那我們做這些有啥意義呢维雇？別急，接著往下看晒他。

首先吱型，我們先來看一下形式，先別管這后面這一項(xiàng)陨仅，后面一項(xiàng)它是跟 $t_3$ 有關(guān)的, $t_3$ 是一個(gè)自變量津滞，它不是一個(gè)常數(shù)。

我們來看一下前面灼伤， $f(a)$ 是一個(gè)常數(shù)了, $f’(a)$ 是一個(gè)常數(shù)了, $f''(a)$ 是一個(gè)常數(shù)了触徐。那不就是 $f(x) = a$ 處函數(shù)值、一階導(dǎo)數(shù)狐赡、二階導(dǎo)數(shù)撞鹉，不都是常數(shù)嗎？所以 $f(a), f'(a), f''(a)$ 這三個(gè)均為常數(shù)颖侄，我們可以得到什么鸟雏？直接對它做積分：
$\begin{align*} \int_a^xf'(a)dt_1 = \frac{f'(a)}{1}(x-a) \end{align*}$

這里，可以把 $f’(a)$ 用 $C$ 來代替发皿，但我們還是先給它保留一下: $\frac{f'(a)}{1}$ 崔慧。

我們可以這么看拂蝎，先別管 $f'(a)$ 穴墅，把這項(xiàng)給拿掉，就看做它系數(shù)是1温自，就是積分a到 $x$ , 乘上1玄货，然后乘上 $dt_1$ 。

什么東西求出來它的導(dǎo)數(shù)是1呢悼泌？不就是 $f(x) = x$ 松捉， $t_1 = x$ 的時(shí)候、 $t_1 = a$ 的時(shí)候, 它兩相減乘出來的結(jié)果馆里，再乘上常數(shù) $f’(a)$ 隘世，在這里它除以1是我人為加的可柿。如果計(jì)算的話，不會(huì)有除以1這一步丙者，那我為什么要人為加這么一個(gè)呢复斥？我們接著往下看:
$\begin{align*} \int_a^x\int_a^{t_1}f''(a)dt_2dt_1 & = \int_a^x \frac{f''(a)}{1}(t_1 - a)dt_1 \\ & = \frac{f''(a)}{1 \times 2}(x-a)^2 \end{align*}$

求二重積分怎么求? 我們從里到外一步一步的求, 我們先看這部分： $\int_a^{t_1}f''(a)dt_2$ ，不然兩個(gè)一塊看你絕對腦殼疼械媒，而且也反應(yīng)不過來目锭。

這一部分求積分不就和上方的式子類似嗎，求出來結(jié)果就是 $\frac{f''(a)}{1}(t_1 - a)$ , 和上面類似纷捞，只不過就是表現(xiàn)形式上面痢虹，符號上面有一些差別。

當(dāng)我們做完了這些之后主儡，我們再來求這部分： $\int_a^x \frac{f''(a)}{1}(t_1 - a)dt_1$ , 雙重積分我們就一層一層來,別想一口吃個(gè)胖子奖唯，一下子就把兩層積分全給做了。那這個(gè)時(shí)候糜值， $\frac{f''(a)}{1}$ 是一個(gè)常數(shù), 然后 $t_1$ 是自變量的一次臭埋， $a$ 是一個(gè)常數(shù)。所以我們求出來最終結(jié)果臀玄。 $t_1-a$ 這部分的原函數(shù)瓢阴，寫成 $\frac{1}{2}t_1^2 - at_1$ 。再往里面帶健无，當(dāng)它等于a的時(shí)候什么值荣恐，當(dāng) $t_1$ 等于 $x$ 的時(shí)候什么值。

注意累贤，這里的 $x$ 它就不再是我們慣常表示的那個(gè)自變量了叠穆，這里 $x$ 我們可以把它當(dāng)成一個(gè)常數(shù)。

通過我們牛頓-萊布尼茲公式可以算出來雙重積分求出來結(jié)果: $\frac{f''(a)}{1 \times 2}(x-a)^2$ 臼膏。

然后我們接下來再來看一下硼被，我們一直這樣做下去會(huì)怎樣。

我們一直做下去渗磅，那他四重積分又出來了嚷硫，之后是五重、六重始鱼，一直到n重都能出來仔掸。在n重之前的這些積分，不管多少重医清，它這里面都是一個(gè)常數(shù)起暮。所以我們在這里就可以得到：
$\begin{align*} & f(x) \\ & = f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+...+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+R_n(x) \end{align*}$

只要我們一直做下去,就會(huì)發(fā)現(xiàn) $f(x)$ 可以表示成這種形式。它在某一點(diǎn)的函數(shù)值会烙，這一點(diǎn)的一階導(dǎo)负懦、二階導(dǎo)筒捺、三階導(dǎo)，都乘上一個(gè)多項(xiàng)式纸厉，一直到 $n$ 次的多項(xiàng)式焙矛，然后再除以n的階乘。

階乘是什么意思大家都應(yīng)該知道吧残腌？我們拿5舉例村斟， 5的階乘就是 $1\times 2 \times 3 \times 4 \times 5$ ，多少的階乘就是從1一直乘到多少個(gè)數(shù)抛猫。階層的增長率其實(shí)是超過指數(shù)函數(shù)的蟆盹，它的增長速度是遠(yuǎn)超過指數(shù)函數(shù)的，階乘是一個(gè)很可怕的數(shù)闺金。

當(dāng)然逾滥，在數(shù)學(xué)上面如果你要表示非常大的數(shù)，可以用高德納數(shù)來表示败匹，這里就不展開說了寨昙。

最后，我們還拖了一個(gè)小尾巴掀亩， $R_n(x)$ 為什么沒有寫了,如果它寫的話它是套了n重積分的一個(gè)形式舔哪。

這里我們就把函數(shù)用這種形式來表示，那形式有什么意義槽棍？其意義非常大捉蚤，我們一個(gè)一個(gè)來看：

不管是什么樣形式的函數(shù)，都可以通過多項(xiàng)式函數(shù)來擬合炼七。多項(xiàng)式函數(shù)：易于計(jì)算缆巧，可以快速獲得結(jié)果。

比如 $cosx$ 豌拙，當(dāng) $x$ 為30度陕悬，45度，90度的時(shí)候按傅，我們都可以進(jìn)行計(jì)算捉超。但是當(dāng)x為37度，38.89度逞敷，二分之派狂秦，你還能算出來嗎？人和機(jī)器都不行推捐。算這些函數(shù)都是通過「泰勒展開」來計(jì)算的。把他們化成這種形式：就是我們上面最終的 $f(x)$ 得到的形式去計(jì)算的侧啼，通過計(jì)算多項(xiàng)式函數(shù)來做牛柒。

所以大家不要以為計(jì)算機(jī)啊很牛逼堪簿，其實(shí)它在智能程度遠(yuǎn)遜于人類，它只能做一些非常簡單的二進(jìn)式的加減法皮壁，什么0+1椭更、1+0、1*1這種東西蛾魄。但是它可以通過把復(fù)雜函數(shù)轉(zhuǎn)換成多項(xiàng)式虑瀑，通過強(qiáng)大的算力快速的告訴我們結(jié)果，計(jì)算機(jī)就是這樣去計(jì)算滴须。

包括大家在中學(xué)的時(shí)候應(yīng)該用過一個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)用表舌狗，在上面會(huì)看到不同的函數(shù)，在 $x$ 等于幾的時(shí)候都會(huì)有一個(gè)近似值扔水。那時(shí)候是不是很好奇值咋算的痛侍，我那時(shí)候就好奇過。那時(shí)候我反正是想不明白這東西怎么算魔市。后來查資料就發(fā)現(xiàn)是通過泰勒展開算出來的主届，就是通過這種方式。

那么所有的復(fù)雜函數(shù)都是用泰勒展開轉(zhuǎn)換成多項(xiàng)式函數(shù)計(jì)算的待德。

泰勒展開也是有一個(gè)適用范圍的君丁。我們舉一個(gè)例子： $\frac{1}{1-x} = 1+x+x^2+x^3+o(x^3)$

這個(gè)函數(shù)，不是對任意的 $x$ 都成立, 比如如果我 $x$ 等于10的話, 左邊是一個(gè)負(fù)數(shù)了,但是你看右邊是一個(gè)非常大的一個(gè)正數(shù)将宪，這根本是不可能的谈截。這還引發(fā)過數(shù)學(xué)史上非常有名的一個(gè)悖論。所以泰勒展開它是有一個(gè)適用范圍的涧偷。對于上面這個(gè)例子而言簸喂，它的適用范圍就是1，它的收斂半徑就是1燎潮。

有一種泰勒展開比較特殊喻鳄，就是你令多重積分里這些a等于0的時(shí)候，這種泰勒展開被稱為麥克勞林展開确封。

我們來看一個(gè)例子除呵，來看一下它到底是否像說的那么厲害。

例：求函數(shù) $f(x) = e^x$ 在 $x=1$ 時(shí)的值爪喘。

當(dāng)我們拿到這個(gè)函數(shù)的時(shí)候颜曾，感覺都沒辦法去做，e的值都不知道秉剑。其實(shí)就是讓我們求e的值泛豪。

由函數(shù)的麥克勞林展開式，我們可以得到:
$\begin{align*} f(x) = e^x \cong 1 + \frac{1}{1!}x^1 + \frac{1}{2!}x^2 + \frac{1}{3!}x^3 +\frac{1}{4!}x^4 + \frac{1}{5!}x^5 \end{align*}$
我們這里就先精確到 $x$ 的5次方。

我們最終得到結(jié)果：
$\begin{align*} f(1) = e^x & \cong 1 + \frac{1}{1!}x^1 + \frac{1}{2!}x^2 + \frac{1}{3!}x^3 +\frac{1}{4!}x^4 + \frac{1}{5!}x^5 \\ & = 2.7167 \end{align*}$

通過查表,e的值是多少? 是 $e^1 = e = 2.71828...$ , 一直循環(huán)下去诡曙。我們會(huì)發(fā)現(xiàn)僅僅是通過簡單的四則運(yùn)算臀叙，再加上簡單的乘方運(yùn)算，乘方當(dāng)然也可以轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算价卤。就計(jì)算出了一個(gè)非常復(fù)雜函數(shù)的值劝萤，泰勒展開的威力可見一般。

我們在計(jì)算機(jī)去處理的時(shí)候慎璧，其實(shí)它沒有我們聰明床嫌，人做不到事情它也做不到，只能轉(zhuǎn)換成這些多項(xiàng)式然后去計(jì)算胸私⊙岽Γ靠的是它強(qiáng)大的算力，可能把小數(shù)點(diǎn)的位數(shù)給精確到多少位多少位盖文，再交給我們?nèi)ゲ橹龅埃瑑H此而已。

那我們?nèi)绾卫斫馓├照归_五续？其實(shí)泰勒展開是可以用一系列的多項(xiàng)式函數(shù)來擬合任意一個(gè)函數(shù)洒敏，它擬合的道理是什么？我們看下面的圖：

image.png

比如紅色的線代表了我們要擬合的函數(shù)疙驾，鋸齒狀的綠色曲線代表了我們擬合的效果凶伙。泰勒展開就是想用一個(gè)函數(shù)模擬另外一個(gè)蘑辑。模擬不僅僅代表著在某些點(diǎn)的坐標(biāo)赔癌，或者說函數(shù)值相同驼仪；更代表了在這些點(diǎn)的一階變化率相同挖垛，二階變化率一直到n階變化率都相同。

也就是兩個(gè)函數(shù)如果非常接近了正卧，非常趨于相同了叹坦。那應(yīng)該說不光在某些點(diǎn)函數(shù)值相同检碗，在這些點(diǎn)的各階的變化率對應(yīng)的情況也相同挖息。

就像兩個(gè)賽車在比賽一樣金拒，不是哪些位置他們倆的速度相同，還得比他們在哪些位置的加速度是否也相同套腹，這樣他們運(yùn)動(dòng)曲線才是一樣的绪抛。也就是說，如果兩個(gè)函數(shù) $f(x)$ 和 $g(x)$ 相同电禀，那么：
$\begin{align*} & f(x) = g(x) \\ & f'(x) = g'(x) \\ & f''(x) = g''(x) \\ & ... \\ & f^{(n)}(x) = g^{(n)}(x) \\ & 各階的變化情況相同 \end{align*}$

結(jié)束語

以泰勒展開為結(jié)束點(diǎn)幢码，我們今天的課程到這里也就結(jié)束了。微積分相關(guān)的內(nèi)容到這里就全部講完了尖飞，當(dāng)然症副，我所講的這些內(nèi)容店雅，在熟悉之后應(yīng)付人工智能是能應(yīng)付了，但是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不是微積分的所有內(nèi)容瓦糕，并且講的也并不細(xì)致底洗，所以不要將我所講的這些內(nèi)容當(dāng)作正規(guī)的數(shù)學(xué)教材腋么。如果您是為了去理解和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)咕娄，那么就當(dāng)作我給你開了一個(gè)窗，入門的話珊擂，還需要正規(guī)的數(shù)學(xué)教材去系統(tǒng)的好好學(xué)一下圣勒。

對于只是希望進(jìn)入人工智能大門的小伙伴，要記得我一開始所說的摧扇，微積分這部分內(nèi)容體系雖然很龐大圣贸，但是最核心的還是導(dǎo)數(shù)和鏈?zhǔn)椒▌t。當(dāng)然在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)里面導(dǎo)數(shù)大多數(shù)情況是以偏導(dǎo)數(shù)的形式存在扛稽。我們用梯度下降算法去優(yōu)化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)吁峻。

那么，這一段時(shí)間大家辛苦了在张∮煤可以先好好休息一下，下節(jié)課估計(jì)會(huì)晚一點(diǎn)放出來帮匾，我先去好好的備下課啄骇。下節(jié)課開始，我們來學(xué)習(xí)線性代數(shù)的相關(guān)內(nèi)容瘟斜。還記得我規(guī)劃的相關(guān)目錄嗎缸夹？我再把線性代數(shù)部分貼出來大家看看：

線性代數(shù)：

線性方程組
行列式與克拉默法則
矩陣及其運(yùn)算
神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的矩陣/向量
矩陣的性質(zhì)
矩陣與線性變換
線性變換的幾何意義
特征值與特征向量
NumPy中矩陣的操作

當(dāng)然，最后還是需要根據(jù)內(nèi)容多少來確定一篇文章內(nèi)包含多少螺句。

好虽惭，我是茶桁，咱們下節(jié)課再見蛇尚。

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結(jié)束語

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