級數(shù)鹤树，極限無限概念的運用。
一护昧、數(shù)值級數(shù)性質
1魂迄、收斂級數(shù)滿足結合律，但一個級數(shù)的項經(jīng)過結合后的新級數(shù)收斂惋耙，去掉括號后捣炬，級數(shù)不一定收斂。
2绽榛、同號級數(shù)湿酸，級數(shù)每項的正負同號
2.1、單調有界數(shù)列存在極限灭美，比較判別法推溃、柯西判別法、達朗貝爾判別法
2.2届腐、柯西判別法和達朗貝爾判別法都是以比較判別法為基礎铁坎，與幾何級數(shù)比較所得蜂奸。但是當項的某些運算極限等于1的時候，判別法將會失效硬萍。此時需要比幾何級數(shù)
收斂速度更慢的同號級數(shù)作為比較的標準扩所，一般選擇廣義調和級數(shù)作為比較標準。
3朴乖、廣義調和級數(shù)祖屏，即P-級數(shù)，p<=1時發(fā)散买羞，p>1收斂
4袁勺、變號級數(shù)，重點考慮交錯級數(shù)
4.1畜普、絕對收斂期丰、條件收斂，級數(shù)的絕對收斂可以歸結為判別
同號級數(shù)的收斂性4.2漠嵌、萊布尼茨判別法咐汞、阿貝爾變換盖呼、狄利克萊判別法儒鹿、阿貝爾判別法
萊布尼茨判別法僅僅是狄利克萊判別法的特殊情況
4.3、一般情況下几晤，收斂級數(shù)不滿足
交換律和分配率约炎；條件收斂級數(shù)有更一般的的結果：黎曼定理，即對于條件收斂級數(shù)蟹瘾，任意實數(shù)a圾浅，通過適當交換級數(shù)的項，使得級數(shù)收斂于a憾朴。4.4狸捕、絕對級數(shù)滿足交換律
雖然級數(shù)的條件收斂和絕對收斂都是收斂，但是二者的收斂機制是不同的众雷。條件收斂級數(shù)之所以收斂灸拍，是因為按原有級數(shù)的各項順序，正項和負項互相抵消了砾省，從而使部分和數(shù)列收斂與項的位置有關鸡岗，因此條件收斂級數(shù)不滿足交換律。絕對級數(shù)之所以收斂编兄，是因為其項的絕對值趨近于0的速度達到了收斂的要求轩性，從而使部分和數(shù)列收斂與項的位置無關，因此滿足交換律狠鸳。
二揣苏、函數(shù)級數(shù)性質
1悯嗓、對于任意一點a，函數(shù)級數(shù)都有一個對應的數(shù)值級數(shù)卸察，其斂散性可使用數(shù)值級數(shù)的判別法绅作。
2、函數(shù)級數(shù)在點a收斂或發(fā)散蛾派，則稱點a為函數(shù)級數(shù)的收斂點或發(fā)散點俄认。
3、函數(shù)級數(shù)收斂點的集合成為函數(shù)級數(shù)的收斂域洪乍，若收斂域為區(qū)間則稱收斂區(qū)間眯杏。
4、一致收斂性
通過函數(shù)級數(shù)的每一項的連續(xù)性壳澳、可微性和可積性來研究函數(shù)級數(shù)的連續(xù)性岂贩、可微性和可積性，亦即通過局部研究整體巷波。
在什么條件下萎津，函數(shù)級數(shù)的每一項所具有的分析性質，其函數(shù)級數(shù)和也具有同樣的分析性質抹镊，且函數(shù)級數(shù)的每項積分锉屈、極限、導數(shù)之和等于函數(shù)極限的積分垮耳、極限颈渊、導數(shù)。
4.1终佛、柯西一致收斂準則俊嗽、M判別法、狄利克萊判別法铃彰、阿貝爾判別法
4.2绍豁、能夠使用M判別法的函數(shù)級數(shù)必然絕對收斂。
4.3牙捉、如果條件收斂的函數(shù)級數(shù)竹揍，其可使用狄利克萊判別法和阿貝爾判別法
5、函數(shù)列的一致收斂性 柯西一致收斂準則
函數(shù)級數(shù)與函數(shù)列只是形式不同鹃共，沒有本質區(qū)別鬼佣。
6、函數(shù)級數(shù)一致收斂
函數(shù)級數(shù)在一致收斂條件下霜浴，其分析性質（極限晶衷、可微、可積）可以與無限和運算交換次序。
三晌纫、冪級數(shù)性質
1税迷、冪級數(shù)的分析性質
2、將函數(shù)展開成冪級數(shù)的條件和展開公式
3锹漱、阿貝爾第一定理：指出冪級數(shù)的收斂點和發(fā)散點在數(shù)軸上不能混雜交錯出現(xiàn)
4箭养、收斂半徑，冪級數(shù)的收斂半徑有冪級數(shù)系數(shù)所決定
5哥牍、阿貝爾第二定理：雖然冪函數(shù)在收斂起區(qū)間不一定一致收斂毕泌，但是在收斂區(qū)間的任意閉區(qū)間都一致收斂，被稱為內閉一致收斂性質
6嗅辣、冪函數(shù)的性質
6.1撼泛、收斂域是以原點為中心的區(qū)間（可能開區(qū)間、半開半閉澡谭、閉區(qū)間愿题，特殊情況可能是R或退還為原點）
6.2、在收斂開區(qū)間內閉一致收斂
6.3蛙奖、冪級數(shù)在收斂區(qū)間連續(xù)
6.4潘酗、冪級數(shù)在收斂區(qū)間可積，且逐項可積雁仲；其在0到x的積分仔夺，收斂域半徑與原冪級數(shù)收斂半徑相同
6.5、冪級數(shù)在收斂區(qū)間可導伯顶，且逐項可微囚灼；逐項微分得到的冪級數(shù)的收斂半徑與原冪級數(shù)收斂半徑相同
四骆膝、泰勒級數(shù)性質
1祭衩、如果函數(shù)能展成冪級數(shù)，那么冪級數(shù)的系數(shù)與此函數(shù)是什么關系
2阅签、什么條件下函數(shù)可以展成冪級數(shù)
3掐暮、二項式展開公式
4、冪級數(shù)應用：數(shù)π的近似計算政钟、數(shù)e的近似計算路克、對數(shù)的近似計算、表示非初等函數(shù)
5养交、指數(shù)函數(shù)的分析定義精算，冪級數(shù)就是定義指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的一個分析工具
五、傅里葉級數(shù)性質
1碎连、三角函數(shù)的正交性
2灰羽、對于區(qū)間[-π， π]，有三個問題需要確認
2.1廉嚼、函數(shù)在區(qū)間的傅里葉級數(shù)是否收斂
2.2玫镐、如果函數(shù)的傅里葉級數(shù)收斂，是否收斂到函數(shù)本身
2.3怠噪、在什么條件下恐似，才能滿足2.1、2.2條件
2.4傍念、黎曼引理
3矫夷、逐段連續(xù)、逐段光滑
3.1憋槐、逐段連續(xù)：函數(shù)在區(qū)間只有有限的第一間斷點
3.2口四、逐段光滑：函數(shù)的一階導數(shù)在其區(qū)間也是逐段連續(xù)的
3.3、逐段光滑的函數(shù)是可積的
3.4秦陋、以2π為周期的逐段光滑函數(shù)是可以展成傅里葉級數(shù)的蔓彩，是展成傅里葉級數(shù)的充分條件
3.5、可展成傅里葉級數(shù)的函數(shù)（逐段光滑）要比可展成冪級數(shù)的函數(shù)（存在任意階導數(shù)）要廣泛很多驳概，條件減弱了很多赤嚼。
