近世代數(shù)理論基礎(chǔ)42：有限生成交換群的基本定理

有限生成交換群的基本定理

初等變換

將一整數(shù)矩陣的行互換或列互換,一行乘一整數(shù)加到另一行,一列乘一整數(shù)加到另一列,以 $-1$ 乘一行或一列,統(tǒng)稱初等變換

定理：任一 $m\times n?$ 階 $(m\le n)?$ 整數(shù)矩陣經(jīng)初等變換后可化為 $\begin{pmatrix}d_1&0&0&\cdots&0&0&0\\ 0&d_2&0&\cdots&0&0&0\\ \vdots&\vdots&\vdots& &\vdots&\vdots&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&d_m&0&0\end{pmatrix}?$ ,且 $d_i\ge 0(1\le i\le n)?$ , $d_1|d_2|d_3\cdots|d_n?$

可能 $\exists r\le n$ , $i\ge r$ 時 $d_i=0$

證明：

$設(shè)A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\end{pmatrix}為任一m\times n矩陣$

$若A=0,則定理顯然成立$

$若A\neq 0,經(jīng)初等變換,不妨設(shè)a_{11}\gt 0$

$下證對A經(jīng)初等變換后,a_{11}|a_{ij}(1\le i\le m,1\le j\le n)$

$a_{11}=1時,顯然成立$

$a_{11}\gt 1時,若a_{11}\nmid a_{i_0j_0}$

$則經(jīng)過行列互換,可將a_{i_0j_0}移至a_{21}或a_{22}的位置$

$設(shè)B=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix},a\ge 1$

$下證通過初等變換可將B化為\begin{pmatrix}a_1&b_1\\c_1&d_1\end{pmatrix},a_1|(b_1,c_1,d_1)?$

$a=1時,結(jié)論顯然成立$

$若a\nmid b,則可取q\in \Z,使0\lt aq+b\lt a$

$將B的第1列乘q加到第2列,然后兩列互換得$

$\begin{pmatrix}aq+b&\star\\\star&\star\end{pmatrix}?$

$其中aq+b是小于a的正整數(shù)$

$若a|b,a\nmid c,則取q’\in \Z,使aq’+c\lt a$

$將B的第1行乘q’加到第2行,然后兩行互換得$

$\begin{pmatrix}aq’+c&\star\\\star&\star\end{pmatrix}$

$其中aq’+c是小于a的正整數(shù)$

$若a|(b,c),a\nmid c,令c=c’a$

$將B的第1行乘-c’加到第2行,然后再將第2行加到第1行得$

$\begin{pmatrix}a&(1-c’)b+d\\\star&\star\end{pmatrix}$

$此時a\nmid (1+c’)b+d,化為a\nmid b的情形$

$\therefore 對a用歸納法可證通過初等變換可將B化為\begin{pmatrix}a_1&b_1\\c_1&d_1\end{pmatrix},a_1|(b_1,c_1,d_1)$

$\therefore 矩陣A中,將第1行乘-a_{i1}/a_{11}(1\le i\le m)加到第i行$

$然后將第1列乘-a_{1j}/a_{11}加到第j列得$

$\begin{pmatrix}a_{11}&0&\cdots&0\\0\\\vdots& &A'\\0\end{pmatrix}$

$A’為(m-1)\times (n-1)階整數(shù)方陣$

$且a_{11}能整除A’的任一元$

$對A’采用上述辦法,A可化為\begin{pmatrix}d_1&0&0&\cdots&0&0&0\\ 0&d_2&0&\cdots&0&0&0\\ \vdots&\vdots&\vdots& &\vdots&\vdots&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&d_m&0&0\end{pmatrix}\qquad\mathcal{Q.E.D}$

不變因子

$d_i(1\le i\le m)$ 稱為矩陣的不變因子

乘積 $d_1d_2\cdots d_r(1\le r\le m)$ 是該矩陣的所有r階子行列式的最大公因子

在初等變換下,該最大公因子不變,一個矩陣的不變因子唯一確定

$d_i$ 的因子分解式為 $d_i=p_1^{e_{i1}}p_2^{e_{i2}}\cdots p_{l_i}^{e_{il_i}}$

其中素數(shù)冪稱為矩陣的初等因子

令 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 為n個不定元,所有線性型 $y=a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n,a_i\in \Z$ 所成的集合記作D

顯然,若 $y_1,y_2\in D$ ,則 $y_1\pm y_2\in D$

模

定義：設(shè)M為D的一個子集,若 $y_1,y_2\in M$ ,有 $y_1\pm y_2\in M$ ,則稱M為一個模

顯然,D本身也是一個模,稱為自由模

基

定義：設(shè)模M中有一組元 $y_1,y_2,\cdots,y_t$ ,使M中任一元都可唯一地表為 $b_1y_1+b_2y_2+\cdots+b_ly_l$ 的形式,其中 $b_1,b_2,\cdots b_l\in \Z$ ,則 $y_1,y_2,\cdots,y_l?$ 稱為M的基,l稱為M的維數(shù)

若 $y_1,y_2,\cdots,y_l$ 為M的基,則 $y_1,y_2,\cdots,y_l$ 線性無關(guān),即由 $a_1y_1+a_2y_2+\cdots+a_ly_l=0$ 得出 $a_1=a_2=\cdots=a_l=0$

引理：模必有基,維數(shù) $\le n$

證明：

$假設(shè)模M的所有元的表達式中x_{l+1},\cdots,x_n(l\le n)的系數(shù)全為零$

$x_l的系數(shù)有不為零的$

$顯然,所有元的x_l的系數(shù)組成\Z中一個非零理想$

$其中有一最小正整數(shù)b_l,其他數(shù)都是b_l的倍數(shù)$

$設(shè)y_l=b_1x_1+\cdots+b_lx_l$

$\therefore M中任一元y中x_l的系數(shù)都是b_l的倍數(shù)$

$\therefore y=y’+gy_l$

$其中g(shù)\in \Z,y’是不定元x_1,x_2,\cdots,x_{l-1}的線性型$

$設(shè)由此得到的所有y’中x_{x=l’+1},\cdots,x_{l-1}(l’\le l-1)的系數(shù)全為零$

$又x_{l’}的系數(shù)有不為零的$

$\therefore 可找到線性型y_{l’}=b’_1x_1+b’_2x_2+\cdots+b’_{l’}x_{l’}$

$其中b’_{l’}在所有y’中x_{l’}的系數(shù)為最小$

$且\forall y’=y''+g’y_{l’}$

$其中g(shù)’\in \Z,y''為x_1,\cdots,x_{l’-1}的線性型$

$\therefore 可得M的一組基y_l,y_{l’},\cdots,$

$其所含元個數(shù)\le n\qquad\mathcal{Q.E.D}$

設(shè)M為維數(shù)為n的模 $y_1,y_2,\cdots,y_n$ 是它的一組基,每個 $y_i$ 都是 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 的線性型, $y_1,y_2,\cdots,y_n$ 是它的一組基,每個 $y_i$ 都是 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 的線性型,則

$\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\\vdots\\y_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}$

A為n階整數(shù)方陣

對 $\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\\vdots\\y_n\end{pmatrix}$ 作初等變換能產(chǎn)生M的一組新的基,相當于對A作初等行變換

對 $\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}$ 作初等變換能產(chǎn)生D的一組新基,這時對A的列必須作相應(yīng)的初等變換

當 $x_i$ 與 $x_j$ 互換時,A的第i列與第j列互換

當c乘 $x_i$ 加到 $x_j$ 上時,A的第j列乘-c加到第i列

當 $x_i$ 乘-1時,A的第i列乘-1

注：可通過行和列的初等變換將A化為對角形

定理：設(shè)M為D的一個子模,則可適當選擇D的一組基 $x’_1,x’_2,\cdots,x’_n$ ,使M有一組基形如 $d_1x’_1,d_2x’_2,\cdots,d_nx’_n$ ,其中 $d_i\ge 0(1\le i\le n)$ ,且 $d_1|d_2|\cdots|d_n$ (當M的維數(shù)小于n時,最后有幾個 $d_i=0$ )

設(shè)G為一交換群,若存在n個元 $y_1,y_2,\cdots,y_n$ 使G中任一元都可表為 $a_1y_1+a_2y_2+\cdots+a_ny_n,a_i\in \Z$ ,則 $y_1,y_2,\cdots,y_n$ 稱為G的生成元,當生成元個數(shù)有限時,G稱為是有限生成的

定義自由模D到群G之上的同態(tài)映射

$\varphi:D\to G\\a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n\mapsto a_1y_1+a_2y_2+\cdots+a_ny_n$

記 $\varphi?$ 的核為M,M為D的一個子模

由同態(tài)定理知, $G\cong D/M$

D中存在一組基 $x’_1,x’_2,\cdots,x’_n$ ,使M有一組基為 $d_1x’_1,d_2x’_2,\cdots,d_nx’_n$ ,且 $d_1|d_2|\cdots|d_n$ ,若當 $m+1\le r\le n$ 時有 $d_r=0$ ,則 $G\cong (h_1)+(h_2)+\cdots+(h_n)$

其中 $(h_i)(1\le i\le m)$ 為 $d_i$ 階循環(huán)群, $(h_i)(m+1\le i\le n)$ 為無限循環(huán)群,當 $d_i=1$ 時, $(h_i)=0$

有限生成交換群基本定理

定理：任一有限生成交換群是若干循環(huán)群的直和

當G為有限群時,G是有限個循環(huán)群的直和

設(shè) $(h)$ 為一個d階循環(huán)群, $d=p_1^{e_1}p_2^{e_2}\cdots p_s^{e_s}$ 為d的因子分解式, $p_i(1\le i\le s)$ 為互不相同的素數(shù)

設(shè) $m_i(1\le i\le s)$ 為同余方程組 $\begin{cases}x\equiv 1(mod\; p_i^{e_i})\\x\equiv 0(mod\; p_j^{e_j}),j\neq i,1\le j\le s\end{cases}$

的解,則循環(huán)群 $(h)$ 可分解為s個循環(huán)群的直和

$(h)=(m_1h)+(m_2h)+\cdots+(m_sh)$ ,循環(huán)群 $(m_ih)$ 的階為素數(shù)冪 $p_i^{e_i}$

若 $(h)$ 為階是素數(shù)冪 $p^e$ 的循環(huán)群,顯然 $(h)$ 有子群鏈

$(h)\lhd (ph)\lhd (p^2h)\lhd \cdots\lhd (p^{e-1}h)\lhd (1)$ ,其中任兩個相鄰子群的商群是p階循環(huán)群

定理：任一有限交換群G一定有一子群鏈

$G=H_1\rhd H_2\rhd\cdots\rhd H_n=\{1\}$

其中任兩個相鄰子群的商群都是素數(shù)階循環(huán)群

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不變因子

模

基

有限生成交換群基本定理

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