傅里葉分析不僅是數(shù)學工具悴晰，更顛覆世界觀的思維模式慢睡。
一、什么是頻域
時域分析：出生膨疏，以時間貫穿一睁，股票的走勢、人的身高佃却、隨著時間變者吁。
頻域：靜止的世界，世界是永恒不變的
音樂在時域的樣子：時間變化的震動
頻域：樂器小能手直觀的理解：
傅里葉同學：任何周期函數(shù)饲帅，可以作是不同振幅复凳，不同相位正弦波的疊加，組合出任何一首樂曲灶泵。
傅里葉分析：貫穿時域與頻域的方法之一育八，分為傅里葉級數(shù)（Fourier Serie）和傅里葉變換(Fourier Transformation)
二、傅里葉級數(shù)(Fourier Series)的頻譜
（1）正弦波 cos（x）
（2）正弦波的疊加 cos (x) +a.cos (3x)
（3）發(fā)春的正弦波的疊加
（4）10 個正弦波的疊加
上升的部分：變陡赦邻，中間下降的部分：變平髓棋。無窮多個疊加變 90 度矩形，換一個角度看：
不同顏色正弦波：矩形波的各個分量，頻率分量按声。頻率從低到高從前向后膳犹。一定有細心的讀者發(fā)現(xiàn)了，
每兩個之間有直線：0振幅正弦波签则，為了組成特殊的曲線须床，有些正弦波成分是不需要的？
關(guān)鍵：
最低的頻率分量看作“1”（基本單元）
有理數(shù)軸渐裂，數(shù)字“1”就是基本單元豺旬。數(shù)學稱法為——基
時域基本單元：“1秒”，如果將一個角頻率為W0的正弦波cos（W0t）看作基礎(chǔ)柒凉，那么頻域的基本單元就是W0.
有了“1”端衰，還要有“0”才能構(gòu)成世界: 頻域的“0”：cos（0t）周期無限長的正弦波（一條直線）
在頻域中隐砸，0頻率也被稱為直流分量封恰，傅里葉級數(shù)疊加中：波形相對于數(shù)軸整體向上或是向下而不改變波的形狀葱弟。
正弦波就是一個圓周運動在一條直線上的投影。所以頻域的基本單元也可以理解為一個始終在旋轉(zhuǎn)的圓
想看動圖的同學請戳這里：
File:Fourier series square wave circles animation.gif
頻域里：矩形波
頻譜中绑警，偶數(shù)項的振幅都是0，對應(yīng)彩色直線
老實說央渣，在我學傅里葉變換時计盒，維基的這個圖還沒有出現(xiàn)，那時我就想到了這種表達方法芽丹，而且北启，后面還會加入維基沒有表示出來的另一個譜——相位譜。
世界就像皮影戲的大幕布拔第，幕后無數(shù)的齒輪咕村，大齒輪帶動小齒輪，小齒輪再帶動更小的蚊俺。在最外面的小齒輪上有一個小人——那就是我們自己懈涛。我們只看到這個小人毫無規(guī)律的在幕布前表演，卻無法預(yù)測他下一步會去哪泳猬。而幕布后面的齒輪卻永遠一直那樣不停的旋轉(zhuǎn)批钠，永不停歇。
三得封、傅里葉級數(shù)（Fourier Series）的相位譜
上一章：從側(cè)面看埋心。這一章：從下面看。
傅里葉分析是干什么用的忙上？
(1)頻道（廣播拷呆、電視）：頻率的通道，將不同的頻率作為通道來信息傳輸。
把sin（5x）給我從圖里拿出去茬斧，不可能做到腰懂。
頻域：簡單的很，幾條豎線而已啥供。so需要傅里葉變換
ps:從曲線中去除一些特定的頻率成分悯恍，稱為濾波(信號處理)，頻域才能做到伙狐。
(2)解微分方程涮毫。
通過時域到頻域的變換，我們得到了一個從側(cè)面看的頻譜贷屎，但是這個頻譜并沒有包含時域中全部的信息罢防。因為頻譜只代表每一個對應(yīng)的正弦波的振幅是多少，而沒有提到相位唉侄≈渫拢基礎(chǔ)的正弦波A.sin(wt+θ)中，振幅属划，頻率恬叹，相位缺一不可，不同相位決定了波的位置
正弦波是周期的同眯，小紅點：正弦波位置绽昼、距離頻率軸最近的波峰，粉點：波峰距離頻率軸的距離须蜗，不是相位
相位差：時間差在一個周期中所占的比例（如果將全部周期看作2Pi或360度的話）硅确，相位差 = (時間差/周期)*2Pi
相位譜中的相位除了0，就是Pi明肮。因為cos（t+Pi）=-cos（t）菱农，所以實際上相位為Pi的波只是上下翻轉(zhuǎn)了而已。對于周期方波的傅里葉級數(shù)柿估，這樣的相位譜已經(jīng)是很簡單的了循未。另外值得注意的是，由于cos（t+2Pi）=cos（t）官份，所以相位差是周期的只厘，pi和3pi，5pi舅巷，7pi都是相同的相位羔味。人為定義相位譜的值域為(-pi，pi]钠右，所以圖中的相位差均為Pi赋元。
四、傅里葉變換（Fourier Tranformation）
公式錯誤：
傅里葉級數(shù)的本質(zhì)：周期的信號分解成無限多分開的（離散的）正弦波，宇宙似不是周期
數(shù)字信號處理的時候?qū)戇^一首打油詩：
往昔連續(xù)非周期搁凸，
回憶周期不連續(xù)媚值，
任你ZT、DFT护糖，
還原不回去褥芒。
往昔是一個連續(xù)的非周期信號，回憶是一個周期離散信號嫡良。
比如傅里葉級數(shù)锰扶，時域：周期且連續(xù)的函數(shù)，頻域：非周期離散的函數(shù)寝受。第一章的圖片坷牛。
時域非周期的連續(xù)信號，轉(zhuǎn)換為一個在頻域非周期的連續(xù)信號很澄。
傅里葉變換：周期無限大的函數(shù)進行傅里葉變換京闰。
連續(xù)譜：離散譜的疊加，變成了連續(xù)譜的累積甩苛。計算上也從求和符號變成了積分符號蹂楣。
五、歐拉公式
虛數(shù)i：-1 的平方根讯蒲，真正的意義：
紅色的線段捐迫，長度是1。乘以 3 = 藍色的線段爱葵，乘以-1 = 綠色的線段（原點旋轉(zhuǎn)了 180 度）。
乘了兩次 i 使線段旋轉(zhuǎn)了 180 度反浓，乘一次 i = 旋轉(zhuǎn)了 90 度
乘虛數(shù)i = 旋轉(zhuǎn)萌丈，歐拉公式：
這個公式在數(shù)學領(lǐng)域的意義要遠大于傅里葉分析，但是乘它為宇宙第一耍帥公式是因為它的特殊形式——當x等于 Pi 的時候雷则。
經(jīng)常有理工科的學生為了跟妹子表現(xiàn)自己的學術(shù)功底辆雾，用這個公式來給妹子解釋數(shù)學之美：”石榴姐你看，這個公式里既有自然底數(shù)e月劈，自然數(shù) 1 和0度迂，虛數(shù)i還有圓周率 pi，它是這么簡潔猜揪，這么美麗安涯埂！“但是姑娘們心里往往只有一句話：”臭屌絲……“
這個公式關(guān)鍵的作用而姐，是將正弦波統(tǒng)一成了簡單的指數(shù)形式腊凶。我們來看看圖像上的涵義：
歐拉公式所描繪的，是一個隨著時間變化，在復平面上做圓周運動的點钧萍，隨著時間的改變褐缠，在時間軸上就成了一條螺旋線。如果只看它的實數(shù)部分风瘦，也就是螺旋線在左側(cè)的投影队魏，就是一個最基礎(chǔ)的余弦函數(shù)。而右側(cè)的投影則是一個正弦函數(shù)万搔。
六胡桨、指數(shù)形式的傅里葉變換
有了歐拉公式的幫助，我們便知道：正弦波的疊加蟹略，也可以理解為螺旋線的疊加在實數(shù)空間的投影登失。而螺旋線的疊加如果用一個形象的栗子來理解是什么呢？
光波
高中時我們就學過挖炬，自然光是由不同顏色的光疊加而成的揽浙，而最著名的實驗就是牛頓師傅的三棱鏡實驗：
所以其實我們在很早就接觸到了光的頻譜，只是并沒有了解頻譜更重要的意義意敛。
但不同的是馅巷，傅里葉變換出來的頻譜不僅僅是可見光這樣頻率范圍有限的疊加，而是頻率從 0 到無窮所有頻率的組合草姻。
這里钓猬，我們可以用兩種方法來理解正弦波：
第一種前面已經(jīng)講過了，就是螺旋線在實軸的投影撩独。
另一種需要借助歐拉公式的另一種形式去理解：
將以上兩式相加再除2敞曹，得到：
這個式子可以怎么理解呢？
我們剛才講過综膀，e^(it)可以理解為一條逆時針旋轉(zhuǎn)的螺旋線澳迫，那么e^(-it)則可以理解為一條順時針旋轉(zhuǎn)的螺旋線。而 cos (t)則是這兩條旋轉(zhuǎn)方向不同的螺旋線疊加的一半剧劝，因為這兩條螺旋線的虛數(shù)部分相互抵消掉了橄登！
舉個例子的話，就是極化方向不同的兩束光波讥此，磁場抵消拢锹，電場加倍。
這里萄喳，逆時針旋轉(zhuǎn)的我們稱為正頻率卒稳，而順時針旋轉(zhuǎn)的我們稱為負頻率（注意不是復頻率）。
好了他巨，剛才我們已經(jīng)看到了大赫箍蓿——連續(xù)的傅里葉變換頻譜湃窍，現(xiàn)在想一想，連續(xù)的螺旋線會是什么樣子：
僅展示了正頻率的部分
每一條螺旋線都有著不同的振幅（旋轉(zhuǎn)半徑）匪傍，頻率（旋轉(zhuǎn)周期）以及相位您市。將所有螺旋線連成平面
