背景介紹
在機器學(xué)習(xí)中，對每一個數(shù)據(jù)點)
拾稳，我們通過最小化經(jīng)驗風(fēng)險)
來從數(shù)據(jù)中學(xué)習(xí)，其中
是模型的參數(shù)腊脱。對整個訓(xùn)練集%2C%5C%20k%3D1%2C2%2C%5Ccdots%2CK%5C%7D)
访得，目標(biāo)函數(shù)即為
%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7BK%7D%20%5Csum%5Climits_%7Bk%3D1%7D%5EK%20%5Cmathcal%7Bl%7D(%5Ctheta%3B%5Cmathbf%7Bx%7D_k%2Cy_k))
對應(yīng)的梯度為
%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7BK%7D%20%5Csum%5Climits_%7Bk%3D1%7D%5EK%20%5Cnabla%20%5Cmathcal%7Bl%7D(%5Ctheta%3B%5Cmathbf%7Bx%7D_k%2Cy_k))
然而，當(dāng)
很大的時候陕凹，計算個經(jīng)驗風(fēng)險函數(shù)的梯度將會變得特別低效悍抑。因此，一般的我們會采用批次訓(xùn)練方法杜耙，每次獨立均勻采樣
（
）搜骡，并且計算近似隨機梯度
%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B%7C%5Cmathcal%7BB%7D%7C%7D%5Csum%5Climits_%7Bk%5Cin%5Cmathcal%7BB%7D%7D%5Cnabla%20%5Cmathcal%7Bl%7D(%5Ctheta%2C%5Cmathbf%7Bx%7D_k%2Cy_k))
我們有![\mathbb{E}[g(\theta)]=\nabla\mathcal{L}(\theta)](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cmathbb%7BE%7D%5Bg(%5Ctheta)%5D%3D%5Cnabla%5Cmathcal%7BL%7D(%5Ctheta))
。
Adam（Adaptive Moment Estimation）算法
初始化
佑女。對
记靡，梯度、梯度平方的指數(shù)移動平均
团驱、
摸吠，以及它們的偏差修正
、
由以下遞推式給出：
g_t%5C%5C%20m_t%26%3D%5Cdfrac%7B%5Ctilde%7Bm%7D_t%7D%7B1-%5Cbeta_1%5E%7Bt%2B1%7D%7D%5C%5C%20%5Ctilde%7Bv%7D_t%26%3D%5Cbeta_1%20%5Ctilde%7Bv%7D_%7Bt-1%7D%2B(1-%5Cbeta)g_t%5Codot%20g_t%5C%5C%20v_t%26%3D%5Cdfrac%7B%5Ctilde%7Bv%7D_t%7D%7B1-%5Cbeta_2%5E%7Bt%2B1%7D%7D%5C%5C%20%5Cend%7Balign*%7D)
其中
代表逐元素乘積嚎花，下標(biāo)
代表第輪迭代寸痢，)
（如無特殊說明，本文涉及的向量運算均為逐元素運算）紊选。模型參數(shù)
按以下公式進行更新：
其中
為步長啼止，
是用來保證分母大于0。
Adam算法的優(yōu)勢：
- 速度快兵罢；
- 可用于非平穩(wěn)的目標(biāo)函數(shù)/數(shù)據(jù)献烦，即梯度的均值、協(xié)方差變化大趣些；
- 可用于有噪聲并且/或者稀疏的梯度仿荆；
Adam更新規(guī)則
我們先忽略
，假設(shè)
。在時間拢操，有效步長是
锦亦，其有兩個上界：當(dāng)
時，
令境；否則
杠园。前者對應(yīng)梯度稀疏的情況。
是不受梯度量級影響的舔庶。當(dāng)更新方向
的模長變小時抛蚁，有效步長也變小。
假設(shè)的每一個元素
（
）惕橙，我們可以重寫更新方向：
%7D%7B%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Bv_t%7D%7Bm_t%5E2%7D%7D%7D%3D%5Csqrt%7B%5Cdfrac%7B1%7D%7B1%2B%5Cfrac%7Bv_t-m_t%5E2%7D%7Bm_t%5E2%7D%7D%7D%5Codot%20%5Ctext%7Bsign%7D(m_t))
其中
是相對方差的估計瞧甩。
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