1.Lyapunov穩(wěn)定性分析
Lyapunov用數學的方法定義了穩(wěn)定性鄙皇。
（1）Stability in the sense of Lyapunov
對于二維系統(tǒng)來說股耽，可以理解為若起始點在一個半徑為的圓內扼劈，那么之后系統(tǒng)的軌跡將會被限制在半徑為
的圓內。
（2）Assymptotic Stability（漸進穩(wěn)定）
對于二維系統(tǒng)來說揍堕，可以理解為若起始點在一個半徑為的圓內悟耘，那么在無限久之后，系統(tǒng)將會趨于穩(wěn)定點先紫。
1.1 Lyapunov在非線性系統(tǒng)中的應用
一般使用Lyapunov直接法來判斷非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性治泥。
假設有系統(tǒng)，在x=0處為平衡點遮精。那么在平衡點處居夹，有
败潦。
設一個函數，若其滿足
（1）為正定(positive definition)函數
（2）為半負定(negative semi definition)
那么x=0是系統(tǒng)的穩(wěn)定點准脂。
若其滿足
（1）為正定(positive definition)函數
（2）為負定(negative semi definition)
那么x=0是系統(tǒng)的漸進穩(wěn)定點劫扒。
Lyapunov函數V的導數為：
，即V的梯度乘以f(x)狸膏，記作
對于一個單擺沟饥，不考慮摩擦，其作用力的方程可以寫為：
設狀態(tài)
設系統(tǒng)的能量為方程V(x1,x2)湾戳，其包括動能和勢能贤旷。
，所以V是一個正定的函數砾脑。
同理幼驶，算得，所以其為半負定的函數韧衣。
以上說明了系統(tǒng)是一個穩(wěn)定系統(tǒng)盅藻，但不是漸進穩(wěn)定的。
1.2 The Invariance Principle
對于某些系統(tǒng)汹族，證明出其是穩(wěn)定但非漸進穩(wěn)定萧求，但是實際上它是漸進穩(wěn)定的（比方說帶有摩擦力的單擺）。所以引出不變性定理如下：
若系統(tǒng)滿足
（1）在區(qū)域D內是正定的（0包含在區(qū)域D內）
（2）在某一區(qū)域
內半負定
（3）除非在x=0的時候顶瞒，其他任何在區(qū)域D的軌跡中都不等于0
于是若李雅普諾夫方程V滿足以上條件夸政，則系統(tǒng)漸進穩(wěn)定。
1.3 Control Lyapunov Function
我們主要研究control affine system榴徐，守问。
。
但是對于漸進穩(wěn)定坑资，我們只知道它會從收斂到穩(wěn)定點耗帕，但是不能確定其收斂速度。于是Lyapunov Constraint被提出袱贮，表示了的最小減小速度仿便。
如果能找到，且
攒巍，使得
嗽仪，那么其就滿足exponentially stabilzing（ES-CLF）。
