CRF條件隨機場

線性鏈條件隨機場

DEFINITION

$p(\mathbf{y} | \mathbf{x})=\frac{1}{Z(\mathbf{x})} \prod_{t=1}^{T} \exp \left\{\sum_{k=1}^{K} \theta_{k} f_{k}\left(y_{t}, y_{t-1}, \mathbf{x}_{t}\right)\right\}$
$Z(\mathbf{x})=\sum_{\mathbf{y}} \prod_{t=1}^{T} \exp \left\{\sum_{k=1}^{K} \theta_{k} f_{k}\left(y_{t}, y_{t-1}, \mathbf{x}_{t}\right)\right\}$

ESTIMATION

損失函數(shù)為
$\ell(\theta)=\sum_{i=1}^{N} \log p\left(\mathbf{y}^{(i)} | \mathbf{x}^{(i)} ; \theta\right)$
即 $\ell(\theta)=\sum_{i=1}^{N} \sum_{t=1}^{T} \sum_{k=1}^{K} \theta_{k} f_{k}\left(y_{t}^{(i)}, y_{t-1}^{(i)}, \mathbf{x}_{t}^{(i)}\right)-\sum_{i=1}^{N} \log Z\left(\mathbf{x}^{(i)}\right)$
對 $\theta_k$ 求導結果為
$\begin{aligned} \frac{\partial \ell}{\partial \theta_{k}}=& \sum_{i=1}^{N} \sum_{t=1}^{T} f_{k}\left(y_{t}^{(i)}, y_{t-1}^{(i)}, \mathbf{x}_{t}^{(i)}\right) \\ &-\sum_{i=1}^{N} \sum_{t=1}^{T} \sum_{y, y^{\prime}} f_{k}\left(y, y^{\prime}, \mathbf{x}_{t}^{(i)}\right) p\left(y, y^{\prime} | \mathbf{x}^{(i)}\right)\end{aligned}$
關注一下 $p\left(y, y^{\prime} | \mathbf{x}^{(i)}\right)$ 是怎么得來的：
$\begin{aligned} \frac{\partial \log Z\left(\mathbf{x}^{(i)}\right)}{\partial \theta_{k}} &= \frac {1}{Z\left(\mathbf{x}^{(i)}\right)} \sum_{\mathbf{y}} \frac{\partial \left\{ \prod_{t=1}^{T} \exp \left\{\sum_{k=1}^{K} \theta_{k} f_{k}\left(y_{t}, y_{t-1}, \mathbf{x}_{t}\right)\right\} \right\} } {\partial \theta_k} \\ &=\frac {1}{Z\left(\mathbf{x}^{(i)}\right)} \sum_{\mathbf{y}} \left\{ \prod_{t=1}^{T} \exp \left\{\sum_{k=1}^{K} \theta_{k} f_{k}\left(y_{t}, y_{t-1}, \mathbf{x}_{t}\right)\right\} * \sum_{t=1}^{T} f_{k}\left(y_{t}, y_{t-1}, \mathbf{x}_{t}\right) \right\} \\ &= \sum_{\mathbf{y}} \left\{ p\left( \mathbf{y} | \mathbf{x}^{(i)}\right) * \sum_{t=1}^{T} f_{k}\left(y_t, y_{t-1}, \mathbf{x}_{t}^{(i)}\right) \right\} \\ &= \sum_{t=1}^{T} \sum_{y, y^{\prime}} f_{k}\left(y, y^{\prime}, \mathbf{x}_{t}^{(i)}\right) p\left(y, y^{\prime} | \mathbf{x}^{(i)}\right) \end{aligned}$
解釋：
從第一行到第二行可以將累乘符號轉換為exp中的累加即得奴烙。
從第三行到第四行是將中括號內(nèi)部的求和符號放在外面去揩环。然后進行邊緣概率的計算丰滑。

理解清楚這里就可以利用prml里面的sum-product algorithm來進行優(yōu)化求導炫刷。

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