最近在看opencv,看到傅里葉變換時(shí)碰镜，數(shù)學(xué)渣渣的我懵懵噠鲫惶，做裙，岗憋，搜索了下科普文章，發(fā)現(xiàn)了這么一篇博文锚贱，稱得上通俗易懂吧（雖然看了兩遍我也沒完全理解）
轉(zhuǎn)自：https://www.cnblogs.com/h2zZhou/p/8405717.html

原文如下：

謹(jǐn)以此文獻(xiàn)給大連海事大學(xué)的吳楠老師仔戈，柳曉鳴老師，王新年老師以及張晶泊老師拧廊。

轉(zhuǎn)載的同學(xué)請保留上面這句話监徘，謝謝。如果還能保留文章來源就更感激不盡了
我保證這篇文章和你以前看過的所有文章都不同卦绣，這是 2012 年還在果殼的時(shí)候?qū)懙哪土浚钱?dāng)時(shí)沒有來得及寫完就出國了……于是拖了兩年，嗯滤港，我是拖延癥患者……

這篇文章的核心思想就是：

要讓讀者在不看任何數(shù)學(xué)公式的情況下理解傅里葉分析。

傅里葉分析不僅僅是一個(gè)數(shù)學(xué)工具趴拧，更是一種可以徹底顛覆一個(gè)人以前世界觀的思維模式溅漾。但不幸的是，傅里葉分析的公式看起來太復(fù)雜了著榴，所以很多大一新生上來就懵圈并從此對它深惡痛絕添履。老實(shí)說，這么有意思的東西居然成了大學(xué)里的殺手課程脑又，不得不歸咎于編教材的人實(shí)在是太嚴(yán)肅了暮胧。（您把教材寫得好玩一點(diǎn)會(huì)死嗎？會(huì)死嗎问麸？）所以我一直想寫一個(gè)有意思的文章來解釋傅里葉分析往衷，有可能的話高中生都能看懂的那種。所以严卖，不管讀到這里的您從事何種工作席舍，我保證您都能看懂，并且一定將體會(huì)到通過傅里葉分析看到世界另一個(gè)樣子時(shí)的快感哮笆。至于對于已經(jīng)有一定基礎(chǔ)的朋友来颤，也希望不要看到會(huì)的地方就急忙往后翻，仔細(xì)讀一定會(huì)有新的發(fā)現(xiàn)。

————以上是定場詩————

下面進(jìn)入正題：

抱歉斥黑，還是要啰嗦一句：其實(shí)學(xué)習(xí)本來就不是易事狸演，我寫這篇文章的初衷也是希望大家學(xué)習(xí)起來更加輕松，充滿樂趣滑黔。但是千萬笆包！千萬不要把這篇文章收藏起來，或是存下地址拷沸，心里想著：以后有時(shí)間再看色查。這樣的例子太多了，也許幾年后你都沒有再打開這個(gè)頁面撞芍。無論如何秧了，耐下心，讀下去序无。這篇文章要比讀課本要輕松验毡、開心得多……

一、什么是頻域

從我們出生帝嗡，我們看到的世界都以時(shí)間貫穿晶通，股票的走勢、人的身高哟玷、汽車的軌跡都會(huì)隨著時(shí)間發(fā)生改變狮辽。這種以時(shí)間作為參照來觀察動(dòng)態(tài)世界的方法我們稱其為時(shí)域分析。而我們也想當(dāng)然的認(rèn)為巢寡，世間萬物都在隨著時(shí)間不停的改變喉脖，并且永遠(yuǎn)不會(huì)靜止下來。但如果我告訴你抑月，用另一種方法來觀察世界的話树叽，你會(huì)發(fā)現(xiàn)世界是永恒不變的，你會(huì)不會(huì)覺得我瘋了谦絮？我沒有瘋题诵，這個(gè)靜止的世界就叫做頻域。

先舉一個(gè)公式上并非很恰當(dāng)层皱，但意義上再貼切不過的例子：

在你的理解中性锭，一段音樂是什么呢？

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這是我們對音樂最普遍的理解奶甘，一個(gè)隨著時(shí)間變化的震動(dòng)篷店。但我相信對于樂器小能手們來說，音樂更直觀的理解是這樣的：

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好的！下課疲陕，同學(xué)們再見方淤。

是的，其實(shí)這一段寫到這里已經(jīng)可以結(jié)束了蹄殃。上圖是音樂在時(shí)域的樣子携茂，而下圖則是音樂在頻域的樣子。所以頻域這一概念對大家都從不陌生诅岩，只是從來沒意識(shí)到而已讳苦。

現(xiàn)在我們可以回過頭來重新看看一開始那句癡人說夢般的話：世界是永恒的。

將以上兩圖簡化：

時(shí)域：

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頻域：

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在時(shí)域吩谦，我們觀察到鋼琴的琴弦一會(huì)上一會(huì)下的擺動(dòng)鸳谜，就如同一支股票的走勢；而在頻域式廷，只有那一個(gè)永恒的音符咐扭。

所以

你眼中看似落葉紛飛變化無常的世界，實(shí)際只是躺在上帝懷中一份早已譜好的樂章滑废。

抱歉蝗肪，這不是一句雞湯文，而是黑板上確鑿的公式：傅里葉同學(xué)告訴我們蠕趁，任何周期函數(shù)薛闪，都可以看作是不同振幅，不同相位正弦波的疊加俺陋。在第一個(gè)例子里我們可以理解為豁延，利用對不同琴鍵不同力度，不同時(shí)間點(diǎn)的敲擊腊状，可以組合出任何一首樂曲术浪。

而貫穿時(shí)域與頻域的方法之一，就是傳中說的傅里葉分析寿酌。傅里葉分析可分為傅里葉級(jí)數(shù)（Fourier Serie）和傅里葉變換(Fourier Transformation)，我們從簡單的開始談起硕蛹。

二醇疼、傅里葉級(jí)數(shù)(Fourier Series)的頻譜

還是舉個(gè)栗子并且有圖有真相才好理解。

如果我說我能用前面說的正弦曲線波疊加出一個(gè)帶 90 度角的矩形波來法焰，你會(huì)相信嗎秧荆？你不會(huì)，就像當(dāng)年的我一樣埃仪。但是看看下圖：

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第一幅圖是一個(gè)郁悶的正弦波 cos（x）

第二幅圖是 2 個(gè)賣萌的正弦波的疊加 cos (x) +a.cos (3x)

第三幅圖是 4 個(gè)發(fā)春的正弦波的疊加

第四幅圖是 10 個(gè)便秘的正弦波的疊加

隨著正弦波數(shù)量逐漸的增長乙濒，他們最終會(huì)疊加成一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的矩形，大家從中體會(huì)到了什么道理？

（只要努力颁股，彎的都能掰直Ｃ纯狻）

隨著疊加的遞增，所有正弦波中上升的部分逐漸讓原本緩慢增加的曲線不斷變陡甘有，而所有正弦波中下降的部分又抵消了上升到最高處時(shí)繼續(xù)上升的部分使其變?yōu)樗骄€诉儒。一個(gè)矩形就這么疊加而成了。但是要多少個(gè)正弦波疊加起來才能形成一個(gè)標(biāo)準(zhǔn) 90 度角的矩形波呢亏掀？不幸的告訴大家忱反，答案是無窮多個(gè)。（上帝：我能讓你們猜著我滤愕？）

不僅僅是矩形温算，你能想到的任何波形都是可以如此方法用正弦波疊加起來的。這是沒有接觸過傅里葉分析的人在直覺上的第一個(gè)難點(diǎn)间影，但是一旦接受了這樣的設(shè)定注竿，游戲就開始有意思起來了。

還是上圖的正弦波累加成矩形波宇智，我們換一個(gè)角度來看看：

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在這幾幅圖中蔓搞，最前面黑色的線就是所有正弦波疊加而成的總和，也就是越來越接近矩形波的那個(gè)圖形随橘。而后面依不同顏色排列而成的正弦波就是組合為矩形波的各個(gè)分量喂分。這些正弦波按照頻率從低到高從前向后排列開來，而每一個(gè)波的振幅都是不同的机蔗。一定有細(xì)心的讀者發(fā)現(xiàn)了蒲祈，每兩個(gè)正弦波之間都還有一條直線，那并不是分割線萝嘁，而是振幅為 0 的正弦波梆掸！也就是說，為了組成特殊的曲線牙言，有些正弦波成分是不需要的酸钦。

這里，不同頻率的正弦波我們成為頻率分量咱枉。

好了卑硫，關(guān)鍵的地方來了！蚕断！

如果我們把第一個(gè)頻率最低的頻率分量看作“1”欢伏，我們就有了構(gòu)建頻域的最基本單元。

對于我們最常見的有理數(shù)軸亿乳，數(shù)字“1”就是有理數(shù)軸的基本單元硝拧。

（好吧，數(shù)學(xué)稱法為——基。在那個(gè)年代障陶，這個(gè)字還沒有其他奇怪的解釋滋恬，后面還有正交基這樣的詞匯我會(huì)說嗎?）

時(shí)域的基本單元就是“1 秒”，如果我們將一個(gè)角頻率為的正弦波 cos（t）看作基礎(chǔ)咸这，那么頻域的基本單元就是夷恍。

有了“1”，還要有“0”才能構(gòu)成世界媳维，那么頻域的“0”是什么呢酿雪？cos（0t）就是一個(gè)周期無限長的正弦波，也就是一條直線侄刽！所以在頻域指黎，0 頻率也被稱為直流分量，在傅里葉級(jí)數(shù)的疊加中州丹，它僅僅影響全部波形相對于數(shù)軸整體向上或是向下而不改變波的形狀醋安。

接下來，讓我們回到初中墓毒，回憶一下已經(jīng)死去的八戒吓揪，啊不，已經(jīng)死去的老師是怎么定義正弦波的吧所计。

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正弦波就是一個(gè)圓周運(yùn)動(dòng)在一條直線上的投影柠辞。所以頻域的基本單元也可以理解為一個(gè)始終在旋轉(zhuǎn)的圓

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想看動(dòng)圖的同學(xué)請戳這里：

File:Fourier series square wave circles animation.gif

11.gif

以及這里：

File:Fourier series sawtooth wave circles animation.gif

點(diǎn)出去的朋友不要被 wiki 拐跑了，wiki 寫的哪有這里的文章這么沒節(jié)操是不是主胧。

介紹完了頻域的基本組成單元叭首，我們就可以看一看一個(gè)矩形波，在頻域里的另一個(gè)模樣了：

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這是什么奇怪的東西踪栋？

這就是矩形波在頻域的樣子焙格，是不是完全認(rèn)不出來了？教科書一般就給到這里然后留給了讀者無窮的遐想夷都，以及無窮的吐槽眷唉，其實(shí)教科書只要補(bǔ)一張圖就足夠了：頻域圖像，也就是俗稱的頻譜囤官，就是——

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再清楚一點(diǎn)：

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可以發(fā)現(xiàn)厢破，在頻譜中，偶數(shù)項(xiàng)的振幅都是0治拿，也就對應(yīng)了圖中的彩色直線。振幅為 0 的正弦波笆焰。

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動(dòng)圖請戳：

File:Fourier series and transform.gif

老實(shí)說劫谅，在我學(xué)傅里葉變換時(shí)，維基的這個(gè)圖還沒有出現(xiàn)，那時(shí)我就想到了這種表達(dá)方法捏检，而且荞驴，后面還會(huì)加入維基沒有表示出來的另一個(gè)譜——相位譜。

但是在講相位譜之前贯城，我們先回顧一下剛剛的這個(gè)例子究竟意味著什么熊楼。記得前面說過的那句“世界是靜止的”嗎？估計(jì)好多人對這句話都已經(jīng)吐槽半天了能犯。想象一下鲫骗，世界上每一個(gè)看似混亂的表象，實(shí)際都是一條時(shí)間軸上不規(guī)則的曲線踩晶，但實(shí)際這些曲線都是由這些無窮無盡的正弦波組成执泰。我們看似不規(guī)律的事情反而是規(guī)律的正弦波在時(shí)域上的投影，而正弦波又是一個(gè)旋轉(zhuǎn)的圓在直線上的投影渡蜻。那么你的腦海中會(huì)產(chǎn)生一個(gè)什么畫面呢术吝？

我們眼中的世界就像皮影戲的大幕布，幕布的后面有無數(shù)的齒輪茸苇，大齒輪帶動(dòng)小齒輪排苍，小齒輪再帶動(dòng)更小的。在最外面的小齒輪上有一個(gè)小人——那就是我們自己学密。我們只看到這個(gè)小人毫無規(guī)律的在幕布前表演淘衙，卻無法預(yù)測他下一步會(huì)去哪。而幕布后面的齒輪卻永遠(yuǎn)一直那樣不停的旋轉(zhuǎn)则果，永不停歇幔翰。這樣說來有些宿命論的感覺。說實(shí)話西壮，這種對人生的描繪是我一個(gè)朋友在我們都是高中生的時(shí)候感嘆的遗增，當(dāng)時(shí)想想似懂非懂，直到有一天我學(xué)到了傅里葉級(jí)數(shù)……

三款青、傅里葉級(jí)數(shù)（Fourier Series）的相位譜

上一章的關(guān)鍵詞是：從側(cè)面看做修。這一章的關(guān)鍵詞是：從下面看。

在這一章最開始抡草，我想先回答很多人的一個(gè)問題：傅里葉分析究竟是干什么用的饰及？這段相對比較枯燥，已經(jīng)知道了的同學(xué)可以直接跳到下一個(gè)分割線康震。

先說一個(gè)最直接的用途燎含。無論聽廣播還是看電視，我們一定對一個(gè)詞不陌生——頻道腿短。頻道頻道屏箍，就是頻率的通道绘梦，不同的頻道就是將不同的頻率作為一個(gè)通道來進(jìn)行信息傳輸。下面大家嘗試一件事：

先在紙上畫一個(gè)sin（x）赴魁，不一定標(biāo)準(zhǔn)卸奉，意思差不多就行。不是很難吧颖御。

好榄棵，接下去畫一個(gè)sin（3x）+sin（5x）的圖形。

別說標(biāo)準(zhǔn)不標(biāo)準(zhǔn)了潘拱，曲線什么時(shí)候上升什么時(shí)候下降你都不一定畫的對吧疹鳄？

好，畫不出來不要緊泽铛，我把sin（3x）+sin（5x）的曲線給你尚辑，但是前提是你不知道這個(gè)曲線的方程式，現(xiàn)在需要你把sin（5x）給我從圖里拿出去盔腔，看看剩下的是什么杠茬。這基本是不可能做到的。

但是在頻域呢弛随？則簡單的很瓢喉，無非就是幾條豎線而已。

所以很多在時(shí)域看似不可能做到的數(shù)學(xué)操作舀透，在頻域相反很容易栓票。這就是需要傅里葉變換的地方。尤其是從某條曲線中去除一些特定的頻率成分愕够，這在工程上稱為濾波走贪，是信號(hào)處理最重要的概念之一，只有在頻域才能輕松的做到惑芭。

再說一個(gè)更重要坠狡，但是稍微復(fù)雜一點(diǎn)的用途——求解微分方程。（這段有點(diǎn)難度遂跟，看不懂的可以直接跳過這段）微分方程的重要性不用我過多介紹了逃沿。各行各業(yè)都用的到。但是求解微分方程卻是一件相當(dāng)麻煩的事情幻锁。因?yàn)槌艘?jì)算加減乘除凯亮，還要計(jì)算微分積分。而傅里葉變換則可以讓微分和積分在頻域中變?yōu)槌朔ê统ê宥髮W(xué)數(shù)學(xué)瞬間變小學(xué)算術(shù)有沒有假消。

傅里葉分析當(dāng)然還有其他更重要的用途，我們隨著講隨著提岭接。

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下面我們繼續(xù)說相位譜：

通過時(shí)域到頻域的變換置谦，我們得到了一個(gè)從側(cè)面看的頻譜堂鲤，但是這個(gè)頻譜并沒有包含時(shí)域中全部的信息。因?yàn)轭l譜只代表每一個(gè)對應(yīng)的正弦波的振幅是多少媒峡，而沒有提到相位】妫基礎(chǔ)的正弦波A.sin(wt+θ)中谅阿，振幅，頻率酬滤，相位缺一不可签餐，不同相位決定了波的位置，所以對于頻域分析盯串，僅僅有頻譜（振幅譜）是不夠的氯檐，我們還需要一個(gè)相位譜。那么這個(gè)相位譜在哪呢体捏？我們看下圖冠摄，這次為了避免圖片太混論，我們用7個(gè)波疊加的圖几缭。

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鑒于正弦波是周期的河泳，我們需要設(shè)定一個(gè)用來標(biāo)記正弦波位置的東西。在圖中就是那些小紅點(diǎn)年栓。小紅點(diǎn)是距離頻率軸最近的波峰拆挥，而這個(gè)波峰所處的位置離頻率軸有多遠(yuǎn)呢？為了看的更清楚某抓，我們將紅色的點(diǎn)投影到下平面纸兔，投影點(diǎn)我們用粉色點(diǎn)來表示。當(dāng)然否副，這些粉色的點(diǎn)只標(biāo)注了波峰距離頻率軸的距離汉矿，并不是相位。

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這里需要糾正一個(gè)概念：時(shí)間差并不是相位差副编。如果將全部周期看作2Pi或者360度的話负甸，相位差則是時(shí)間差在一個(gè)周期中所占的比例。我們將時(shí)間差除周期再乘2Pi痹届，就得到了相位差呻待。

在完整的立體圖中，我們將投影得到的時(shí)間差依次除以所在頻率的周期队腐，就得到了最下面的相位譜蚕捉。所以，頻譜是從側(cè)面看柴淘，相位譜是從下面看迫淹。下次偷看女生裙底被發(fā)現(xiàn)的話秘通，可以告訴她：“對不起，我只是想看看你的相位譜敛熬》蜗。”

注意到，相位譜中的相位除了0应民，就是Pi话原。因?yàn)閏os（t+Pi）=-cos（t），所以實(shí)際上相位為Pi的波只是上下翻轉(zhuǎn)了而已诲锹。對于周期方波的傅里葉級(jí)數(shù)繁仁，這樣的相位譜已經(jīng)是很簡單的了。另外值得注意的是归园，由于cos（t+2Pi）=cos（t）黄虱，所以相位差是周期的，pi和3pi庸诱，5pi捻浦，7pi都是相同的相位。人為定義相位譜的值域?yàn)?-pi偶翅，pi]默勾，所以圖中的相位差均為Pi。

最后來一張大集合：

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四聚谁、傅里葉變換（Fourier Tranformation）

相信通過前面三章母剥，大家對頻域以及傅里葉級(jí)數(shù)都有了一個(gè)全新的認(rèn)識(shí)。但是文章在一開始關(guān)于鋼琴琴譜的例子我曾說過形导，這個(gè)栗子是一個(gè)公式錯(cuò)誤环疼，但是概念典型的例子。所謂的公式錯(cuò)誤在哪里呢朵耕？

傅里葉級(jí)數(shù)的本質(zhì)是將一個(gè)周期的信號(hào)分解成無限多分開的（離散的）正弦波炫隶，但是宇宙似乎并不是周期的。曾經(jīng)在學(xué)數(shù)字信號(hào)處理的時(shí)候?qū)戇^一首打油詩：

往昔連續(xù)非周期阎曹，

回憶周期不連續(xù)伪阶，

任你ZT、DFT处嫌，

還原不回去栅贴。

（請無視我渣一樣的文學(xué)水平……）

在這個(gè)世界上，有的事情一期一會(huì)熏迹，永不再來檐薯，并且時(shí)間始終不曾停息地將那些刻骨銘心的往昔連續(xù)的標(biāo)記在時(shí)間點(diǎn)上招盲。但是這些事情往往又成為了我們格外寶貴的回憶畜份，在我們大腦里隔一段時(shí)間就會(huì)周期性的蹦出來一下，可惜這些回憶都是零散的片段宴猾，往往只有最幸福的回憶坏为，而平淡的回憶則逐漸被我們忘卻米诉。因?yàn)橥疲羰且粋€(gè)連續(xù)的非周期信號(hào)煌恢，而回憶是一個(gè)周期離散信號(hào)。

是否有一種數(shù)學(xué)工具將連續(xù)非周期信號(hào)變換為周期離散信號(hào)呢宠页？抱歉搀军，真沒有。

比如傅里葉級(jí)數(shù)勇皇，在時(shí)域是一個(gè)周期且連續(xù)的函數(shù)，而在頻域是一個(gè)非周期離散的函數(shù)焚刺。這句話比較繞嘴敛摘，實(shí)在看著費(fèi)事可以干脆回憶第一章的圖片。

而在我們接下去要講的傅里葉變換乳愉，則是將一個(gè)時(shí)域非周期的連續(xù)信號(hào)兄淫，轉(zhuǎn)換為一個(gè)在頻域非周期的連續(xù)信號(hào)。

算了蔓姚，還是上一張圖方便大家理解吧：

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或者我們也可以換一個(gè)角度理解：傅里葉變換實(shí)際上是對一個(gè)周期無限大的函數(shù)進(jìn)行傅里葉變換捕虽。

所以說，鋼琴譜其實(shí)并非一個(gè)連續(xù)的頻譜坡脐，而是很多在時(shí)間上離散的頻率泄私，但是這樣的一個(gè)貼切的比喻真的是很難找出第二個(gè)來了。

因此在傅里葉變換在頻域上就從離散譜變成了連續(xù)譜备闲。那么連續(xù)譜是什么樣子呢晌端？

你見過大海么？

為了方便大家對比恬砂，我們這次從另一個(gè)角度來看頻譜咧纠，還是傅里葉級(jí)數(shù)中用到最多的那幅圖，我們從頻率較高的方向看泻骤。

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以上是離散譜漆羔，那么連續(xù)譜是什么樣子呢？

盡情的發(fā)揮你的想象狱掂，想象這些離散的正弦波離得越來越近演痒，逐漸變得連續(xù)……

直到變得像波濤起伏的大海：

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很抱歉，為了能讓這些波浪更清晰的看到符欠，我沒有選用正確的計(jì)算參數(shù)嫡霞，而是選擇了一些讓圖片更美觀的參數(shù)，不然這圖看起來就像屎一樣了希柿。

不過通過這樣兩幅圖去比較诊沪，大家應(yīng)該可以理解如何從離散譜變成了連續(xù)譜的了吧养筒？原來離散譜的疊加，變成了連續(xù)譜的累積端姚。所以在計(jì)算上也從求和符號(hào)變成了積分符號(hào)晕粪。

不過，這個(gè)故事還沒有講完渐裸，接下去巫湘，我保證讓你看到一幅比上圖更美麗壯觀的圖片，但是這里需要介紹到一個(gè)數(shù)學(xué)工具才能然故事繼續(xù)昏鹃，這個(gè)工具就是——

五尚氛、宇宙耍帥第一公式：歐拉公式

虛數(shù)i這個(gè)概念大家在高中就接觸過，但那時(shí)我們只知道它是-1 的平方根洞渤，可是它真正的意義是什么呢?

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這里有一條數(shù)軸阅嘶，在數(shù)軸上有一個(gè)紅色的線段，它的長度是1载迄。當(dāng)它乘以 3 的時(shí)候讯柔，它的長度發(fā)生了變化，變成了藍(lán)色的線段护昧，而當(dāng)它乘以-1 的時(shí)候魂迄，就變成了綠色的線段，或者說線段在數(shù)軸上圍繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)了 180 度惋耙。

我們知道乘-1 其實(shí)就是乘了兩次 i 使線段旋轉(zhuǎn)了 180 度捣炬，那么乘一次 i 呢——答案很簡單——旋轉(zhuǎn)了 90 度。

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同時(shí)怠晴，我們獲得了一個(gè)垂直的虛數(shù)軸遥金。實(shí)數(shù)軸與虛數(shù)軸共同構(gòu)成了一個(gè)復(fù)數(shù)的平面，也稱復(fù)平面蒜田。這樣我們就了解到稿械，乘虛數(shù)i的一個(gè)功能——旋轉(zhuǎn)。

現(xiàn)在冲粤，就有請宇宙第一耍帥公式歐拉公式隆重登場——

[圖片上傳失敗...(image-b86753-1590247650067)]

這個(gè)公式在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的意義要遠(yuǎn)大于傅里葉分析美莫，但是乘它為宇宙第一耍帥公式是因?yàn)樗奶厥庑问健?dāng)x等于 Pi 的時(shí)候。

經(jīng)常有理工科的學(xué)生為了跟妹子表現(xiàn)自己的學(xué)術(shù)功底梯捕，用這個(gè)公式來給妹子解釋數(shù)學(xué)之美：”石榴姐你看厢呵，這個(gè)公式里既有自然底數(shù)e，自然數(shù) 1 和0傀顾，虛數(shù)i還有圓周率 pi襟铭，它是這么簡潔，這么美麗啊寒砖！“但是姑娘們心里往往只有一句話：”臭屌絲……“

這個(gè)公式關(guān)鍵的作用赐劣，是將正弦波統(tǒng)一成了簡單的指數(shù)形式。我們來看看圖像上的涵義：

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歐拉公式所描繪的哩都，是一個(gè)隨著時(shí)間變化魁兼，在復(fù)平面上做圓周運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)，隨著時(shí)間的改變漠嵌，在時(shí)間軸上就成了一條螺旋線咐汞。如果只看它的實(shí)數(shù)部分，也就是螺旋線在左側(cè)的投影儒鹿，就是一個(gè)最基礎(chǔ)的余弦函數(shù)化撕。而右側(cè)的投影則是一個(gè)正弦函數(shù)。

關(guān)于復(fù)數(shù)更深的理解约炎，大家可以參考：

復(fù)數(shù)的物理意義是什么侯谁？

這里不需要講的太復(fù)雜，足夠讓大家理解后面的內(nèi)容就可以了章钾。

六、指數(shù)形式的傅里葉變換

有了歐拉公式的幫助热芹，我們便知道：正弦波的疊加贱傀，也可以理解為螺旋線的疊加在實(shí)數(shù)空間的投影。而螺旋線的疊加如果用一個(gè)形象的栗子來理解是什么呢伊脓？

光波

高中時(shí)我們就學(xué)過府寒，自然光是由不同顏色的光疊加而成的，而最著名的實(shí)驗(yàn)就是牛頓師傅的三棱鏡實(shí)驗(yàn)：

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所以其實(shí)我們在很早就接觸到了光的頻譜报腔，只是并沒有了解頻譜更重要的意義株搔。

但不同的是，傅里葉變換出來的頻譜不僅僅是可見光這樣頻率范圍有限的疊加纯蛾，而是頻率從 0 到無窮所有頻率的組合纤房。

這里，我們可以用兩種方法來理解正弦波：

第一種前面已經(jīng)講過了翻诉，就是螺旋線在實(shí)軸的投影炮姨。

另一種需要借助歐拉公式的另一種形式去理解：

[圖片上傳失敗...(image-1219e9-1590247650067)]

[圖片上傳失敗...(image-bb12a4-1590247650067)]

將以上兩式相加再除2，得到：

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這個(gè)式子可以怎么理解呢碰煌？

我們剛才講過舒岸，e^{(it)可以理解為一條逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的螺旋線，那么e}(-it)則可以理解為一條順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的螺旋線芦圾。而 cos (t)則是這兩條旋轉(zhuǎn)方向不同的螺旋線疊加的一半蛾派，因?yàn)檫@兩條螺旋線的虛數(shù)部分相互抵消掉了！

舉個(gè)例子的話，就是極化方向不同的兩束光波洪乍，磁場抵消眯杏，電場加倍。

這里典尾，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的我們稱為正頻率役拴，而順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的我們稱為負(fù)頻率（注意不是復(fù)頻率）。

好了钾埂，剛才我們已經(jīng)看到了大汉尤颍——連續(xù)的傅里葉變換頻譜，現(xiàn)在想一想褥紫，連續(xù)的螺旋線會(huì)是什么樣子：

想象一下再往下翻：

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是不是很漂亮姜性？

你猜猜，這個(gè)圖形在時(shí)域是什么樣子髓考？

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哈哈部念，是不是覺得被狠狠扇了一個(gè)耳光。數(shù)學(xué)就是這么一個(gè)把簡單的問題搞得很復(fù)雜的東西氨菇。

順便說一句儡炼，那個(gè)像大海螺一樣的圖，為了方便觀看查蓉，我僅僅展示了其中正頻率的部分乌询，負(fù)頻率的部分沒有顯示出來。

如果你認(rèn)真去看豌研，海螺圖上的每一條螺旋線都是可以清楚的看到的妹田，每一條螺旋線都有著不同的振幅（旋轉(zhuǎn)半徑），頻率（旋轉(zhuǎn)周期）以及相位鹃共。而將所有螺旋線連成平面鬼佣，就是這幅海螺圖了。

好了霜浴，講到這里晶衷，相信大家對傅里葉變換以及傅里葉級(jí)數(shù)都有了一個(gè)形象的理解了，我們最后用一張圖來總結(jié)一下：

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好了阴孟，傅里葉的故事終于講完了房铭，下面來講講我的故事：

這篇文章第一次被卸下來的地方你們絕對猜不到在哪，是在一張高數(shù)考試的卷子上温眉。當(dāng)時(shí)為了刷分缸匪，我重修了高數(shù)（上），但是后來時(shí)間緊壓根沒復(fù)習(xí)类溢，所以我就抱著裸考的心態(tài)去了考場凌蔬。但是到了考場我突然意識(shí)到露懒，無論如何我都不會(huì)比上次考的更好了，所以干脆寫一些自己對于數(shù)學(xué)的想法吧砂心。于是用了一個(gè)小時(shí)左右的時(shí)間在試卷上洋洋灑灑寫了本文的第一草稿懈词。

你們猜我的了多少分？

6 分

沒錯(cuò)辩诞，就是這個(gè)數(shù)字坎弯。而這 6 分的成績是因?yàn)樽詈笪覍?shí)在無聊，把選擇題全部填上了C译暂，應(yīng)該是中了兩道抠忘，得到了這寶貴的 6 分。說真的外永，我很希望那張卷子還在崎脉，但是應(yīng)該不太可能了。

那么你們猜猜我第一次信號(hào)與系統(tǒng)考了多少分呢伯顶？

45 分

沒錯(cuò)囚灼，剛剛夠參加補(bǔ)考的。但是我心一橫沒去考祭衩，決定重修灶体。因?yàn)槟莻€(gè)學(xué)期在忙其他事情，學(xué)習(xí)真的就拋在腦后了掐暮。但是我知道這是一門很重要的課赃春，無論如何我要吃透它。說真的劫乱，信號(hào)與系統(tǒng)這門課幾乎是大部分工科課程的基礎(chǔ)，尤其是通信專業(yè)锥涕。

在重修的過程中衷戈，我仔細(xì)分析了每一個(gè)公式，試圖給這個(gè)公式以一個(gè)直觀的理解层坠。雖然我知道對于研究數(shù)學(xué)的人來說殖妇，這樣的學(xué)習(xí)方法完全沒有前途可言，因?yàn)殡S著概念愈加抽象破花，維度越來越高谦趣，這種圖像或者模型理解法將完全喪失作用。但是對于一個(gè)工科生來說座每，足夠了前鹅。

后來來了德國，這邊學(xué)校要求我重修信號(hào)與系統(tǒng)時(shí)峭梳，我徹底無語了舰绘。但是沒辦法蹂喻，德國人有時(shí)對中國人就是有種藐視，覺得你的教育不靠譜捂寿。所以沒辦法口四，再來一遍吧。

這次秦陋，我考了滿分蔓彩，而及格率只有一半。

老實(shí)說驳概，數(shù)學(xué)工具對于工科生和對于理科生來說赤嚼，意義是完全不同的。工科生只要理解了抡句，會(huì)用探膊，會(huì)查，就足夠了待榔。但是很多高校卻將這些重要的數(shù)學(xué)課程教給數(shù)學(xué)系的老師去教逞壁。這樣就出現(xiàn)一個(gè)問題，數(shù)學(xué)老師講得天花亂墜锐锣，又是推理又是證明腌闯，但是學(xué)生心里就只有一句話：學(xué)這貨到底干嘛用的？

缺少了目標(biāo)的教育是徹底的失敗雕憔。

在開始學(xué)習(xí)一門數(shù)學(xué)工具的時(shí)候姿骏，學(xué)生完全不知道這個(gè)工具的作用，現(xiàn)實(shí)涵義斤彼。而教材上有只有晦澀難懂分瘦，定語就二十幾個(gè)字的概念以及看了就眼暈的公式。能學(xué)出興趣來就怪了琉苇！

好在我很幸運(yùn)嘲玫，遇到了大連海事大學(xué)的吳楠老師。他的課全程來看是兩條線索并扇，一條從上而下去团，一條從下而上。先將本門課程的意義穷蛹，然后指出這門課程中會(huì)遇到哪樣的問題土陪，讓學(xué)生知道自己學(xué)習(xí)的某種知識(shí)在現(xiàn)實(shí)中扮演的角色。然后再從基礎(chǔ)講起肴熏，梳理知識(shí)樹鬼雀，直到延伸到另一條線索中提出的問題，完美的銜接在一起蛙吏！

這樣的教學(xué)模式取刃，我想才是大學(xué)里應(yīng)該出現(xiàn)的蹋肮。

最后，寫給所有給我點(diǎn)贊并留言的同學(xué)璧疗。真的謝謝大家的支持坯辩，也很抱歉不能一一回復(fù)。因?yàn)橹鯇诘牧粞砸鸫渭虞d崩侠，為了看到最后一條要點(diǎn)很多次加載漆魔。當(dāng)然我都堅(jiān)持看完了，只是沒辦法一一回復(fù)却音。

本文只是介紹了一種對傅里葉分析新穎的理解方法改抡，對于求學(xué)，還是要踏踏實(shí)實(shí)弄清楚公式和概念系瓢，學(xué)習(xí)阿纤，真的沒有捷徑。但至少通過本文夷陋，我希望可以讓這條漫長的路變得有意思一些欠拾。

最后，祝大家都能在學(xué)習(xí)中找到樂趣…