3.1 函數(shù)
函數(shù)定義
- 在X×Y創(chuàng)造出的序偶集合里, 如果對(duì)于所有a∈X集合, 都有唯一的b∈Y集合, 使得<a,b>∈f, 則稱f是從X集合到Y(jié)集合的一個(gè)函數(shù)(也叫映射, 在嚴(yán)格的數(shù)學(xué)理論里, 函數(shù)范圍更小, 函數(shù)限制X集合和Y集合中必須是數(shù), 函數(shù)要求f是映上的).
- 函數(shù)記作 f: X->Y, x∈X集合稱為函數(shù)f的變?cè)? y∈Y集合稱為變?cè)獂在f下的值(象), 記為f(x).
- 注意:
- D(f) = X, 所有a∈X集合都得有對(duì)應(yīng)的b∈Y集合;
- 雖然和嚴(yán)格情況下的數(shù)學(xué)理論有差異, 但是這里我們只要求關(guān)系f的值域R(f)是Y的一個(gè)子集.
- 底函數(shù) = floor(x); 頂函數(shù) = ceil(x);
特征函數(shù)
- A(x) = 1, x∈A; 0, x?A;
- 空集: A(x)恒等于0;
- 全集E : A(x)恒等于1;
- B包含A: A(x)≤ B(x) 對(duì)所有x∈X集合總是成立;
- B集合=A集合: A(x)=B(x) 對(duì)所有x∈X集合總成立;
- 集合的交并差補(bǔ)運(yùn)算:
- A集合∩B集合: A(x)*B(x), 對(duì)所有x∈X集合進(jìn)行運(yùn)算;
- A集合∪B集合: A(x)+B(x)-A(x)*B(x); 加起來(lái)去掉重疊的;
- A集合-B集合: A(x)-A(x)*B(x), A去掉AB都有的,留下自己獨(dú)有的;
- A集合的補(bǔ)集: 1-A(x),
受限VS擴(kuò)展
- 受限, 縮小定義域D(f), 擴(kuò)展, 擴(kuò)大定義域D(f);
- 若f是從集合X到集合Y的一個(gè)函數(shù), 即對(duì)所有a∈X都有對(duì)應(yīng)的b∈Y來(lái)組成<a,b>序偶, 有一個(gè)集合A是X的子集, 則f∩(A×Y), 定義是從A到Y(jié), 顯然是f在A上的受限; 假設(shè)叫其h, 那么f定義是從X到Y(jié)函數(shù), 是對(duì)h這樣A到Y(jié)函數(shù)的擴(kuò)展;
映上=滿射, 映內(nèi)=沒滿射, 一對(duì)一=單射, 一一對(duì)應(yīng)=雙射
- 函數(shù)f: X->Y 的值域R(f)=Y集合, 是映上/滿射; Y真包含了R(f), 那么是映內(nèi), 沒射滿;
- f(a) 總是≠ f(b), 叫做一對(duì)一, 單射; 對(duì)每個(gè)y∈Y都有相互不同的x∈X對(duì)應(yīng)的話, 是一一對(duì)應(yīng), 也就是說(shuō)映上且一對(duì)一是一一對(duì)應(yīng);
- 實(shí)例化: 如果說(shuō)全中國(guó)的男人和女人數(shù)目相等, 且都能配對(duì)結(jié)婚沒人打光棍, 我們說(shuō)這是雙射,一一對(duì)應(yīng)的, 因?yàn)閺呐薠到男人Y的映射, 滿足映上(滿射, 所有男人m∈Y都有一個(gè)女人射向他), 一對(duì)一(單射的, 每個(gè)女人嫁給了不同的男人, 沒有任何兩個(gè)女人嫁給同一個(gè)老公), 所以滿足了一一對(duì)應(yīng), 雙射關(guān)系;
- 如果說(shuō)海淀區(qū)有個(gè)新小區(qū)搖號(hào), 每個(gè)人最多只能買一套, 那么f: X->Y首先是單射的, 每個(gè)房子∈X, 都能有一個(gè)不同的買主∈Y來(lái)對(duì)應(yīng), 但是因?yàn)榉孔涌偸蔷o張的, 肯定很多人排隊(duì)也買不到, 所以f也是映內(nèi)的;
函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算
- f:X->Y, g:Y->Z, f·g={<x,z>| 存在y∈Y, 使得y=f(x), 且z=g(y)}
- 所以 f·g(x), 就是從g(f(x));
- 服從結(jié)合律, 但是必然不滿足交換律, 畢竟這里面約定了順序;
函數(shù)f的逆和恒等函數(shù)
- f的可逆性: 只有f滿足了一一對(duì)應(yīng), 也就是既要映上(保證Y上每個(gè)元素都能對(duì)回去), 又得一對(duì)一(保證Y上每個(gè)元素對(duì)回去只對(duì)到唯一的一個(gè)值), 才能是可逆的, 才有f^(-1)存在, 這是因?yàn)楹瘮?shù)的X內(nèi)每個(gè)元素都得有對(duì)應(yīng)值;
- 恒等函數(shù): Ix = {<x,x>}稱為恒等函數(shù); 也可以寫作 f: X->X(f(a)=a總是成立);
- 可逆復(fù)合等價(jià)恒等性質(zhì): 顯然, 直觀上能明白, 如果f是可逆的, 那么f·f^(-1) = Ix, 因?yàn)閄->Y->X, 其實(shí)X和Y之間是雙向箭頭, 每個(gè)a∈X的箭頭最后又指向a自己; f^(-1)·f = Iy, 因?yàn)閅->X->Y, 每個(gè)b∈Y的箭頭最后指回b自己;
- 所以, f:X→Y, g:Y→X, 那么g=f逆 等價(jià)于 f·g = Ix 且 g·f = Iy;
