數(shù)學(xué)分析理論基礎(chǔ)6：收斂數(shù)列的性質(zhì)

收斂數(shù)列的性質(zhì)

唯一性

定理：若數(shù)列 $\{a_n\}$ 收斂,則它只有一個(gè)極限

證明：

$設(shè)a是\{a_n\}的一個(gè)極限$

$下證\forall b\neq a,b不是\{a_n\}的極限$

$取\varepsilon_0={1\over 2}|b-a|$

$在U(a;\varepsilon_0)之外至多只有\(zhòng){a_n\}中有限項(xiàng)$

$\therefore 在U(b;\varepsilon_0)內(nèi)至多只有\(zhòng){a_n\}中有限項(xiàng)$

$\therefore b不是\{a_n\}的極限$

$即證收斂數(shù)列只能有一個(gè)極限\qquad\mathcal{Q.E.D}$

有界性

定理：若數(shù)列 $\{a_n\}$ 收斂,則 $\{a_n\}$ 為有界數(shù)列,即 $\exists M\gt 0$ ,使 $\forall n\in Z_+$ 有 $|a_n|\le M$

證明：

$設(shè)\lim\limits_{n\to \infty}a_n=a$

$取\varepsilon=1,\exists N\in Z_+,\forall n\gt N有$

$|a_n-a|\lt 1$

$即a-1\lt a_n\lt a+1$

$記M=max\{|a_1|,|a_2|,\cdots,|a_N|,|a-1|,|a+1|\}$

$\forall n\in Z_+有|a_n|\lt M\qquad\mathcal{Q.E.D}$

保號性

定理：若 $\lim\limits_{n\to \infty}a_n=a\gt 0(或\lt 0)$ ,則 $\forall a'\in(0,a)(或a'\in (a,0))$ , $\exists N\gt 0$ ,使得當(dāng) $n\gt N$ 時(shí)有 $a_n\gt a'(或a_n\lt a')$

證明：

$不妨設(shè)a\gt 0$

$取\varepsilon=a-a'\gt 0,則$

$\exists N\gt 0,使得當(dāng)n\gt N時(shí)$

$有a_n\gt a-\varepsilon=a'$

$結(jié)論得證$

$a\lt 0類似可證\qquad\mathcal{Q.E.D}$

注：應(yīng)用保號性時(shí)常取 $a'={a\over 2}$

推論：設(shè) $\lim\limits_{n\to \infty}a_n=a,\lim\limits_{n\to \infty}b_n=b,a\lt b$ ,則 $\exists N$ ,使得當(dāng) $n\gt N$ 時(shí)有 $a_n\lt b_n$

證明：

$\lim\limits_{n\to \infty}a_n=a,\lim\limits_{n\to \infty}b_n=b,a\lt {a+b\over 2}\lt b$

$由保號性知$

$\exists N_1,當(dāng)n\gt N_1時(shí)$

$有a_n\lt {a+b\over 2}$

$\exists N_2,當(dāng)n\gt N_2時(shí)$

$有b_n\gt {a+b\over 2}$

$取N=max\{N_1,N_2\}$

$則當(dāng)n\gt N時(shí)有a_n\lt b_n\qquad \mathcal{Q.E.D}$

保不等式性

定理：設(shè) $\{a_n\}$ 與 $\{b_n\}$ 均為收斂數(shù)列,若 $\exists N_0\gt 0$ ,使得當(dāng) $n\gt N_0$ 時(shí)有 $a_n\le b_n$ ,則 $\lim\limits_{n\to \infty}a_n\le \lim\limits_{n\to \infty}b_n$

證明：

$設(shè)\lim\limits_{n\to \infty}a_n=a,\lim\limits_{n\to \infty}b_n=b$

$\forall \varepsilon\gt 0,\exists N_1,N_2\gt 0使得$

$當(dāng)n\gt N_1時(shí)有a-\varepsilon\lt a_n$

$當(dāng)n\gt N_2時(shí)有b_n\lt b+\varepsilon$

$取N=max\{N_0,N_1,N_2\}$

$則當(dāng)n\gt N時(shí)有$

$a-\varepsilon\lt a_n\le b_n\lt b+\varepsilon$

$\therefore a\lt b+2\varepsilon$

$由\varepsilon的任意性可知$

$a\le b$

$即\lim\limits_{n\to \infty}a_n\le \lim\limits_{n\to \infty}b_n\qquad\mathcal{Q.E.D}$

例：設(shè) $a_n\ge 0(n=1,2,\cdots)$ ,證明：若 $\lim\limits_{n\to \infty}a_n=a$ ,則 $\lim\limits_{n\to \infty}\sqrt{a_n}=\sqrt{a}$

證：

$由保不等式性可知a\ge 0$

$若a=0,則\lim\limits_{n\to \infty}a_n=0$

$\forall \varepsilon\gt 0,\exists N\gt 0,使得$

$當(dāng)n\gt N時(shí)有a_n\lt \varepsilon^2$

$\therefore \sqrt{a_n}\lt \varepsilon$

$即|\sqrt{a_n}-0|\lt \varepsilon$

$\therefore \lim\limits_{n\to \infty}\sqrt{a_n}=0$

$若a\gt 0,則$

$|\sqrt{a_n}-\sqrt{a}|={|a_n-a|\over \sqrt{a_n}+\sqrt{a}}\le {|a_n-a|\over \sqrt{a}}$

$\because \lim\limits_{n\to \infty}a_n=a$

$\therefore \forall \varepsilon\gt 0,\exists N\gt 0,使得$

$當(dāng)n\gt N時(shí)有|a_n-a|\lt \sqrt{a}\varepsilon$

$\therefore |\sqrt{a_n}-\sqrt{a}|\lt \varepsilon\qquad\mathcal{Q.E.D}$

迫斂性

定理：設(shè)收斂數(shù)列 $\{a_n\},\{b_n\}$ 都以a為極限,數(shù)列 $\{c_n\}$ 滿足： $\exists N_0\gt 0$ ,當(dāng) $n\gt N_0$ 時(shí)有 $a_n\le c_n\le b_n$ ,則數(shù)列 $\{c_n\}$ 收斂,且 $\lim\limits_{n\to \infty}c_n=a$

證明：

$\forall \varepsilon\gt 0$

$\because \lim\limits_{n\to \infty}a_n=\lim\limits_{n\to \infty}b_n=a$

$\therefore \exists N_1,N_2\gt 0,使得$

$n\gt N_1時(shí)有a-\varepsilon\lt a_n$

$n\gt N_2時(shí)有b_n\lt a+\varepsilon$

$取N=max\{N_0,N_1,N_2\}$

$則當(dāng)n\gt N時(shí)有$

$a-\varepsilon\lt a_n\le c_n\le b_n\lt a+\varepsilon$

$\therefore |c_n-a|\lt \varepsilon\qquad\mathcal{Q.E.D}$

例：求數(shù)列 $\{\sqrt[n]{n}\}$ 的極限

解：

$記a_n=\sqrt[n]{n}=1+h_n(n\gt 1),其中h_n\gt 0$

$則n=(1+h_n)^n\gt {n(n-1)\over 2}h^2_n$

$\therefore 0\lt h_n\lt \sqrt{2\over n-1}(n\gt 1)$

$\therefore 1\le a_n=1+h_n\le 1+\sqrt{2\over n-1}$

$\therefore \forall \varepsilon\gt 0,取N=1+{2\over \varepsilon^2},則$

$n\gt N時(shí)有|1+\sqrt{2\over n-1}-1|\lt \varepsilon$

$\therefore \lim\limits_{n\to \infty}(1+\sqrt{2\over n-1})=1$

$\therefore 由迫斂性可知$

$\lim\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{n}=1$

例：證明 $\lim\limits_{n\to \infty}{1\over \sqrt[n]{n!}}=0$

證：

$\forall \varepsilon\gt 0,要證|{1\over \sqrt[n]{n!}}-0|\lt \varepsilon$

$只需證{1\over \varepsilon^n n!}\lt 1$

$\because \lim\limits_{n\to \infty}{1\over \varepsilon^n n!}=0$

$\therefore 由極限的保號性可知$

$\exists N,當(dāng)n\gt N時(shí)有{1\over \varepsilon^n n!}\lt 1$

$\therefore \lim\limits_{n\to \infty}{1\over \sqrt[n]{n!}}=0$

四則運(yùn)算法則

定理：

若 $\{a_n\}$ 與 $\{b_n\}$ 為收斂數(shù)列,則 $\{a_n+b_n\}$ , $\{a_n-b_n\}$ , $\{a_nb_n\}$ 都是收斂數(shù)列,且有

$\lim\limits_{n\to \infty}(a_n\pm b_n)=\lim\limits_{n\to \infty}a_n\pm \lim\limits_{n\to \infty}b_n$

$\lim\limits_{n\to \infty}(a_nb_n)=\lim\limits_{n\to \infty}a_n\lim\limits_{n\to \infty}b_n$

假設(shè) $b_n\neq 0,\lim\limits_{n\to \infty}b_n\neq 0$ ,則 $\{{a_n\over b_n}\}$ 也是收斂數(shù)列,且有

$\lim\limits_{n\to \infty}{a_n\over b_n}=\lim\limits_{n\to \infty}a_n/\lim\limits_{n\to \infty}b_n$

證明：

$\because a_n-b_n=a_n+(-1)b_n,{a_n\over b_n}=a_n{1\over b_n}$

$\therefore 只需證明關(guān)于和、積與倒數(shù)運(yùn)算$

$設(shè)\lim\limits_{n\to \infty}a_n=a,\lim\limits_{n\to \infty}b_n=b$

$則\forall \varepsilon\gt 0,\exists N_1,N_2\gt 0$

$n\gt N_1時(shí),|a_n-a|\lt \varepsilon$

$n\gt N_2時(shí),|b_n-b|\lt \varepsilon$

$取N=max\{N_1,N_2\}$

$則當(dāng)n\gt N時(shí)$

$|(a_n+b_n)-(a+b)|\le |a_n-a|+|b_n-b|\lt 2\varepsilon$

$\Rightarrow \lim\limits_{n\to \infty}(a_n+b_n)=a+b$

$|a_nb_n-ab|=|(a_n-a)b_n+a(b_n-b)|\le |a_n-a||b_n|+|a||b_n-b|$

$由收斂數(shù)列的有界性可知$

$\exists M\gt 0,\forall n有|b_n|\lt M$

$\therefore n\gt N時(shí)|a_nb_n-ab|\lt (M+|a|)\varepsilon$

$由\varepsilon的任意性可知\lim\limits_{n\to \infty}a_nb_n=ab$

$\because \lim\limits_{n\to \infty}b_n=b\neq 0$

$由收斂數(shù)列的保號性可知$

$\exists N_3\gt 0,當(dāng)n\gt N_3時(shí)$

$|b_n|\gt {1\over 2}|b|$

$取N'=max\{N_2,N_3\}$

$則n\gt N'時(shí)有$

$|{1\over b_n}-{1\over b}|={|b_n-b|\over |b_nb|}$

$\lt {2|b_n-b|\over b^2}\lt {2\varepsilon\over b^2}$

$由\varepsilon的任意性可知\lim\limits_{n\to \infty}{1\over b_n}={1\over b}\qquad\mathcal{Q.E.D}$

例：求 $\lim\limits_{n\to \infty}{a_mn^m+a_{m-1}n^{m-1}+\cdots+a_1n+a_0\over b_kn^k+b_{k-1}n^{k-1}+\cdots+b_1n+b_0}$ ,其中 $m\le k,a_m\neq 0,b_k\neq 0$

解：

$分子分母同乘n^{-k},所求極限化為$

$\lim\limits_{n\to \infty}{a_mn^{m-k}+a_{m-1}n^{m-1-k}+\cdots+a_1n^{1-k}+a_0n^{-k}\over b_k+b_{-1}n^{k-1}+\cdots+b_1n^{1-k}+b_0n^{-k}}$

$m=k時(shí),所求極限等于{a_m\over b_m}$

$m\lt k時(shí),所求極限等于0$

$綜上所述,可得$

$\lim\limits_{n\to \infty}{a_mn^m+a_{m-1}n^{m-1}+\cdots+a_1n+a_0\over b_kn^k+b_{k-1}n^{k-1}+\cdots+b_1n+b_0}=\begin{cases}{a_m\over b_m}\qquad k=m\\ 0\qquad k\gt m\end{cases}$

子列

定義：設(shè) $\{a_n\}$ 為數(shù)列, $\{n_k\}$ 為正整數(shù)集 $N_+$ 的無限子集,且 $n_1\lt n_2\lt \cdots\lt n_k\lt \cdots$ ,則數(shù)列 $a_{n_1},a_{n_2},\cdots,a_{n_k},\cdots$ 稱為數(shù)列 $\{a_n\}$ 的一個(gè)子列,記作 $\{a_{n_k}\}$

注：

1. $\{a_{n_k}\}$ 中的第k項(xiàng)是 $\{a_n\}$ 中的第 $n_k$ 項(xiàng),故總有 $n_k\gt k$

2. $\{n_k\}$ 本身也是正整數(shù)列{n}的子列

3. $\{a_n\}$ 本身也是 $\{a_n\}$ 的一個(gè)子列,此時(shí) $n_k=k,k=1,2,\cdots$

定理：數(shù)列 $\{a_n\}$ 收斂 $\Leftrightarrow$$\{a_n\}$ 的任何子列都收斂

證明：

$充分性$

$\because \{a_n\}也是自身的一個(gè)子列$

$\therefore 結(jié)論顯然成立$

$必要性$

$設(shè)\lim\limits_{n\to \infty}a_n=a,\{a_{n_k}\}是\{a_n\}的任一子列$

$\forall \varepsilon\gt 0,\exists N\gt 0,當(dāng)k\gt N時(shí)有$

$|a_k-a|\lt \varepsilon$

$\because n_k\ge k$

$\therefore 當(dāng)n\gt N時(shí)有$

$|a_{n_k}-a|\lt \varepsilon$

$即\{a_{n_k}\}收斂,且與\{a_n\}有相同的極限\qquad\mathcal{Q.E.D}$

注：上述定理是判斷數(shù)列發(fā)散的有力工具

例：數(shù)列 $\{sin{n\pi\over 2}\}$ 的奇子列 $\{sin{2k-1\over 2}\pi\}=\{(-1)^{k-1}\}$ 發(fā)散,故數(shù)列 $\{sin{n\pi\over 2}\}$ 發(fā)散

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